પાઠ્યપુસ્તક ઓનલાઇન ઉપલબ્ધ છે.


Please post any issues on the provided GitHub link.

કૃપા કરીને કોઈપણ સમસ્યાઓ આપેલ GitHub લિંક પર પોસ્ટ કરો.


This version was compiled on Wednesday, December 6th, 2023.

આ સંસ્કરણ બુધવાર, 6ઠ્ઠી ડિસેમ્બર, 2023 ના રોજ સંકલિત કરવામાં આવ્યું હતું.


The book is licensed under a Creative Commons license.

પુસ્તક ક્રિએટિવ કોમન્સ લાયસન્સ હેઠળ લાઇસન્સ પ્રાપ્ત છે.


The book is dedicated to Ravit, Alma, and Goren.

આ પુસ્તક રાવિત, આલ્મા અને ગોરેનને સમર્પિત છે.


Chapter 1 covers mathematical background.

પ્રકરણ 1 ગાણિતિક પૃષ્ઠભૂમિને આવરી લે છે.


The book includes exercises at the end of each chapter.

પુસ્તકમાં દરેક પ્રકરણના અંતે કસરતોનો સમાવેશ થાય છે.


This chapter serves as a reader's manual.

આ પ્રકરણ વાચક માર્ગદર્શિકા તરીકે કામ કરે છે.


We will explore basic discrete math objects.

આપણે મૂળભૂત વિવેકપૂર્ણ ગણિતની વસ્તુઓનું અન્વેષણ કરીશું.


Understanding proofs is crucial in this field.

આ ક્ષેત્રમાં પુરાવા સમજવા જરૂરી છે.


The chapter discusses sets, functions, and graphs.

આ પ્રકરણ સમૂહો, કાર્યો અને ગ્રાફની ચર્ચા કરે છે.


The concept of Big-O notation is explained.

Big-O સંકેતની વિભાવના સમજાવવામાં આવી છે.


The book provides examples of algorithms.

પુસ્તક અલ્ગોરિધમ્સના ઉદાહરણો પ્રદાન કરે છે.


We will analyze the importance of negative results.

આપણે નકારાત્મક પરિણામોના મહત્વનું વિશ્લેષણ કરીશું.


The book covers topics like topological sorting.

પુસ્તક ટોપોલોજીકલ સૉર્ટિંગ જેવા વિષયોને આવરી લે છે.


Mathematical induction is a key concept.

ગાણિતિક ઇન્ડક્શન એક મુખ્ય ખ્યાલ છે.


The book uses specific notation and conventions.

પુસ્તક ચોક્કસ સંકેત અને સંમેલનોનો ઉપયોગ કરે છે.


Chapter 2 focuses on computation and representation.

પ્રકરણ 2 ગણતરી અને પ્રતિનિધિત્વ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે.


Representing real numbers is a complex topic.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું એ એક જટિલ વિષય છે.


Cantor's Theorem is discussed in detail.

કેન્ટરના પ્રમેયની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે.


The algorithm efficiently multiplies two numbers.

આલ્ગોરિધમ બે સંખ્યાઓને કાર્યક્ષમ રીતે ગુણાકાર કરે છે.


Karatsuba's algorithm is faster for large numbers.

કરાત્સુબાનો અલ્ગોરિધમ મોટી સંખ્યાઓ માટે ઝડપી છે.


The student quickly understood the concept.

વિદ્યાર્થીએ ઝડપથી ખ્યાલ સમજી લીધો.


The professor explained the algorithm in detail.

પ્રોફેસરે વિગતવાર અલ્ગોરિધમ સમજાવ્યું.


They are discussing the efficiency of different methods.

તેઓ વિવિધ પદ્ધતિઓની કાર્યક્ષમતા પર ચર્ચા કરી રહ્યા છે.


The book provides a detailed analysis of the algorithm.

પુસ્તક અલ્ગોરિધમનું વિગતવાર વિશ્લેષણ પૂરું પાડે છે.


The algorithm's performance was surprisingly good.

અલ્ગોરિધમનું પ્રદર્શન આશ્ચર્યજનક રીતે સારું હતું.


The researchers are working on improving the algorithm.

સંશોધકો અલ્ગોરિધમને સુધારવા પર કામ કરી રહ્યા છે.


The complexity of the problem is significant.

સમસ્યાની જટિલતા નોંધપાત્ર છે.


The algorithm is based on a new approach.

અલ્ગોરિધમ એક નવા અભિગમ પર આધારિત છે.


The team is analyzing the results carefully.

ટીમ પરિણામોનું કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કરી રહી છે.


The algorithm is used in many applications.

આલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ ઘણી એપ્લિકેશનોમાં થાય છે.


The algorithm's efficiency depends on the input size.

અલ્ગોરિધમની કાર્યક્ષમતા ઇનપુટ સાઇઝ પર આધારિત છે.


The algorithm was developed in the 1960s.

આલ્ગોરિધમ 1960ના દાયકામાં વિકસાવવામાં આવ્યું હતું.


The algorithm is a key component of the system.

આલ્ગોરિધમ સિસ્ટમનો એક મુખ્ય ઘટક છે.


The algorithm's performance is better than expected.

અલ્ગોરિધમનું પ્રદર્શન અપેક્ષા કરતા વધુ સારું છે.


The algorithm is designed to solve complex problems.

આલ્ગોરિધમ જટિલ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે રચાયેલ છે.


The algorithm's analysis is crucial for understanding its behavior.

તેના વર્તનને સમજવા માટે અલ્ગોરિધમનું વિશ્લેષણ નિર્ણાયક છે.


The algorithm's implementation requires careful consideration.

આલ્ગોરિધમની અમલવારી માટે કાળજીપૂર્વક વિચારણાની જરૂર છે.


The algorithm's efficiency is a trade-off between speed and memory usage.

આલ્ગોરિધમની કાર્યક્ષમતા ઝડપ અને મેમરી વપરાશ વચ્ચેનો વેપાર છે.


The algorithm efficiently sorts the data.

એલ્ગોરિધમ કાર્યક્ષમ રીતે ડેટાને સૉર્ટ કરે છે.


She enjoys reading novels in her free time.

તેણીને તેના ફ્રી ટાઇમમાં નવલકથાઓ વાંચવી ગમે છે.


The company announced a new product launch.

કંપનીએ નવા ઉત્પાદન લોન્ચની જાહેરાત કરી.


Could you please repeat that information?

શું તમે કૃપા કરીને તે માહિતીનું પુનરાવર્તન કરી શકો છો?


The research paper explores complex mathematical concepts.

સંશોધન પત્ર જટિલ ગાણિતિક ખ્યાલોનું અન્વેષણ કરે છે.


The weather forecast predicts heavy rainfall tomorrow.

હવામાન વિભાગની આગાહી મુજબ, આવતીકાલે ભારે વરસાદ પડશે.


He is a highly skilled software engineer.

તે એક અત્યંત કુશળ સોફ્ટવેર એન્જિનિયર છે.


The ancient civilization built impressive structures.

પ્રાચીન સંસ્કૃતિએ પ્રભાવશાળી માળખાં બનાવ્યાં.


The government implemented new economic policies.

સરકારે નવી આર્થિક નીતિઓ લાગુ કરી.


તે ગિટાર વગાડતા શીખી રહી છે.


The algorithm's time complexity is O(n log n).

એલ્ગોરિધમની સમય જટિલતા O(n log n) છે.


The artist's paintings are displayed in a gallery.

કલાકારના ચિત્રો ગેલેરીમાં પ્રદર્શિત થાય છે.


The company faced significant financial challenges.

કંપનીએ નોંધપાત્ર નાણાકીય પડકારોનો સામનો કર્યો.


The scientific study revealed new findings.

વૈજ્ઞાનિક અભ્યાસમાં નવા તારણો બહાર આવ્યા.


The historical event had a profound impact.

ઐતિહાસિક ઘટનાની ઊંડી અસર થઈ હતી.


The team collaborated effectively on the project.

ટીમે પ્રોજેક્ટ પર અસરકારક રીતે સહયોગ કર્યો.


The complex equation requires advanced calculus.

જટિલ સમીકરણ માટે અદ્યતન કેલ્ક્યુલસની જરૂર છે.


The political debate was highly contentious.

રાજકીય ચર્ચા અત્યંત વિવાદાસ્પદ હતી.


The philosophical concept is difficult to grasp.

તત્વજ્ઞાનનો ખ્યાલ સમજવો મુશ્કેલ છે.


The innovative technology revolutionized the industry.

આ નવીન ટેક્નોલોજીએ ઉદ્યોગમાં ક્રાંતિ લાવી દીધી.


This book is an introduction to theoretical computer science.

આ પુસ્તક સૈદ્ધાંતિક કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનનો પરિચય છે.


Computation arises in many natural and human-made systems.

ગણતરી ઘણી કુદરતી અને માનવસર્જિત સિસ્ટમમાં થાય છે.


The notion of universality is key to understanding computation.

સાર્વત્રિકતાની કલ્પના ગણતરીને સમજવા માટે ચાવીરૂપ છે.


We can define a mathematical model of computation.

આપણે ગણતરીનું ગાણિતિક મોડેલ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ.


Some problems are inherently intractable.

કેટલીક સમસ્યાઓ સ્વાભાવિક રીતે જટિલ છે.


આ પુસ્તક ક્રિપ્ટોગ્રાફીને સ્પર્શે છે.


We can use computational hardness for cryptographic purposes.

આપણે ક્રિપ્ટોગ્રાફિક હેતુઓ માટે ગણતરીની મુશ્કેલીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.


The book aims to introduce students to a new way of thinking.

પુસ્તકનો હેતુ વિદ્યાર્થીઓને વિચારવાની નવી રીતથી પરિચય કરાવવાનો છે.


Programming languages are used to describe our models of computation.

ગણતરીના અમારા મોડેલોનું વર્ણન કરવા માટે પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.


Proofs often involve transforming one program to another.

પુરાવાઓમાં ઘણીવાર એક પ્રોગ્રામને બીજામાં રૂપાંતરિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે.


આ પુસ્તક પડકારજનક હોઈ શકે છે.


હૉલ્ટિંગ સમસ્યા અનિર્ણિત છે.


Understand the definitions rather than the theorems.

પ્રમેયો કરતાં વ્યાખ્યાઓને સમજો.


The main benefit is in giving you a different way of thinking.

મુખ્ય લાભ તમને વિચારવાની એક અલગ રીત આપવાનો છે.


Computation and information are the basic building blocks.

ગણતરી અને માહિતી એ મૂળભૂત બિલ્ડિંગ બ્લોક્સ છે.


Boolean Circuits are more fundamental than automata.

બૂલિયન સર્કિટ ઓટોમેટા કરતાં વધુ મૂળભૂત છે.


We do not start with finite automata as our initial model.

અમે અમારા પ્રારંભિક મોડેલ તરીકે ફાઇનાઇટ ઓટોમેટાથી શરૂઆત કરતા નથી.


The Cook-Levin Theorem is easier to prove with circuits.

સર્કિટ્સ સાથે કૂક-લેવિન પ્રમેય સાબિત કરવું સરળ છે.


We use the standard RAM machine model for time complexity.

સમયની જટિલતા માટે, અમે પ્રમાણભૂત RAM મશીન મોડેલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.


The terminology of 'languages' arises from Chomsky's work.

'ભાષાઓ' ની પરિભાષા ચોમ્સ્કીના કાર્યમાંથી ઉદ્ભવે છે.


Finding the shortest path in a graph is a fundamental problem in computer science.

ગ્રાફમાં સૌથી ટૂંકો માર્ગ શોધવો એ કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં એક મૂળભૂત સમસ્યા છે.


The algorithm's efficiency is crucial for large datasets.

મોટા ડેટાસેટ માટે અલ્ગોરિધમની કાર્યક્ષમતા ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.


Can uniform algorithms simulate non-uniform ones?

શું એકસમાન અલ્ગોરિધમ્સ બિન-એકસમાન અલ્ગોરિધમ્સનું અનુકરણ કરી શકે છે?


The time hierarchy theorem is a significant concept.

સમય શ્રેણી સિદ્ધાંત એક મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ છે.


Polynomial-time reductions are essential for understanding problem complexity.

સમસ્યાની જટિલતાને સમજવા માટે બહુપદી-સમય ઘટાડા જરૂરી છે.


જો P, NP ની બરાબર હોય તો શું?


The Cook-Levin Theorem is a cornerstone of computational complexity.

કૂક-લેવિન પ્રમેય ગણતરીની જટિલતાનો એક આધારસ્તંભ છે.


Let's discuss the implications of this research.

ચાલો આ સંશોધનના પરિણામોની ચર્ચા કરીએ.


The weather forecast predicts rain tomorrow.

હવામાન વિભાગની આગાહી છે કે આવતીકાલે વરસાદ આવશે.


She enjoys reading books in her free time.

તેણીને તેના ફ્રી ટાઇમમાં પુસ્તકો વાંચવાનું ગમે છે.


The company announced a new product launch.

કંપનીએ એક નવા ઉત્પાદન લોન્ચની જાહેરાત કરી.


તે ગિટાર વગાડતા શીખી રહ્યો છે.


આ મીટિંગ આવતા અઠવાડિયે યોજાશે.


The algorithm is designed to solve complex problems.

અલ્ગોરિધમ જટિલ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે રચાયેલ છે.


The research paper explores new possibilities.

સંશોધન પત્ર નવી શક્યતાઓનું અન્વેષણ કરે છે.


The data analysis revealed interesting insights.

ડેટા વિશ્લેષણે રસપ્રદ આંતરદૃષ્ટિ જાહેર કરી.


The project requires careful planning and execution.

પ્રોજેક્ટને કાળજીપૂર્વક આયોજન અને અમલની જરૂર છે.


The government is implementing new policies.

સરકાર નવી નીતિઓ લાગુ કરી રહી છે.


The economy is showing signs of recovery.

અર્થતંત્ર પુનઃપ્રાપ્તિના સંકેતો દર્શાવી રહ્યું છે.


The study's findings are quite significant.

અભ્યાસના તારણો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.


એલ્ગોરિધમ કાર્યક્ષમ રીતે ડેટાને સૉર્ટ કરે છે.


Please provide the necessary documentation.

કૃપા કરીને જરૂરી દસ્તાવેજો પ્રદાન કરો.


કંપનીએ નવા ઉત્પાદનના લોન્ચની જાહેરાત કરી.


He is studying computer science at the university.

તે યુનિવર્સિટીમાં કમ્પ્યુટર સાયન્સનો અભ્યાસ કરી રહ્યો છે.


The research paper explores complex topics in detail.

સંશોધન પત્ર વિગતવાર જટિલ વિષયોની ચર્ચા કરે છે.


The weather forecast predicts rain for tomorrow.

હવામાન વિભાગે આવતીકાલ માટે વરસાદની આગાહી કરી છે.


She enjoys reading novels in her free time.

તેણીને તેના ફ્રી ટાઇમમાં નવલકથાઓ વાંચવી ગમે છે.


The software update includes several bug fixes.

સોફ્ટવેર અપડેટમાં ઘણા બગ ફિક્સનો સમાવેશ થાય છે.


સરકાર નવી નીતિઓ લાગુ કરી રહી છે.


The data analysis revealed significant trends.

ડેટા વિશ્લેષણમાં નોંધપાત્ર વલણો બહાર આવ્યા.


તે એક અત્યંત કુશળ પ્રોગ્રામર છે.


આ કોન્ફરન્સ આવતા મહિને યોજાશે.


The economic situation is improving gradually.

આર્થિક સ્થિતિ ધીમે ધીમે સુધરી રહી છે.


ટીમ એક નવા પ્રોટોટાઇપ પર કામ કરી રહી છે.


The complex equation requires advanced mathematical knowledge.

જટિલ સમીકરણ માટે અદ્યતન ગાણિતિક જ્ઞાનની જરૂર છે.


તે ઘણી ભાષાઓમાં પ્રવાહિત છે.


The company's profits increased significantly this quarter.

કંપનીનો નફો આ ત્રિમાસિક ગાળામાં નોંધપાત્ર રીતે વધ્યો છે.


The research aims to find a solution to the problem.

સંશોધનનો હેતુ સમસ્યાનો ઉકેલ શોધવાનો છે.


The intricate design showcases the artist's skill.

જટિલ ડિઝાઇન કલાકારની કુશળતા દર્શાવે છે.


આજે હવામાન સુખદ છે.


શું તમે મને મીઠું આપશો?


I am going to the market to buy some vegetables.

હું શાકભાજી ખરીદવા બજારમાં જઈ રહ્યો છું.


The company announced its quarterly results.

કંપનીએ તેના ત્રિમાસિક પરિણામોની જાહેરાત કરી.


The new policy will affect all employees.

નવી નીતિ તમામ કર્મચારીઓને અસર કરશે.


The research team is working on a new project.

સંશોધન ટીમ એક નવા પ્રોજેક્ટ પર કામ કરી રહી છે.


The government is taking measures to improve the economy.

સરકાર અર્થતંત્રને સુધારવા માટે પગલાં લઈ રહી છે.


The algorithm efficiently sorts the data.

એલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


પડકારો હોવા છતાં, તેઓ સફળ થયા.


The implications of the decision are far-reaching.

આ નિર્ણયના દૂરગામી પરિણામો છે.


The complex interplay of factors led to the crisis.

પરિબળોની જટિલ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને કારણે કટોકટી સર્જાઈ.


The philosophical underpinnings of the theory are debated.

સિદ્ધાંતના તત્વજ્ઞાનીય આધારની ચર્ચા કરવામાં આવે છે.


The company's strategic plan involves significant restructuring.

કંપનીની વ્યૂહાત્મક યોજનામાં નોંધપાત્ર પુનર્ગઠન સામેલ છે.


The intricate details of the investigation were revealed.

તપાસની જટિલ વિગતો જાહેર કરવામાં આવી હતી.


The economic forecast predicts a period of slow growth.

આર્થિક આગાહી ધીમા વૃદ્ધિના સમયગાળાની આગાહી કરે છે.


The judge's ruling set a precedent for future cases.

ન્યાયાધીશના ચુકાદાએ ભાવિ કેસો માટે એક દાખલો બેસાડ્યો.


The scientific community is divided on the issue.

વૈજ્ઞાનિક સમુદાય આ મુદ્દા પર વિભાજિત છે.


The project's success hinges on collaboration.

પ્રોજેક્ટની સફળતા સહકાર પર આધારિત છે.


The subtle nuances of the language are important.

ભાષાના સૂક્ષ્મ પાસાઓ મહત્વપૂર્ણ છે.


The data analysis revealed a significant trend.

ડેટા વિશ્લેષણમાં એક નોંધપાત્ર વલણ બહાર આવ્યું.


If F : S → T satisfies that F(x) ≠ F(y) for all x ≠ y then we say that F is one-to-one.

જો F : S → T એ સંતોષે છે કે F(x) ≠ F(y) બધા x ≠ y માટે, તો આપણે કહીએ છીએ કે F એક-થી-એક છે.


A function that is both one-to-one and onto is known as a bijective function or simply a bijection.

એક એવું વિધેય જે એક-થી-એક અને ઓન્ટો બંને છે તેને દ્વિગુણિત વિધેય અથવા સરળ રીતે દ્વિગુણન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.


Giving a bijection between two sets is often a good way to show they have the same size.

બે ગણ વચ્ચે દ્વિગુણન આપવું એ ઘણીવાર બતાવવાનો એક સારો માર્ગ છે કે તેમની પાસે સમાન કદ છે.


We can represent finite functions as a directed graph where we put an edge from x to f(x).

આપણે મર્યાદિત કાર્યોને દિશાવાળા ગ્રાફ તરીકે રજૂ કરી શકીએ છીએ જ્યાં આપણે x થી f(x) સુધીની ધાર મૂકીએ છીએ.


The onto condition corresponds to requiring that every vertex in the codomain of the function has in-degree at least one.

ઓન્ટો સ્થિતિ એ જરૂરીયાતને અનુરૂપ છે કે ફંક્શનના કોડોમેઇનમાંના દરેક શિરોબિંદુમાં ઓછામાં ઓછી એક ઇન-ડિગ્રી હોય.


The one-to-one condition corresponds to requiring that every vertex in the codomain of the function has in-degree at most one.

એક-થી-એક સ્થિતિ એ જરૂરીયાતને અનુરૂપ છે કે ફંક્શનના કોડોમેઇનમાંના દરેક શિરોબિંદુમાં વધુમાં વધુ એક ઇન-ડિગ્રી હોય.


For example, the partial function F(x) = √x is only defined on non-negative real numbers.

ઉદાહરણ તરીકે, આંશિક કાર્ય F(x) = √x માત્ર બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર જ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.


When we say “function” without any qualifier then we mean a total function.

જ્યારે આપણે કોઈપણ લાયકાત વિના “કાર્ય” કહીએ છીએ, ત્યારે અમારો અર્થ કુલ કાર્ય છે.


If F : S → T and G : T → U are one-to-one functions, then their composition H : S → U defined as H(s) = G(F(s)) is also one to one.

જો F : S → T અને G : T → U એક-થી-એક કાર્યો છે, તો તેમનું સંયોજન H : S → U ને H(s) = G(F(s)) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તે પણ એક-થી-એક છે.


If S and T are non-empty finite sets then the following conditions are equivalent to one another.

જો S અને T બિન-ખાલી મર્યાદિત સમૂહો છે, તો નીચેની શરતો એકબીજાને સમકક્ષ છે.


Graphs are ubiquitous in Computer Science, and many other fields as well.

ગ્રાફ કમ્પ્યુટર સાયન્સમાં અને અન્ય ઘણા ક્ષેત્રોમાં પણ સર્વવ્યાપી છે.


Graphs come in two basic flavors: undirected and directed.

ગ્રાફ બે મૂળભૂત પ્રકારોમાં આવે છે: અસંકલિત અને દિશાવાળા.


An undirected graph G = (V, E) consists of a set V of vertices and a set E of edges.

એક અસંકલિત ગ્રાફ G = (V, E) માં શિરોબિંદુઓનો સમૂહ V અને કિનારીઓનો સમૂહ E હોય છે.


We say that two vertices u, v ∈ V are neighbors, if the edge {u, v} is in E.

આપણે કહીએ છીએ કે બે શિરોબિંદુઓ u, v ∈ V પડોશી છે, જો ધાર {u, v} E માં હોય.


We define the degree of u to be the number of neighbors u has.

આપણે u ની ડિગ્રીને u પાસે રહેલા પડોશીઓની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.


A simple path is a path (u0, ..., uk−1) where all the ui’s are distinct.

એક સરળ માર્ગ એ એક માર્ગ છે (u0, ..., uk−1) જ્યાં બધા ui અલગ છે.


We say that the graph G is connected if every pair of vertices in it is connected.

આપણે કહીએ છીએ કે ગ્રાફ G કનેક્ટેડ છે જો તેમાંના દરેક શિરોબિંદુની જોડી કનેક્ટેડ હોય.


In any undirected graph G = (V, E), the sum of the degrees of all vertices is equal to twice the number of edges.

કોઈપણ અસંકલિત ગ્રાફ G = (V, E) માં, બધા શિરોબિંદુઓની ડિગ્રીનો સરવાળો કિનારીઓની સંખ્યાના બમણો છે.


The concepts of degrees and connectivity extend naturally to directed graphs.

ડિગ્રી અને કનેક્ટિવિટીની વિભાવનાઓ કુદરતી રીતે દિશાવાળા ગ્રાફ સુધી વિસ્તરે છે.


A directed graph G = (V, E) consists of a set V and a set E ⊆ V × V of ordered pairs of V.

એક દિશાવાળો ગ્રાફ G = (V, E) માં V નો સમૂહ અને V ની ક્રમાંકિત જોડીઓનો સમૂહ E ⊆ V × V હોય છે.


If a vertex has in-neighbors, then there exists an in-neighbor u of v such that f(u) = f(v) - 1.

જો કોઈ શિરોબિંદુના ઇન-પાડોશીઓ હોય, તો ત્યાં v નો ઇન-પાડોશી u છે કે જેથી f(u) = f(v) - 1.


For every layering f, g : V → ℕ of G, if both f and g are minimal then f = g.

G ના દરેક લેયરિંગ f, g : V → ℕ માટે, જો f અને g બંને ન્યૂનતમ હોય, તો f = g.


The definition of minimality in Theorem 1.26 implies that for every vertex v ∈ V, we cannot move it to a lower layer without making the layering invalid.

પ્રમેય 1.26 માં ન્યૂનતમતાની વ્યાખ્યા સૂચવે છે કે દરેક શિરોબિંદુ v ∈ V માટે, અમે લેયરિંગને અમાન્ય બનાવ્યા વિના તેને નીચલા સ્તર પર ખસેડી શકતા નથી.


If v is a source (i.e., has in-degree zero) then a minimal layering f must put it in layer 0.

જો v એ સોર્સ છે (એટલે કે, ઇન-ડિગ્રી શૂન્ય છે) તો ન્યૂનતમ લેયરિંગ f તેને લેયર 0 માં મૂકવું આવશ્યક છે.


What Theorem 1.26 says is that a minimal layering f is unique in the sense that every other minimal layering is equal to f.

પ્રમેય 1.26 શું કહે છે તે એ છે કે ન્યૂનતમ લેયરિંગ f એ અજોડ છે એ અર્થમાં કે અન્ય દરેક ન્યૂનતમ લેયરિંગ f ની બરાબર છે.


Proof Idea: The idea is to prove the theorem by induction on the layers.

પ્રૂફ આઈડિયા: આ વિચાર સ્તરો પર ઇન્ડક્શન દ્વારા પ્રમેયને સાબિત કરવાનો છે.


If f and g are minimal then they must agree on the source vertices, since both f and g should assign these vertices to layer 0.

જો f અને g ન્યૂનતમ હોય, તો તેઓએ સોર્સ વર્ટિસીસ પર સંમત થવું જોઈએ, કારણ કે f અને g બંનેએ આ વર્ટિસીસને લેયર 0 સોંપવા જોઈએ.


We can then show that if f and g agree up to layer i-1, then the minimality property implies that they need to agree in layer i as well.

પછી આપણે બતાવી શકીએ છીએ કે જો f અને g લેયર i-1 સુધી સંમત થાય છે, તો ન્યૂનતમતાની મિલકત સૂચવે છે કે તેઓએ લેયર i માં પણ સંમત થવાની જરૂર છે.


In the actual proof we use a small trick to save on writing.

વાસ્તવિક પુરાવામાં, અમે લખવામાં બચત કરવા માટે એક નાની યુક્તિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.


Rather than proving the statement that f = g, we prove the weaker statement that f(v) ≤ g(v) for every v ∈ V.

f = g એવું વિધાન સાબિત કરવાને બદલે, અમે નબળું વિધાન સાબિત કરીએ છીએ કે દરેક v ∈ V માટે f(v) ≤ g(v).


Let G = (V, E) be a DAG and f, g : V → ℕ be two minimal valid layerings of G.

ધારો કે G = (V, E) એક DAG છે અને f, g : V → ℕ એ G ના બે ન્યૂનતમ માન્ય લેયરિંગ છે.


We will prove that for every v ∈ V, f(v) ≤ g(v).

આપણે સાબિત કરીશું કે દરેક v ∈ V માટે, f(v) ≤ g(v).


Since we didn’t assume anything about f, g except their minimality, the same proof will imply that for every v ∈ V, g(v) ≤ f(v) and hence that f = g.

કારણ કે અમે તેમની ન્યૂનતમતા સિવાય f, g વિશે કંઈપણ ધાર્યું નથી, તે જ પુરાવો સૂચવશે કે દરેક v ∈ V માટે, g(v) ≤ f(v) અને તેથી f = g.


We will prove that f(v) ≤ g(v) for every v ∈ V by induction on i = f(v).

આપણે i = f(v) પર ઇન્ડક્શન દ્વારા દરેક v ∈ V માટે f(v) ≤ g(v) સાબિત કરીશું.


The case i = 0 is immediate: since in this case f(v) = 0, g(v) must be at least f(v).

કેસ i = 0 તાત્કાલિક છે: કારણ કે આ કિસ્સામાં f(v) = 0, g(v) ઓછામાં ઓછું f(v) હોવું જોઈએ.


For the case i > 0, by the minimality of f, if f(v) = i then there must exist some in-neighbor u of v such that f(u) = i-1.

કેસ i > 0 માટે, f ની ન્યૂનતમતા દ્વારા, જો f(v) = i તો v નો કોઈ ઇન-પાડોશી u હોવો જોઈએ કે જેથી f(u) = i-1.


By the induction hypothesis we get that g(u) ≥ i-1, and since g is a valid layering it must hold that g(v) > g(u) which means that g(v) ≥ i = f(v).

ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણા દ્વારા, આપણે જાણીએ છીએ કે g(u) ≥ i-1, અને g એક માન્ય લેયરિંગ હોવાથી, તે માન્ય હોવું જોઈએ કે g(v) > g(u) જેનો અર્થ છે કે g(v) ≥ i = f(v).


Make sure that you read through it and understand why this is indeed an airtight proof of the Theorem’s statement.

ખાતરી કરો કે તમે તે વાંચો અને સમજો કે આ ખરેખર પ્રમેયના નિવેદનનો હવાચુસ્ત પુરાવો કેમ છે.


We index the natural numbers ℕ starting with 0.

આપણે 0 થી શરૂ થતા કુદરતી સંખ્યાઓ ℕ ને ઇન્ડેક્સ કરીએ છીએ.


We also index the set [n] starting with 0, and hence define it as {0,...,n-1}.

આપણે 0 થી શરૂ થતા સેટ [n] ને પણ ઇન્ડેક્સ કરીએ છીએ, અને તેથી તેને {0,...,n-1} તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.


When we write down text or make a drawing we are representing ideas or experiences as sequences of symbols.

જ્યારે આપણે લખાણ લખીએ છીએ અથવા ચિત્ર બનાવીએ છીએ, ત્યારે આપણે વિચારો અથવા અનુભવોને પ્રતીકોની શ્રેણી તરીકે રજૂ કરીએ છીએ.


Even our brain does not store the actual sensory inputs we experience, but rather only a representation of them.

અમારું મગજ પણ આપણે અનુભવીએ છીએ તે વાસ્તવિક સંવેદનાત્મક ઇનપુટ્સને સંગ્રહિત કરતું નથી, પરંતુ તેના બદલે ફક્ત તેનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.


To use objects such as numbers, images, graphs, or others as inputs for computation, we need to define precisely how to represent these objects as binary strings.

ગણતરી માટે સંખ્યાઓ, છબીઓ, ગ્રાફ અથવા અન્ય જેવી વસ્તુઓનો ઇનપુટ તરીકે ઉપયોગ કરવા માટે, આપણે આ વસ્તુઓને બાઈનરી સ્ટ્રિંગ્સ તરીકે કેવી રીતે રજૂ કરવી તે ચોક્કસ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે.


A representation scheme is a way to map an object x to a binary string E(x) ∈ {0,1} *.

એક પ્રતિનિધિત્વ યોજના એ ઑબ્જેક્ટ x ને બાઈનરી સ્ટ્રિંગ E(x) ∈ {0,1} * પર મેપ કરવાની એક રીત છે.


For example, a representation scheme for natural numbers is a function E : ℕ → {0,1} *.

ઉદાહરણ તરીકે, કુદરતી સંખ્યાઓ માટેની પ્રતિનિધિત્વ યોજના એ એક કાર્ય E : ℕ → {0,1} * છે.


Of course, we cannot merely represent all numbers as the string “0011”.

અલબત્ત, આપણે ફક્ત બધી સંખ્યાઓને સ્ટ્રિંગ “0011” તરીકે રજૂ કરી શકતા નથી.


A minimal requirement is that if two numbers x and x' are different then they would be represented by different strings.

એક ન્યૂનતમ આવશ્યકતા એ છે કે જો બે સંખ્યાઓ x અને x' અલગ હોય તો તે અલગ સ્ટ્રિંગ્સ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવશે.


Another way to say this is that we require the encoding function E to be one to one.

આ કહેવાની બીજી રીત એ છે કે આપણે એન્કોડિંગ ફંક્શન E ને એકથી એક હોવું જરૂરી છે.


We now show how we can represent natural numbers as binary strings.

હવે આપણે બતાવીએ છીએ કે આપણે કુદરતી સંખ્યાઓને બાઈનરી સ્ટ્રિંગ્સ તરીકે કેવી રીતે રજૂ કરી શકીએ છીએ.


We can use any one of those as well as many others to represent a number as a string.

આપણે સંખ્યાને સ્ટ્રિંગ તરીકે રજૂ કરવા માટે તેમાંથી કોઈપણ તેમજ અન્ય ઘણાનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.


However, for the sake of concreteness, we use the binary basis as our default representation of natural numbers as strings.

જો કે, ચોક્કસતા ખાતર, અમે કુદરતી સંખ્યાઓને સ્ટ્રિંગ્સ તરીકે રજૂ કરવા માટે અમારા ડિફોલ્ટ તરીકે બાઈનરી આધારનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.


For example, we represent the number six as the string 110 since 1⋅2^2 + 1⋅2^1 + 0⋅2^0 = 6.

ઉદાહરણ તરીકે, આપણે છ ની સંખ્યાને સ્ટ્રિંગ 110 તરીકે રજૂ કરીએ છીએ કારણ કે 1⋅2^2 + 1⋅2^1 + 0⋅2^0 = 6.


If n is even, then the least significant digit of n’s binary representation is 0, while if n is odd then this digit equals 1.

જો n યુગ્મ છે, તો n ના બાઈનરી પ્રતિનિધિત્વનો સૌથી ઓછો નોંધપાત્ર અંક 0 છે, જ્યારે જો n અયુગ્મ છે, તો આ અંક 1 ની બરાબર છે.


Just like the number ⌊n/10⌋ corresponds to “chopping off” the least significant decimal digit.

જેમ સંખ્યા ⌊n/10⌋ સૌથી ઓછા નોંધપાત્ર દશાંશ અંકને “કાપી નાખવા” ને અનુરૂપ છે.


The function NtS is defined recursively: for every n > 1 we define rep(n) in terms of the representation of the smaller number ⌊n/2⌋.

કાર્ય NtS પુનરાવર્તિત રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: દરેક n > 1 માટે આપણે નાના નંબર ⌊n/2⌋ ના પ્રતિનિધિત્વના સંદર્ભમાં rep(n) વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.


Throughout most of this book, the particular choices of representation of numbers as binary strings would not matter much.

આ પુસ્તકના મોટાભાગના ભાગમાં, સંખ્યાઓને બાઈનરી સ્ટ્રિંગ્સ તરીકે રજૂ કરવાની ચોક્કસ પસંદગીઓ બહુ મહત્વની રહેશે નહીં.


We can implement the binary representation in Python as follows:

આપણે નીચે પ્રમાણે પાયથોનમાં બાઈનરી પ્રતિનિધિત્વ લાગુ કરી શકીએ છીએ:


We can also use Python to implement the inverse transformation, mapping a string back to the natural number it represents.

આપણે વિપરીત રૂપાંતરણને અમલમાં મૂકવા માટે પાયથોનનો પણ ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, જે સ્ટ્રિંગને તે રજૂ કરે છે તે કુદરતી સંખ્યા પર પાછા મેપ કરે છે.


It is natural for us to think of 236 as the “actual” number, and of 11101100 as “merely” its representation.

આપણા માટે 236 ને “વાસ્તવિક” સંખ્યા તરીકે અને 11101100 ને “માત્ર” તેના પ્રતિનિધિત્વ તરીકે વિચારવું સ્વાભાવિક છે.


However, for most Europeans in the middle ages CCXXXVI would be the “actual” number and 236 (if they have even heard about it) would be the weird Hindu-Arabic positional representation.

જો કે, મધ્ય યુગના મોટાભાગના યુરોપિયનો માટે CCXXXVI એ “વાસ્તવિક” સંખ્યા હશે અને 236 (જો તેઓએ તેના વિશે સાંભળ્યું હોય તો પણ) વિચિત્ર હિન્દુ-અરેબિક સ્થિતિગત પ્રતિનિધિત્વ હશે.


આજે હવામાન સુખદ છે.


શું તમે મને મીઠું આપશો?


I am going to the market to buy some vegetables.

હું શાકભાજી ખરીદવા બજારમાં જઈ રહ્યો છું.


The company announced a new product launch.

કંપનીએ નવા ઉત્પાદનનું લોન્ચિંગ જાહેર કર્યું.


The government is implementing new policies to boost the economy.

સરકાર અર્થતંત્રને વેગ આપવા માટે નવી નીતિઓ લાગુ કરી રહી છે.


The research team is working on a new vaccine.

સંશોધન ટીમ નવી રસી પર કામ કરી રહી છે.


The algorithm efficiently sorts the data.

એલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


The meeting was adjourned due to lack of quorum.

કોરમની અછતને કારણે મીટિંગ સ્થગિત કરવામાં આવી હતી.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

પડકારો હોવા છતાં, તેઓ અડગ રહ્યા અને સફળ થયા.


The complexities of international trade are significant.

આંતરરાષ્ટ્રીય વેપારની જટિલતાઓ નોંધપાત્ર છે.


Quantum computing has the potential to revolutionize various industries.

ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગમાં વિવિધ ઉદ્યોગોમાં ક્રાંતિ લાવવાની ક્ષમતા છે.


The implications of the new law are far-reaching and complex.

નવા કાયદાના અર્થઘટન દૂરગામી અને જટિલ છે.


The philosophical debate centered on the nature of consciousness.

તત્વજ્ઞાનની ચર્ચા ચેતનાના સ્વભાવ પર કેન્દ્રિત હતી.


The economic forecast predicts a period of sustained growth.

આર્થિક આગાહી સતત વૃદ્ધિના સમયગાળાની આગાહી કરે છે.


The artist's work is characterized by its innovative use of color.

કલાકારના કાર્યને રંગના તેના નવીન ઉપયોગ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.


The company's strategic plan involves expansion into new markets.

કંપનીની વ્યૂહાત્મક યોજનામાં નવા બજારોમાં વિસ્તરણ સામેલ છે.


The scientific community is actively researching climate change.

વૈજ્ઞાનિક સમુદાય આબોહવા પરિવર્તન પર સક્રિયપણે સંશોધન કરી રહ્યો છે.


The intricate details of the mechanism were carefully examined.

પદ્ધતિની જટિલ વિગતો કાળજીપૂર્વક તપાસવામાં આવી હતી.


The negotiations reached an impasse after several rounds of talks.

અનેક રાઉન્ડની વાતચીત બાદ વાટાઘાટો અટકી ગઈ.


The historical context is crucial for understanding the events.

ઘટનાઓને સમજવા માટે ઐતિહાસિક સંદર્ભ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.


The function prefixfree takes as input a pair of encoding and decoding functions.

પ્રિફિક્સફ્રી ફંક્શન એન્કોડિંગ અને ડીકોડિંગ ફંક્શનની જોડીને ઇનપુટ તરીકે લે છે.


We start with the “Python proof” of Lemma 2.20: a way to transform an arbitrary representation into one that is prefix free.

આપણે લેમ્મા 2.20 ના “પાયથોન પ્રૂફ” થી શરૂઆત કરીએ છીએ: મનસ્વી પ્રતિનિધિત્વને એવા એકમાં રૂપાંતરિત કરવાની એક રીત જે પ્રિફિક્સ ફ્રી છે.


The Braille system is another way to encode letters and other symbols as binary strings.

બ્રેઇલ સિસ્ટમ એ અક્ષરો અને અન્ય પ્રતીકોને બાઈનરી સ્ટ્રિંગ તરીકે એન્કોડ કરવાની બીજી રીત છે.


We can represent a letter or symbol by a string.

આપણે એક અક્ષર અથવા પ્રતીકને સ્ટ્રિંગ દ્વારા રજૂ કરી શકીએ છીએ.


We can represent vectors, matrices, and images.

આપણે વેક્ટર, મેટ્રિસિસ અને છબીઓ રજૂ કરી શકીએ છીએ.


A graph on n vertices can be represented as an n × n adjacency matrix.

n શિરોબિંદુઓ પરનો ગ્રાફ n × n એડજસેન્સી મેટ્રિક્સ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.


We will typically identify an object with its representation as a string.

આપણે સામાન્ય રીતે કોઈ ઑબ્જેક્ટને સ્ટ્રિંગ તરીકે તેના પ્રતિનિધિત્વ સાથે ઓળખીશું.


A computational process is some process that takes an input which is a string of bits and produces an output which is a string of bits.

એક ગણતરીની પ્રક્રિયા એ અમુક પ્રક્રિયા છે જે ઇનપુટ લે છે જે બીટ્સની સ્ટ્રિંગ છે અને આઉટપુટ ઉત્પન્ન કરે છે જે બીટ્સની સ્ટ્રિંગ છે.


For example, consider the task of finding any solution for a given set of equations.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણોના આપેલા સમૂહ માટે કોઈપણ ઉકેલ શોધવાનું કાર્ય ધ્યાનમાં લો.


We can represent lists of lists, and thus, in particular, can represent matrices.

આપણે યાદીઓની યાદી રજૂ કરી શકીએ છીએ, અને આમ, ખાસ કરીને, મેટ્રિસિસ રજૂ કરી શકીએ છીએ.


A video can be represented as a list of images.

વિડિયોને છબીઓની સૂચિ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.


We can represent the color at each pixel by a list of three numbers.

આપણે દરેક પિક્સેલ પરના રંગને ત્રણ સંખ્યાઓની સૂચિ દ્વારા રજૂ કરી શકીએ છીએ.


The ASCII encoding can be used to encode a string of n English letters.

ASCII એન્કોડિંગનો ઉપયોગ n અંગ્રેજી અક્ષરોની સ્ટ્રિંગને એન્કોડ કરવા માટે થઈ શકે છે.


Unicode is the representation of about 128,000 symbols as numbers.

યુનિકોડ લગભગ 128,000 પ્રતીકોને સંખ્યા તરીકે રજૂ કરે છે.


We can represent nested lists of items from S using strings.

આપણે સ્ટ્રિંગનો ઉપયોગ કરીને S માંથી આઇટમ્સની નેસ્ટેડ સૂચિ રજૂ કરી શકીએ છીએ.


We will study the question of finding the best algorithm.

આપણે શ્રેષ્ઠ અલ્ગોરિધમ શોધવાના પ્રશ્નનો અભ્યાસ કરીશું.


એક પ્રોગ્રામ એક ફંક્શનની ગણતરી કરે છે.


Distinguishing functions from programs is a crucial theme.

પ્રોગ્રામ્સમાંથી કાર્યોને અલગ પાડવું એ એક નિર્ણાયક થીમ છે.


આપણે એક અસંગત ગ્રાફ રજૂ કરી શકીએ છીએ.


This task corresponds to computing a function.

આ કાર્ય એક કાર્યની ગણતરી કરવાને અનુરૂપ છે.


The algorithm efficiently sorts the data.

આલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


She enjoys reading novels in her free time.

તેણીને તેના ફ્રી ટાઇમમાં નવલકથાઓ વાંચવી ગમે છે.


The company announced a new product launch.

કંપનીએ નવા ઉત્પાદન લોન્ચની જાહેરાત કરી.


શું તમે મને મીઠું આપશો?


The weather forecast predicts rain tomorrow.

હવામાન વિભાગના જણાવ્યા અનુસાર, આવતીકાલે વરસાદની આગાહી છે.


He is a highly skilled software engineer.

તે એક અત્યંત કુશળ સોફ્ટવેર એન્જિનિયર છે.


The government implemented new policies to boost the economy.

સરકારે અર્થતંત્રને વેગ આપવા માટે નવી નીતિઓ લાગુ કરી.


તેણી ત્રણ ભાષાઓમાં પ્રવાહિત છે.


The research paper explores the impact of climate change.

સંશોધન પત્ર આબોહવા પરિવર્તનની અસરોનું અન્વેષણ કરે છે.


The team worked diligently to complete the project on time.

ટીમે સમયસર પ્રોજેક્ટ પૂરો કરવા માટે ખંતપૂર્વક કામ કર્યું.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

પડકારો હોવા છતાં, તેઓ અડગ રહ્યા અને સફળ થયા.


The complex equation required advanced mathematical skills.

જટિલ સમીકરણ માટે અદ્યતન ગાણિતિક કૌશલ્યોની જરૂર હતી.


The philosophical debate delved into the nature of existence.

તત્વજ્ઞાનની ચર્ચા અસ્તિત્વના સ્વભાવમાં ઊંડી ઉતરી.


The intricate design of the building was admired by all.

બિલ્ડિંગની જટિલ ડિઝાઇન સૌ કોઈને ગમી.


The economic downturn significantly affected the global markets.

આર્થિક મંદીએ વૈશ્વિક બજારોને નોંધપાત્ર અસર કરી.


The artist's innovative techniques revolutionized the art world.

કલાકારની નવીન તકનીકોએ કલા જગતમાં ક્રાંતિ લાવી.


The company's strategic plan outlined its future goals.

કંપનીની વ્યૂહાત્મક યોજનાએ તેના ભાવિ લક્ષ્યોની રૂપરેખા આપી.


The scientific community is constantly seeking new discoveries.

વૈજ્ઞાનિક સમુદાય સતત નવી શોધખોળ કરી રહ્યો છે.


The implications of the new law are far-reaching.

નવા કાયદાના પરિણામો દૂરગામી છે.


Understanding the nuances of the language is crucial for effective communication.

અસરકારક વાતચીત માટે ભાષાની બારીકાઈઓને સમજવી જરૂરી છે.


We will see that we can make the definition of an algorithm fully formal.

આપણે જોઈશું કે આપણે અલ્ગોરિધમની વ્યાખ્યાને સંપૂર્ણ ઔપચારિક બનાવી શકીએ છીએ.


While the choice of AND/OR/NOT is arbitrary, we will also see this choice does not matter much.

જ્યારે AND/OR/NOT ની પસંદગી મનસ્વી છે, અમે એ પણ જોઈશું કે આ પસંદગી બહુ વાંધો નથી કરતી.


We will see that we would obtain the same computational power if we instead used addition and multiplication.

આપણે જોઈશું કે જો આપણે તેના બદલે સરવાળો અને ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીએ તો આપણને સમાન ગણતરીની શક્તિ મળશે.


It turns out that we can and do compute such “AND/OR/NOT- based algorithms” in the real world.

એવું બહાર આવ્યું છે કે આપણે વાસ્તવિક દુનિયામાં આવા “AND/OR/NOT- આધારિત અલ્ગોરિધમ્સ” ની ગણતરી કરી શકીએ છીએ અને કરીએ છીએ.


First of all, such an algorithm is clearly well specified, and so can be executed by a human with a pen and paper.

સૌ પ્રથમ, આવા અલ્ગોરિધમ સ્પષ્ટ રીતે સારી રીતે નિર્દિષ્ટ છે, અને તેથી તેને પેન અને કાગળ સાથે માનવ દ્વારા ચલાવી શકાય છે.


We’ve already seen that we can write Python code that corresponds to following such a list of instructions.

આપણે પહેલાથી જ જોયું છે કે આપણે એવો પાયથોન કોડ લખી શકીએ છીએ જે સૂચનાઓની આવી સૂચિને અનુરૂપ છે.


But in fact we can directly implement operations such as AND, OR, and NOT defining computation.

પરંતુ હકીકતમાં, આપણે સીધી રીતે AND, OR અને NOT જેવી કામગીરીને ગણતરી વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ.


This is how modern electronic computers operate.

આ રીતે આધુનિક ઇલેક્ટ્રોનિક કમ્પ્યુટર્સ કાર્ય કરે છે.


In the remainder of this chapter, and the rest of this book, we will begin to answer some of these questions.

આ પ્રકરણના બાકીના ભાગમાં, અને આ પુસ્તકના બાકીના ભાગમાં, અમે આમાંના કેટલાક પ્રશ્નોના જવાબ આપવાનું શરૂ કરીશું.


We will see more examples of the power of simple operations to compute more complex operations including addition, multiplication, sorting and more.

આપણે ઉમેરણ, ગુણાકાર, સૉર્ટિંગ અને વધુ સહિત વધુ જટિલ કામગીરીની ગણતરી કરવા માટે સરળ કામગીરીની શક્તિના વધુ ઉદાહરણો જોઈશું.


Boolean circuits provide a precise notion of “composing basic operations together”.

બૂલિયન સર્કિટ્સ “મૂળભૂત કામગીરીને એકસાથે જોડવાની” ચોક્કસ વિભાવના પ્રદાન કરે છે.


A Boolean circuit is composed of gates and inputs that are connected by wires.

બૂલિયન સર્કિટ ગેટ્સ અને ઇનપુટ્સથી બનેલું છે જે વાયર દ્વારા જોડાયેલા છે.


The wires carry a signal that represents either the value 0 or 1.

વાયર એક સિગ્નલ વહન કરે છે જે 0 અથવા 1 મૂલ્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.


Each gate corresponds to either the OR, AND, or NOT operation.

દરેક ગેટ OR, AND, અથવા NOT ઓપરેશનને અનુરૂપ છે.


If these two incoming wires carry the signals a and b, then the signal on the outgoing wires will be OR(a,b).

જો આ બે આવતા વાયરો સિગ્નલ a અને b વહન કરે છે, તો પછી બહાર જતા વાયરો પરનું સિગ્નલ OR(a,b) હશે.


We also designate some gates as output gates, and their value corresponds to the result of evaluating the circuit.

અમે કેટલાક ગેટ્સને આઉટપુટ ગેટ્સ તરીકે પણ નિયુક્ત કરીએ છીએ, અને તેમનું મૂલ્ય સર્કિટનું મૂલ્યાંકન કરવાના પરિણામને અનુરૂપ છે.


We evaluate an n-input Boolean circuit C on an input x by placing the bits of x on the inputs.

આપણે ઇનપુટ્સ પર x ના બિટ્સ મૂકીને ઇનપુટ x પર n-ઇનપુટ બૂલિયન સર્કિટ C નું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ.


Boolean circuits are a mathematical model that does not necessarily correspond to a physical object, but they can be implemented physically.

બૂલિયન સર્કિટ્સ એક ગાણિતિક મોડેલ છે જે જરૂરી નથી કે ભૌતિક પદાર્થને અનુરૂપ હોય, પરંતુ તે શારીરિક રીતે અમલમાં મૂકી શકાય છે.


Define ALLEQ∶ {0,1} 4 → {0,1} to be the function that on input x ∈ {0,1} 4 outputs 1 if and only if x 0 = x 1 = x 2 = x 3.

ALLEQ∶ {0,1} 4 → {0,1} ને એ ફંક્શન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો કે જે ઇનપુટ x ∈ {0,1} 4 પર 1 આઉટપુટ કરે છે જો અને માત્ર જો x 0 = x 1 = x 2 = x 3.


We defined Boolean circuits informally as obtained by connecting AND, OR, and NOT gates via wires so as to produce an output from an input.

આપણે બૂલિયન સર્કિટ્સને અનૌપચારિક રીતે AND, OR, અને NOT ગેટ્સને વાયર દ્વારા કનેક્ટ કરીને ઇનપુટમાંથી આઉટપુટ ઉત્પન્ન કરવા માટે મેળવ્યા છે.


આજે હવામાન સુખદ છે.


I am going to the market to buy some vegetables.

હું થોડા શાકભાજી ખરીદવા બજારમાં જઈ રહ્યો છું.


મહેરબાની કરીને દરવાજો બંધ કરો.


The company announced a new product launch.

કંપનીએ નવા ઉત્પાદન લોન્ચની જાહેરાત કરી.


The research team is working on a new algorithm.

સંશોધન ટીમ એક નવા અલ્ગોરિધમ પર કામ કરી રહી છે.


તેણી એક ખૂબ જ પ્રતિભાશાળી સંગીતકાર છે.


Could you please help me with this task?

શું તમે મને આ કાર્યમાં મદદ કરી શકો છો?


The government is implementing new policies.

સરકાર નવી નીતિઓ લાગુ કરી રહી છે.


The data analysis revealed interesting insights.

ડેટા વિશ્લેષણે રસપ્રદ આંતરદૃષ્ટિ જાહેર કરી.


He is a well-known author and has written many books.

તે એક જાણીતા લેખક છે અને તેમણે ઘણા પુસ્તકો લખ્યા છે.


આગામી મહિને કોન્ફરન્સ યોજાશે.


The project requires a significant investment.

પ્રોજેક્ટને નોંધપાત્ર રોકાણની જરૂર છે.


The algorithm's efficiency is crucial for performance.

અલ્ગોરિધમની કાર્યક્ષમતા કામગીરી માટે નિર્ણાયક છે.


પડકારો હોવા છતાં, તેઓ સફળ થયા.


આર્થિક આગાહી વૃદ્ધિની આગાહી કરે છે.


The complex system requires careful maintenance.

જટિલ સિસ્ટમને સાવચેતીપૂર્વક જાળવણીની જરૂર છે.


કલાકારનું કાર્ય ખૂબ જ વખાણાયેલું છે.


The company is expanding its operations globally.

કંપની વૈશ્વિક સ્તરે તેના કામગીરીનો વિસ્તાર કરી રહી છે.


The study explores the impact of social media.

અભ્યાસ સોશિયલ મીડિયાની અસરની શોધ કરે છે.


The innovative solution addresses the core problem.

આ નવીન ઉકેલ મુખ્ય સમસ્યાને સંબોધે છે.


Gordon Moore’s article “predicting” the implications of radically improving transistor density.

ગોર્ડન મૂરેના લેખમાં ટ્રાન્ઝિસ્ટરની ઘનતામાં ક્રાંતિકારી સુધારાના પરિણામોની આગાહી કરવામાં આવી છે.


Figure 3.18: The exponential growth in computing power over the last 120 years.

આકૃતિ 3.18: છેલ્લા 120 વર્ષોમાં કમ્પ્યુટિંગ પાવરમાં ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ.


Graph by Steve Jurvet- son, extending a prior graph of Ray Kurzweil.

સ્ટીવ જુરવેટસન દ્વારા ગ્રાફ, રે કુરઝવેઇલના અગાઉના ગ્રાફનો વિસ્તાર.


Figure 3.19: Implementing logical gates using transis- tors.

આકૃતિ 3.19: ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો ઉપયોગ કરીને લોજિકલ ગેટ્સનો અમલ.


Early vacuum tubes were roughly the size of lightbulbs (and looked very much like them too).

પ્રારંભિક વેક્યુમ ટ્યુબ્સ લગભગ લાઇટબલ્બના કદની હતી (અને તે પણ તેના જેવી જ દેખાતી હતી).


In the 1950’s they were supplanted bytransistors, which implement the same logic using semiconductors which are materials that normally do not conduct electricity but whose conductivity can be modified and controlled by inserting impu- rities (“doping”) and applying an external electric field (this is known as thefield effect).

1950ના દાયકામાં, તેઓને ટ્રાન્ઝિસ્ટર દ્વારા બદલવામાં આવ્યા, જે તે જ તર્કને અર્ધવાહકનો ઉપયોગ કરીને અમલમાં મૂકે છે, જે એવી સામગ્રી છે જે સામાન્ય રીતે વીજળીનું સંચાલન કરતી નથી, પરંતુ જેની વાહકતાને અશુદ્ધિઓ (“ડોપિંગ”) દાખલ કરીને અને બાહ્ય ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર લાગુ કરીને સંશોધિત અને નિયંત્રિત કરી શકાય છે (આને ફિલ્ડ ઇફેક્ટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે).


In the 1960’s computers started to be implemented using integrated circuits which enabled much greater density.

1960ના દાયકામાં કમ્પ્યુટર્સને ઇન્ટિગ્રેટેડ સર્કિટનો ઉપયોગ કરીને અમલમાં મૂકવાનું શરૂ કરવામાં આવ્યું, જેણે ઘણી વધારે ઘનતાને સક્ષમ કરી.


In 1965, Gordon Moore predicted that the number of transistors per integrated circuit would double every year (see Fig. 3.16), and that this would lead to “such wonders as home computers —or at least terminals con- nected to a central computer— automatic controls for automobiles, and personal portable communications equipment”.

1965 માં, ગોર્ડન મૂરે આગાહી કરી હતી કે ઇન્ટિગ્રેટેડ સર્કિટ દીઠ ટ્રાન્ઝિસ્ટરની સંખ્યા દર વર્ષે બમણી થશે (જુઓ આકૃતિ 3.16), અને તેનાથી “હોમ કમ્પ્યુટર્સ જેવા અજાયબીઓ —અથવા ઓછામાં ઓછા સેન્ટ્રલ કમ્પ્યુટર સાથે જોડાયેલા ટર્મિનલ્સ— ઓટોમોબાઈલ માટે ઓટોમેટિક કંટ્રોલ અને વ્યક્તિગત પોર્ટેબલ કોમ્યુનિકેશન્સ સાધનો” થશે.


Since then, (ad- justed versions of) this so-called “Moore’s law” have been running strong, though exponential growth cannot be sustained forever, and some physical limitations are already becoming apparent.

ત્યારથી, આ કહેવાતા “મૂરેના નિયમ” (ના સુધારેલા સંસ્કરણો) મજબૂત રીતે ચાલી રહ્યા છે, જોકે ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ કાયમ ટકી શકતી નથી, અને કેટલીક ભૌતિક મર્યાદાઓ પહેલેથી જ દેખાવા લાગી છે.


3.5.2 Logical gates from transistors We can use transistors to implement various Boolean functions such asAND,OR, andNOT.

3.5.2 ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાંથી લોજિકલ ગેટ્સ આપણે AND, OR અને NOT જેવા વિવિધ બુલિયન કાર્યોને અમલમાં મૂકવા માટે ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.


For each two-input gate퐺 ∶ {0,1} 2 → {0,1}, such an implementation would be a system with two input wires푥,푦 and one output wire푧, such that if we identify high voltage with “1” and low voltage with “0”, then the wire푧will be equal to “1” if and only if applying퐺to the values of the wires푥and푦is1(see Fig. 3.19 andFig. 3.20).

દરેક બે-ઇનપુટ ગેટ퐺 ∶ {0,1} 2 → {0,1} માટે, આવા અમલીકરણમાં બે ઇનપુટ વાયર푥, 푦 અને એક આઉટપુટ વાયર푧 સાથેની સિસ્ટમ હશે, જેમ કે જો આપણે ઉચ્ચ વોલ્ટેજને “1” અને નીચા વોલ્ટેજને “0” સાથે ઓળખીએ, તો વાયર푧 “1” ની બરાબર હશે જો અને માત્ર જો વાયર푥 અને 푦 ના મૂલ્યો પર퐺 લાગુ કરવું 1 હોય (જુઓ આકૃતિ 3.19 અને આકૃતિ 3.20).


This means that if there exists a AND/OR/NOT circuit to compute a function푔 ∶ {0,1} 푛 → {0,1} 푚 , then we can compute푔in the physical world using transistors as well.

આનો અર્થ એ છે કે જો કોઈ ફંક્શન푔 ∶ {0,1} 푛 → {0,1} 푚 ની ગણતરી કરવા માટે AND/OR/NOT સર્કિટ અસ્તિત્વમાં છે, તો પછી આપણે ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો ઉપયોગ કરીને ભૌતિક દુનિયામાં પણ푔 ની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.


3.5.3 Biological computing Computation can be based on biological or chemical systems.

3.5.3 જૈવિક કમ્પ્યુટિંગ ગણતરી જૈવિક અથવા રાસાયણિક પ્રણાલીઓ પર આધારિત હોઈ શકે છે.


For example the lacoperon produces the enzymes needed to digest lactose only if the conditions푥 ∧ (¬푦)hold where푥is “lactose is present” and푦is “glucose is present”.

ઉદાહરણ તરીકે, લેકોપેરોન લેક્ટોઝને પચાવવા માટે જરૂરી એન્ઝાઇમ્સ ઉત્પન્ન કરે છે જો શરતો푥 ∧ (¬푦) લાગુ પડે જ્યાં푥 “લેક્ટોઝ હાજર છે” અને 푦 “ગ્લુકોઝ હાજર છે”.


Researchers have managed to create transistors, and from them logic gates, based on DNA molecules (see also Fig. 3.21).

સંશોધકો ડીએનએ અણુઓ પર આધારિત ટ્રાન્ઝિસ્ટર અને તેમાંથી લોજિક ગેટ્સ બનાવવામાં સફળ થયા છે (આકૃતિ 3.21 પણ જુઓ).


Projects such as theCello programming language enable converting Boolean circuits into DNA sequences that encode operations that can be executed in bacterial cells, seethis video.

Cello પ્રોગ્રામિંગ ભાષા જેવા પ્રોજેક્ટ્સ બુલિયન સર્કિટને ડીએનએ સિક્વન્સમાં રૂપાંતરિત કરવાનું સક્ષમ કરે છે જે બેક્ટેરિયલ કોષોમાં ચલાવી શકાય તેવા ઓપરેશન્સને એન્કોડ કરે છે, આ વિડિયો જુઓ.


One motivation for DNA computing is to achieve increased parallelism or storage density; another is to create “smart biological agents” that could perhaps be injected into bodies, replicate themselves, and fix or kill cells that were damaged by a disease such as cancer.

DNA કમ્પ્યુટિંગ માટેની એક પ્રેરણા એ છે કે વધેલી સમાંતરતા અથવા સંગ્રહ ઘનતા પ્રાપ્ત કરવી; બીજું “સ્માર્ટ જૈવિક એજન્ટો” બનાવવાનું છે જે કદાચ શરીરમાં ઇન્જેક્ટ કરી શકાય, પોતાની નકલ કરી શકે અને કેન્સર જેવા રોગથી નુકસાન પામેલા કોષોને ઠીક કરી શકે અથવા મારી શકે.


Computing in biological systems is not restricted, of course, to DNA: even larger systems such as flocks of birdscan be considered as computational processes.

જૈવિક પ્રણાલીઓમાં કમ્પ્યુટિંગ, અલબત્ત, ડીએનએ સુધી મર્યાદિત નથી: પક્ષીઓના ટોળાં જેવી મોટી પ્રણાલીઓને પણ ગણતરીની પ્રક્રિયાઓ તરીકે ગણી શકાય.


3.5.4 Cellular automata and the game of life Cellular automatais a model of a system composed of a sequence of cells, each of which can have a finite state.

3.5.4 સેલ્યુલર ઓટોમેટા અને જીવનની રમત સેલ્યુલર ઓટોમેટા એ કોષોની શ્રેણીથી બનેલી સિસ્ટમનું મોડેલ છે, જેમાંથી દરેકની મર્યાદિત સ્થિતિ હોઈ શકે છે.


At each step, a cell updates its state based on the states of itsneighboring cellsand some simple rules.

દરેક પગલા પર, એક કોષ તેના પાડોશી કોષોની સ્થિતિ અને કેટલીક સરળ નિયમોના આધારે તેની સ્થિતિને અપડેટ કરે છે.


The IF function is also known as a multiplexing function.

IF ફંક્શનને મલ્ટિપ્લેક્સિંગ ફંક્શન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.


આપણે NAND માં શરતી વિધેયો લાગુ કરી શકીએ છીએ.


The idea is that we replace code of the form if(condition): assign blah to variable foo with code of the form foo =IF(condition, blah, foo).

વિચાર એ છે કે આપણે if(condition) સ્વરૂપના કોડને બદલીએ છીએ: ચલ foo ને blah સોંપો, foo =IF(condition, blah, foo) સ્વરૂપના કોડ સાથે.


Using such transformations, we can prove the following theorem.

આવા રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને, અમે નીચેના પ્રમેયને સાબિત કરી શકીએ છીએ.


For every NAND-CIRC-IF program P, there exists a standard (i.e., “sugar-free”) NAND-CIRC program P′ that computes the same function as P.

દરેક NAND-CIRC-IF પ્રોગ્રામ P માટે, એક પ્રમાણભૂત (એટલે કે, “ખાંડ-મુક્ત”) NAND-CIRC પ્રોગ્રામ P′ છે જે P જેવું જ કાર્ય કરે છે.


Using “syntactic sugar”, we can write the integer addition function as follows:

“સિન્ટેક્ટિક સુગર” નો ઉપયોગ કરીને, અમે પૂર્ણાંક ઉમેરણ કાર્યને નીચે પ્રમાણે લખી શકીએ છીએ:


બે n-બીટ પૂર્ણાંકો ઉમેરો.


આપણે સગવડ માટે Python સિન્ટેક્સનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.


This is not the most efficient program for this task.

આ કાર્ય માટે આ સૌથી કાર્યક્ષમ પ્રોગ્રામ નથી.


For every n we can remove the loop construct for i in range(n) by simply repeating the code n times.

દરેક n માટે, આપણે ફક્ત કોડને n વખત પુનરાવર્તિત કરીને i in range(n) માટે લૂપ કન્સ્ટ્રક્ટ દૂર કરી શકીએ છીએ.


The program/circuit has 43 lines/- gates which is by no means necessary.

પ્રોગ્રામ/સર્કિટમાં 43 લાઈનો/- ગેટ્સ છે જે કોઈપણ રીતે જરૂરી નથી.


For every n ∈ ℕ, let ADDn ∶ {0,1}2n → {0,1}n+1 be the function that, given x,x′ ∈ {0,1}n computes the representation of the sum of the numbers that x and x′ represent.

દરેક n ∈ ℕ માટે, ધારો કે ADDn ∶ {0,1}2n → {0,1}n+1 એ એવું કાર્ય છે કે, x,x′ ∈ {0,1}n આપેલ છે, જે સંખ્યાઓના સરવાળાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે x અને x′ પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.


Once we have addition, we can use the grade-school algorithm to obtain multiplication as well.

એકવાર આપણી પાસે સરવાળો થઈ જાય, પછી આપણે ગુણાકાર મેળવવા માટે ગ્રેડ-સ્કૂલ એલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.


For every n, let MULTn ∶ {0,1}2n → {0,1}2n be the function that, given x,x′ ∈ {0,1}n computes the representation of the product of the numbers that x and x′ represent.

દરેક n માટે, ધારો કે MULTn ∶ {0,1}2n → {0,1}2n એ એવું કાર્ય છે કે, x,x′ ∈ {0,1}n આપેલ છે, જે સંખ્યાઓના ગુણાકારનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે x અને x′ પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.


We omit the proof, though in Exercise 4.7 we ask you to supply a “constructive proof” in the form of a program.

આપણે પુરાવાને છોડી દઈએ છીએ, જોકે કસરત 4.7 માં અમે તમને પ્રોગ્રામના રૂપમાં “રચનાત્મક પુરાવા” આપવા માટે કહીએ છીએ.


The LOOKUP function will play an important role in this chapter and later.

LOOKUP ફંક્શન આ પ્રકરણમાં અને પછીથી મહત્વની ભૂમિકા ભજવશે.


For every k, the lookup function of order k, LOOKUPk ∶ {0,1}2k+k → {0,1} is defined as follows:

દરેક k માટે, ક્રમ k નું લુકઅપ ફંક્શન, LOOKUPk ∶ {0,1}2k+k → {0,1} ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:


The output is xi: the i-th coordinate of x, where we identify i as a number in [k] using the binary representation.

આઉટપુટ xi છે: x નો i-th કોઓર્ડિનેટ, જ્યાં આપણે દ્વિસંગી પ્રતિનિધિત્વનો ઉપયોગ કરીને i ને [k] માં એક સંખ્યા તરીકે ઓળખીએ છીએ.


See Fig. 4.6 for an illustration of the LOOKUP function.

LOOKUP ફંક્શનના ચિત્રણ માટે આકૃતિ 4.6 જુઓ.


It turns out that for every k, we can compute LOOKUPk using a NAND-CIRC program.

એવું બહાર આવ્યું છે કે દરેક k માટે, આપણે NAND-CIRC પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને LOOKUPk ની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.


આ કોડ NAND-CIRC પ્રોગ્રામનું મૂલ્યાંકન કરે છે.


The function GET(V, i) returns the value at index i in array V.

કાર્ય GET(V, i) એરે V માં ઇન્ડેક્સ i પરનું મૂલ્ય પરત કરે છે.


The UPDATE function modifies the Vartable.

UPDATE ફંક્શન Vartable ને સંશોધિત કરે છે.


The program uses a list of tuples representation.

પ્રોગ્રામ ટ્યુપલ્સના પ્રતિનિધિત્વની સૂચિનો ઉપયોગ કરે છે.


આપણે સમય O(2^ℓ) માં LOOKUP ની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.


The total number of lines to compute EVAL is O(s^2 log s).

EVAL ની ગણતરી કરવા માટેની લાઇનોની કુલ સંખ્યા O(s^2 log s) છે.


The NAND-CIRC program is less efficient than its Python counterpart.

NAND-CIRC પ્રોગ્રામ તેના Python સમકક્ષ કરતાં ઓછો કાર્યક્ષમ છે.


It is possible to improve the bound of Theorem 5.10.

પ્રમેય 5.10 ની મર્યાદાને સુધારવાનું શક્ય છે.


The key is to consider the description of NAND-CIRC programs as circuits.

ચાવી એ છે કે NAND-CIRC પ્રોગ્રામ્સના વર્ણનને સર્કિટ તરીકે ધ્યાનમાં લેવું.


A universal NAND-CIRC program will correspond to a universal graph.

એક સાર્વત્રિક NAND-CIRC પ્રોગ્રામ સાર્વત્રિક ગ્રાફને અનુરૂપ હશે.


We essentially translated every line of the Python program for EVAL.

આપણે મૂળભૂત રીતે EVAL માટેના Python પ્રોગ્રામની દરેક લાઇનનું ભાષાંતર કર્યું.


It is possible to translate every Python program into an equivalent NAND-CIRC program.

દરેક Python પ્રોગ્રામને સમકક્ષ NAND-CIRC પ્રોગ્રામમાં ભાષાંતર કરવું શક્ય છે.


The ARM architecture powers many mobile devices.

ARM આર્કિટેક્ચર ઘણા મોબાઇલ ઉપકરણોને શક્તિ આપે છે.


Understanding how programs are transformed is fundamental to computer science.

પ્રોગ્રામ્સ કેવી રીતે રૂપાંતરિત થાય છે તે સમજવું એ કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન માટે મૂળભૂત છે.


We can obtain one NAND-CIRC program to evaluate arbitrary Python programs.

આપણે મનસ્વી Python પ્રોગ્રામ્સનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે એક NAND-CIRC પ્રોગ્રામ મેળવી શકીએ છીએ.


The notion of universality or self-reference of computation is important.

ગણતરીની સાર્વત્રિકતા અથવા સ્વ-સંદર્ભની કલ્પના મહત્વપૂર્ણ છે.


Boolean circuits encapsulate every computation.

બૂલિયન સર્કિટ દરેક ગણતરીને સમાવે છે.


The Physical Extended Church-Turing Thesis is a hypothesis.

ભૌતિક વિસ્તૃત ચર્ચ-ટ્યુરિંગ થિસિસ એક પૂર્વધારણા છે.


If a function can be computed in the physical world using physical resources, then it can be computed by a Boolean circuit.

જો કોઈ કાર્ય ભૌતિક સંસાધનોનો ઉપયોગ કરીને ભૌતિક વિશ્વમાં ગણી શકાય, તો પછી તેની ગણતરી બૂલિયન સર્કિટ દ્વારા કરી શકાય છે.


We can attempt a more exact phrasing of the PECTT.

આપણે PECTT ની વધુ ચોક્કસ શબ્દ રચનાનો પ્રયાસ કરી શકીએ છીએ.


The number of functions that can be computed using small circuits is much smaller than the total number of functions.

નાના સર્કિટનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય તેવા કાર્યોની સંખ્યા કાર્યોની કુલ સંખ્યા કરતા ઘણી ઓછી છે.


A function mapping {0,1} to {0,1} can be identified with the list of its four values.

{0,1} થી {0,1} સુધીનું મેપિંગ કરતું કાર્ય તેના ચાર મૂલ્યોની સૂચિ સાથે ઓળખી શકાય છે.


The number of functions mapping {0,1} to {0,1} is equal to the number of possible lists of values which is exactly 2^(2^n).

{0,1} થી {0,1} સુધીના મેપિંગ કાર્યોની સંખ્યા એ મૂલ્યોની સંભવિત સૂચિની સંખ્યા જેટલી છે જે બરાબર 2^(2^n) છે.


There is a constant δ > 0, such that for every sufficiently large n, there is a function f : {0,1}^n -> {0,1} such that f ∉ SIZE_n(δ2^n/n).

એક અચળ δ > 0 છે, જેમ કે દરેક પૂરતા મોટા n માટે, એક કાર્ય f : {0,1}^n -> {0,1} છે જેમ કે f ∉ SIZE_n(δ2^n/n).


We have seen before that every function mapping {0,1}^n to {0,1} can be computed by an O(2^n/n) line program.

આપણે અગાઉ જોયું છે કે {0,1}^n થી {0,1} સુધીના મેપિંગ કરતું દરેક કાર્ય O(2^n/n) લાઇન પ્રોગ્રામ દ્વારા ગણી શકાય છે.


Some functions f : {0,1}^n -> {0,1} cannot be computed by a Boolean circuit using fewer than exponential (in n) number of gates.

કેટલાક કાર્યો f : {0,1}^n -> {0,1} ને ઓછા ઘાતાંકીય (n માં) ગેટ્સનો ઉપયોગ કરીને બુલિયન સર્કિટ દ્વારા ગણી શકાય નહીં.


The ASCII representation is not the shortest representation for NAND-CIRC programs.

ASCII પ્રતિનિધિત્વ NAND-CIRC પ્રોગ્રામ્સ માટે સૌથી ટૂંકું પ્રતિનિધિત્વ નથી.


We prove Theorem 5.5 by coming up with a list f0, ..., f2^n of functions.

અમે કાર્યોની યાદી f0, ..., f2^n સાથે આવીને પ્રમેય 5.5 સાબિત કરીએ છીએ.


By Theorem 4.15 the class SIZE_n(10 ⋅ 2^n/n) contains all functions from {0,1}^n to {0,1}.

પ્રમેય 4.15 દ્વારા વર્ગ SIZE_n(10 ⋅ 2^n/n) માં {0,1}^n થી {0,1} સુધીના તમામ કાર્યો છે.


For every sufficiently large n and 10n < s < 0.1 ⋅ 2^n/n, SIZE_n(s) ⊊ SIZE_n(s+10n).

દરેક પૂરતા મોટા n અને 10n < s < 0.1 ⋅ 2^n/n માટે, SIZE_n(s) ⊊ SIZE_n(s+10n).


We define the functions f0, f1, ..., f2^n mapping {0,1}^n to {0,1} as follows.

અમે કાર્યો f0, f1, ..., f2^n ને નીચે પ્રમાણે {0,1}^n થી {0,1} સુધી મેપિંગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.


The function f0 is simply the constant zero function, while the function f2^n is equal to f*.

કાર્ય f0 એ ફક્ત અચળ શૂન્ય કાર્ય છે, જ્યારે કાર્ય f2^n એ f* ની બરાબર છે.


The list of tuples representation is our default choice for representing NAND-CIRC programs.

ટ્યુપલ્સનું પ્રતિનિધિત્વ NAND-CIRC પ્રોગ્રામ્સનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટેની અમારી ડિફોલ્ટ પસંદગી છે.


Transforming a NAND-CIRC program from its representation as code to the representation as a list of tuples is a fairly straightforward programming exercise.

NAND-CIRC પ્રોગ્રામને કોડ તરીકે તેના પ્રતિનિધિત્વથી ટ્યુપલ્સની સૂચિ તરીકેના પ્રતિનિધિત્વમાં રૂપાંતરિત કરવું એ એકદમ સીધી પ્રોગ્રામિંગ કસરત છે.


If P is a program of size s, then the number t of variables is at most 3s.

જો P એ s કદનો પ્રોગ્રામ છે, તો ચલોની સંખ્યા t વધુમાં વધુ 3s છે.


We can encode every variable index in [t] as a string of length ℓ = ⌈log(3s)⌉, by adding leading zeroes as needed.

આપણે દરેક ચલ ઇન્ડેક્સને [t] માં લંબાઈ ℓ = ⌈log(3s)⌉ ની સ્ટ્રિંગ તરીકે એન્કોડ કરી શકીએ છીએ, જરૂરિયાત મુજબ અગ્રણી શૂન્યો ઉમેરીને.


We define EVAL_s,n,m : {0,1}^S(s)+n -> {0,1}^m as follows.

અમે EVAL_s,n,m : {0,1}^S(s)+n -> {0,1}^m ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.


EVAL_s,n,m is a finite function taking a string of fixed length as input and outputting a string of fixed length as output.

EVAL_s,n,m એ એક મર્યાદિત કાર્ય છે જે નિશ્ચિત લંબાઈની સ્ટ્રિંગને ઇનપુટ તરીકે લે છે અને નિશ્ચિત લંબાઈની સ્ટ્રિંગને આઉટપુટ તરીકે આપે છે.


For every s, n, m ∈ ℕ with s ≥ m there is a NAND-CIRC program U_s,n,m that computes the function EVAL_s,n,m.

દરેક s, n, m ∈ ℕ સાથે s ≥ m માટે એક NAND-CIRC પ્રોગ્રામ U_s,n,m છે જે કાર્ય EVAL_s,n,m ની ગણતરી કરે છે.


We will use variables Vartable[0], ..., Vartable[2ℓ − 1], where ℓ = ⌈log3s⌉ to store our variables.

અમે અમારા ચલોને સંગ્રહિત કરવા માટે ચલો Vartable[0], ..., Vartable[2ℓ − 1] નો ઉપયોગ કરીશું, જ્યાં ℓ = ⌈log3s⌉.


We will discuss quantum computing in much more detail in Chapter 23.

આપણે ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગની ચર્ચા પ્રકરણ 23 માં વધુ વિગતવાર કરીશું.


Governments rely on cryptography to protect state secrets.

સરકારો રાજ્યના રહસ્યોને સુરક્ષિત રાખવા માટે ક્રિપ્ટોગ્રાફી પર આધાર રાખે છે.


We can think of programs as a list of symbols that can be considered as data.

આપણે પ્રોગ્રામ્સને પ્રતીકોની સૂચિ તરીકે વિચારી શકીએ છીએ જેને ડેટા તરીકે ગણી શકાય.


Every function can be computed by many programs.

દરેક કાર્યક્રમને ઘણા પ્રોગ્રામ્સ દ્વારા ગણી શકાય છે.


The main challenge to the PECTT is quantum computing.

PECTT માટેનું મુખ્ય પડકાર ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગ છે.


We can model a computational process using Boolean circuits.

આપણે બુલિયન સર્કિટનો ઉપયોગ કરીને કમ્પ્યુટેશનલ પ્રક્રિયાને મોડેલ કરી શકીએ છીએ.


This chapter concludes the first part of this book.

આ પ્રકરણ આ પુસ્તકના પ્રથમ ભાગનો અંત લાવે છે.


We can formally define the notion of a function.

આપણે ઔપચારિક રીતે કાર્યની વિભાવનાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ.


Whether these operations are AND/OR/NOT, NAND, or some other universal basis does not make much difference.

આ કામગીરી AND/OR/NOT, NAND છે કે અન્ય કોઈ સાર્વત્રિક આધાર છે તે બહુ ફરક પાડતું નથી.


Every function can be computed using a circuit of at most O(m * 2^n / n) gates.

દરેક કાર્યને વધુમાં વધુ O(m * 2^n / n) ગેટ્સના સર્કિટનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે.


We can describe a circuit/program P as a string.

આપણે સર્કિટ/પ્રોગ્રામ P ને સ્ટ્રિંગ તરીકે વર્ણવી શકીએ છીએ.


For every s, there is a universal circuit/program Us that can evaluate programs of length s.

દરેક s માટે, એક સાર્વત્રિક સર્કિટ/પ્રોગ્રામ Us છે જે s લંબાઈના પ્રોગ્રામ્સનું મૂલ્યાંકન કરી શકે છે.


The Physical Extended Church-Turing Thesis postulates that the reverse direction is true as well.

ભૌતિક વિસ્તૃત ચર્ચ-ટ્યુરિંગ થિસીસ ધારે છે કે વિપરીત દિશા પણ સાચી છે.


The main challenge to the PECTT is quantum computing, which we will discuss in Chapter 23.

PECTT માટેનું મુખ્ય પડકાર ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગ છે, જેની ચર્ચા આપણે પ્રકરણ 23 માં કરીશું.


In the next part we will discuss how to model computational tasks on unbounded inputs.

આગળના ભાગમાં આપણે અનબાઉન્ડ ઇનપુટ્સ પર કમ્પ્યુટેશનલ કાર્યોને કેવી રીતે મોડેલ કરવા તે અંગે ચર્ચા કરીશું.


There is an O(s^3) line NAND-CIRC program that given as input program P of s lines.

એક O(s^3) લાઇન NAND-CIRC પ્રોગ્રામ છે જે ઇનપુટ પ્રોગ્રામ P તરીકે s લાઇન્સ આપે છે.


For every k ∈ ℕ, show that there is an O(k) line NAND-CIRC program that computes the function EQUALS k.

દરેક k ∈ ℕ માટે, બતાવો કે ત્યાં એક O(k) લાઇન NAND-CIRC પ્રોગ્રામ છે જે ફંક્શન EQUALS k ની ગણતરી કરે છે.


How many functions from {0,1}^n to {0,1}^m exist?

{0,1}^n થી {0,1}^m સુધીના કેટલા કાર્યો અસ્તિત્વમાં છે?


Prove that there exists a number δ > 0 such that for every sufficiently large n and every m there exists a function f.

સાબિત કરો કે ત્યાં એક સંખ્યા δ > 0 છે કે જેથી દરેક પૂરતા મોટા n અને દરેક m માટે એક કાર્ય f અસ્તિત્વમાં છે.


We will discuss functions with unbounded length inputs.

આપણે અનબાઉન્ડ લંબાઈના ઇનપુટ્સવાળા કાર્યોની ચર્ચા કરીશું.


The algorithm reads a bit from the input.

એલ્ગોરિધમ ઇનપુટમાંથી એક બીટ વાંચે છે.


A deterministic finite automaton has a finite number of states.

નિશ્ચિત ફાઈનાઈટ ઓટોમેટોન પાસે મર્યાદિત સંખ્યામાં રાજ્યો છે.


Regular expressions are used for pattern matching.

નિયમિત અભિવ્યક્તિઓ પેટર્ન મેચિંગ માટે વપરાય છે.


The machine transitions into a new state based on the input bit.

મશીન ઇનપુટ બીટના આધારે નવા રાજ્યમાં સંક્રમણ કરે છે.


This program reads a single bit and updates its state.

આ પ્રોગ્રામ એક જ બીટ વાંચે છે અને તેની સ્થિતિને અપડેટ કરે છે.


The DFA accepts if the final state is an accepting state.

જો અંતિમ સ્થિતિ સ્વીકાર્ય સ્થિતિ હોય તો DFA સ્વીકારે છે.


We can specify a DFA with a list of rules.

આપણે નિયમોની સૂચિ સાથે DFA સ્પષ્ટ કરી શકીએ છીએ.


The algorithm is a recipe for computing an output.

એલ્ગોરિધમ એ આઉટપુટની ગણતરી માટેની રેસીપી છે.


The difficulty arises from not knowing the circuit.

મુશ્કેલી સર્કિટને ન જાણવાથી આવે છે.


The input length is always finite, but not a priori bounded.

ઇનપુટની લંબાઈ હંમેશા મર્યાદિત હોય છે, પરંતુ અગાઉથી બાઉન્ડ નથી.


Every single-pass constant-memory algorithm corresponds to such a machine.

દરેક સિંગલ-પાસ કોન્સ્ટન્ટ-મેમરી એલ્ગોરિધમ આવા મશીનને અનુરૂપ છે.


The set of accepting states is crucial for the DFA's function.

સ્વીકાર્ય રાજ્યોનો સમૂહ DFAના કાર્ય માટે મહત્વપૂર્ણ છે.


The program outputs the result after traversing the input.

ઇનપુટને પાર કર્યા પછી પ્રોગ્રામ પરિણામો આપે છે.


The machine starts in some initial state.

મશીન અમુક પ્રારંભિક સ્થિતિમાં શરૂ થાય છે.


Regular expressions are a powerful mechanism to specify patterns.

નિયમિત અભિવ્યક્તિઓ પેટર્નને સ્પષ્ટ કરવા માટે એક શક્તિશાળી પદ્ધતિ છે.


The algorithm makes a single pass over the input.

એલ્ગોરિધમ ઇનપુટ પર એક જ પાસ બનાવે છે.


The transition function maps a state and a bit to a new state.

સંક્રમણ કાર્ય એક રાજ્ય અને બીટને નવા રાજ્યમાં મેપ કરે છે.


The size of the circuit is at most c ⋅ 2^n / n gates.

સર્કિટનું કદ વધુમાં વધુ c ⋅ 2^n / n ગેટ્સ છે.


We will present Turing machines in Chapter 7.

આપણે પ્રકરણ 7 માં ટ્યુરિંગ મશીનો રજૂ કરીશું.


The difficulty in computing TWINP arises from not knowing the circuit for each n.

TWINP ની ગણતરીમાં મુશ્કેલી દરેક n માટે સર્કિટને ન જાણવાથી આવે છે.


આજે હવામાન સુખદ છે.


I am going to the market to buy some vegetables.

હું શાકભાજી ખરીદવા બજારમાં જઈ રહ્યો છું.


મહેરબાની કરીને દરવાજો બંધ કરો.


The company announced a new product launch.

કંપનીએ નવા ઉત્પાદન લોન્ચની જાહેરાત કરી.


તે ખૂબ જ પ્રતિભાશાળી સંગીતકાર છે.


આ કોન્ફરન્સ આવતા અઠવાડિયે યોજાશે.


Could you please help me with this task?

શું તમે મને આ કાર્યમાં મદદ કરી શકશો?


The research team is working on a new project.

સંશોધન ટીમ એક નવા પ્રોજેક્ટ પર કામ કરી રહી છે.


તે ફ્લુઅન્ટ અંગ્રેજી અને ગુજરાતી બોલે છે.


The price of oil has increased significantly.

તેલની કિંમતમાં નોંધપાત્ર વધારો થયો છે.


The algorithm efficiently sorts the data.

અલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


The government is implementing new policies.

સરકાર નવી નીતિઓ લાગુ કરી રહી છે.


The complex equation requires advanced calculus.

જટિલ સમીકરણ માટે અદ્યતન કેલ્ક્યુલસની જરૂર છે.


The historical significance of the event is undeniable.

ઘટનાનું ઐતિહાસિક મહત્વ અસ્વીકાર્ય છે.


The company's financial performance improved this quarter.

કંપનીના નાણાકીય પ્રદર્શનમાં આ ત્રિમાસિક ગાળામાં સુધારો થયો છે.


The impact of climate change is becoming increasingly evident.

આબોહવા પરિવર્તનની અસર વધુને વધુ સ્પષ્ટ થઈ રહી છે.


The philosophical debate centered on the nature of reality.

તત્વજ્ઞાનની ચર્ચા વાસ્તવિકતાના સ્વભાવ પર કેન્દ્રિત હતી.


The intricate design of the building is remarkable.

બિલ્ડિંગની જટિલ ડિઝાઇન નોંધપાત્ર છે.


The economic reforms have led to significant growth.

આર્થિક સુધારાઓને કારણે નોંધપાત્ર વૃદ્ધિ થઈ છે.


The scientific community is constantly seeking new discoveries.

વૈજ્ઞાનિક સમુદાય સતત નવા સંશોધનો શોધી રહ્યો છે.


Algorithm 6.11 will check if e matches the empty string.

એલ્ગોરિધમ 6.11 તપાસશે કે શું e ખાલી સ્ટ્રિંગ સાથે મેળ ખાય છે.


The algorithm can make n recursive calls.

એલ્ગોરિધમ n પુનરાવર્તિત કોલ્સ કરી શકે છે.


Fortunately, there is a much more efficient algorithm.

સદભાગ્યે, ત્યાં એક વધુ કાર્યક્ષમ એલ્ગોરિધમ છે.


ચાલો e એક નિયમિત અભિવ્યક્તિ છે.


We prove Theorem 6.12 by obtaining a more efficient recursive algorithm.

આપણે વધુ કાર્યક્ષમ પુનરાવર્તિત એલ્ગોરિધમ મેળવીને પ્રમેય 6.12 સાબિત કરીએ છીએ.


The central definition for the algorithm is the notion of a restriction of a regular expression.

એલ્ગોરિધમ માટેની કેન્દ્રીય વ્યાખ્યા એ નિયમિત અભિવ્યક્તિના પ્રતિબંધની વિભાવના છે.


The idea is that for every regular expression e and symbol σ in its alphabet, it is possible to define a regular expression e[σ].

વિચાર એ છે કે દરેક નિયમિત અભિવ્યક્તિ e અને તેના મૂળાક્ષરોમાં પ્રતીક σ માટે, નિયમિત અભિવ્યક્તિ e[σ] ને વ્યાખ્યાયિત કરવાનું શક્ય છે.


Algorithm 6.13 computes the restriction e[σ] given a regular expression e and an alphabet symbol σ.

એલ્ગોરિધમ 6.13 નિયમિત અભિવ્યક્તિ e અને મૂળાક્ષર પ્રતીક σ આપેલ પ્રતિબંધ e[σ] ની ગણતરી કરે છે.


It always terminates, since the recursive calls it makes are always on expressions smaller than the input expression.

તે હંમેશા સમાપ્ત થાય છે, કારણ કે તે બનાવેલા પુનરાવર્તિત કોલ્સ હંમેશા ઇનપુટ અભિવ્યક્તિ કરતા નાના અભિવ્યક્તિઓ પર હોય છે.


Using this notion of restriction, we can define the following recursive algorithm for regular expression matching.

પ્રતિબંધની આ વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને, અમે નિયમિત અભિવ્યક્તિ મેચિંગ માટે નીચેના પુનરાવર્તિત એલ્ગોરિધમને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ.


By the definition of a restriction, for every σ ∈ Σ and x' ∈ Σ*, the expression e matches x'σ if and only if e[σ] matches x'.

પ્રતિબંધની વ્યાખ્યા દ્વારા, દરેક σ ∈ Σ અને x' ∈ Σ* માટે, જો અને માત્ર જો e[σ] x' સાથે મેળ ખાય તો અભિવ્યક્તિ e x'σ સાથે મેળ ખાય છે.


The only remaining task is to analyze its running time.

માત્ર બાકીનું કાર્ય તેના રનિંગ સમયનું વિશ્લેષણ કરવાનું છે.


For simplicity, let us restrict our attention to the case that the alphabet Σ is equal to {0,1}.

સરળતા માટે, ચાલો આપણે એવા કિસ્સા સુધી આપણું ધ્યાન મર્યાદિત કરીએ કે મૂળાક્ષર Σ {0,1} ની બરાબર છે.


Define C(ℓ) to be the maximum number of operations that Algorithm 6.13 takes when given as input a regular expression e over {0,1} of at most ℓ symbols.

C(ℓ) ને મહત્તમ સંખ્યામાં ઑપરેશન્સ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો જે એલ્ગોરિધમ 6.13 લે છે જ્યારે ઇનપુટ તરીકે વધુમાં વધુ ℓ પ્રતીકોની {0,1} પર નિયમિત અભિવ્યક્તિ e આપવામાં આવે છે.


Algorithm 6.14 is a recursive algorithm that input an expression e and a string x ∈ {0,1}n, does computation of at most C(|e|) steps and then calls itself with input some expression e' and a string x' of length n - 1.

એલ્ગોરિધમ 6.14 એ એક પુનરાવર્તિત એલ્ગોરિધમ છે જે અભિવ્યક્તિ e અને સ્ટ્રિંગ x ∈ {0,1}n ઇનપુટ કરે છે, વધુમાં વધુ C(|e|) પગલાંની ગણતરી કરે છે અને પછી ઇનપુટ તરીકે કેટલીક અભિવ્યક્તિ e' અને લંબાઈ n - 1 ની સ્ટ્રિંગ x' સાથે પોતાને બોલાવે છે.


It will terminate after n steps when it reaches a string of length 0.

જ્યારે તે 0 ની લંબાઈની સ્ટ્રિંગ પર પહોંચે છે ત્યારે તે n પગલાં પછી સમાપ્ત થશે.


To get some intuition for the expression Eq. (6.2), let us open up the recursion for one level.

સમીકરણ (6.2) ની અભિવ્યક્તિ માટે કેટલીક અંતર્જ્ઞાન મેળવવા માટે, ચાલો એક સ્તર માટે પુનરાવર્તનને ખોલીએ.


Therefore, the following claim suffices to show that Algorithm 6.14 runs in O(n) time.

તેથી, એ બતાવવા માટે કે એલ્ગોરિધમ 6.14 O(n) સમયમાં ચાલે છે, નીચેનો દાવો પૂરતો છે.


Let e be a regular expression over {0,1}, then there is a number L(e) ∈ ℕ, such that for every sequence of symbols α0,...,αn-1, if we define e' = e[α0][α1]...[αn-1] (i.e., restricting e to α0, and then α1 and so on and so forth), then |e'| ≤ L(e).

ધારો કે e એ {0,1} પરની નિયમિત અભિવ્યક્તિ છે, તો એક સંખ્યા L(e) ∈ ℕ છે, જેમ કે પ્રતીકોના દરેક ક્રમ α0,...,αn-1 માટે, જો આપણે e' = e[α0][α1]...[αn-1] વ્યાખ્યાયિત કરીએ (એટલે કે, e ને α0 સુધી મર્યાદિત કરવું, અને પછી α1 અને તેથી વધુ), તો |e'| ≤ L(e).


The single-pass constant-memory for checking if a string matches a regular expression is presented in Algorithm 6.16.

જો કોઈ સ્ટ્રિંગ નિયમિત અભિવ્યક્તિ સાથે મેળ ખાય છે કે કેમ તે તપાસવા માટે સિંગલ-પાસ કોન્સ્ટન્ટ-મેમરી એલ્ગોરિધમ 6.16 માં રજૂ કરવામાં આવી છે.


The Turing machine starts in the START state.

ટ્યુરિંગ મશીન START સ્થિતિમાં શરૂ થાય છે.


It moves right, looking for the first 0 or 1.

તે જમણી બાજુએ જાય છે, પ્રથમ 0 અથવા 1 ની શોધમાં.


If it finds ∅ before a 0 or 1, it goes to OUTPUT_1.

જો તેને 0 અથવા 1 પહેલાં ∅ મળે, તો તે OUTPUT_1 પર જાય છે.


The machine deletes the symbol b by writing the × symbol.

મશીન × પ્રતીક લખીને પ્રતીક b ને કાઢી નાખે છે.


It enters the RIGHT_b mode and moves right.

તે RIGHT_b મોડમાં પ્રવેશે છે અને જમણી તરફ જાય છે.


Once the machine finds this symbol, it goes into the LOOK_FOR_0 or LOOK_FOR_1 state.

એકવાર મશીનને આ પ્રતીક મળી જાય, તે LOOK_FOR_0 અથવા LOOK_FOR_1 સ્થિતિમાં જાય છે.


The RETURN state means the machine goes back to the beginning.

RETURN સ્થિતિનો અર્થ છે કે મશીન શરૂઆતમાં પાછું જાય છે.


The OUTPUT_b states mean the machine will eventually output the value b.

OUTPUT_b સ્થિતિઓનો અર્થ છે કે મશીન આખરે મૂલ્ય b આઉટપુટ કરશે.


This table is known as the transition function of the Turing machine.

આ કોષ્ટકને ટ્યુરિંગ મશીનનું સંક્રમણ કાર્ય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.


A Turing machine has access to a tape of unbounded length.

ટ્યુરિંગ મશીનને અમર્યાદિત લંબાઈની ટેપની ઍક્સેસ છે.


The machine can read a single symbol of the tape.

મશીન ટેપનું એક જ પ્રતીક વાંચી શકે છે.


The formal definition of Turing machines is as follows.

ટ્યુરિંગ મશીનોની ઔપચારિક વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે.


We initialize T to be the sequence ▷, x0, x1, ..., xn-1, ∅, ∅, ...

અમે T ને ક્રમ ▷, x0, x1, ..., xn-1, ∅, ∅, ... તરીકે શરૂ કરીએ છીએ.


અમે i = 0 અને s = 0 પણ શરૂ કરીએ છીએ.


If D = R then set i → i+1, if D = L then set i → max{i-1, 0}.

જો D = R તો i → i+1 સેટ કરો, જો D = L તો i → max{i-1, 0} સેટ કરો.


If the process above halts, then M’s output, denoted by M(x), is the string y.

જો ઉપરોક્ત પ્રક્રિયા અટકી જાય, તો Mનું આઉટપુટ, M(x) દ્વારા દર્શાવેલ, સ્ટ્રિંગ y છે.


The machine can compute an infinite function F.

મશીન અનંત કાર્ય F ની ગણતરી કરી શકે છે.


We now turn to make one of the most important definitions in this book: computable functions.

હવે આપણે આ પુસ્તકમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ વ્યાખ્યાઓમાંની એક બનાવવા તરફ વળીએ છીએ: ગણતરીપાત્ર કાર્યો.


We say that M computes F if for every x ∈ {0,1}*, M(x) = F(x).

આપણે કહીએ છીએ કે M, F ની ગણતરી કરે છે જો દરેક x ∈ {0,1}*, M(x) = F(x).


This statement is known as the Church-Turing Thesis.

આ વિધાનને ચર્ચ-ટ્યુરિંગ થિસીસ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.


The concept of Turing completeness is fundamental in computer science.

કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં ટ્યુરિંગ સંપૂર્ણતાનો ખ્યાલ પાયાનો છે.


RAM machines are closer to actual computer architectures.

RAM મશીનો વાસ્તવિક કમ્પ્યુટર આર્કિટેક્ચરની નજીક છે.


Turing machines do not correspond to standard computing architectures.

ટ્યુરિંગ મશીનો પ્રમાણભૂત કમ્પ્યુટિંગ આર્કિટેક્ચરને અનુરૂપ નથી.


We can encode an element using a binary string.

આપણે બાઈનરી સ્ટ્રિંગનો ઉપયોગ કરીને એક તત્વને એન્કોડ કરી શકીએ છીએ.


આ એક ખૂબ જ નાનો મુદ્દો છે.


The website features esoteric programming languages.

વેબસાઇટમાં ગુપ્ત પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ છે.


All problems in computer science can be solved.

કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનની બધી સમસ્યાઓ હલ કરી શકાય છે.


We need a distinction between functions and forms.

આપણને કાર્યો અને સ્વરૂપો વચ્ચે તફાવતની જરૂર છે.


This notion is known as Turing completeness.

આ ખ્યાલને ટ્યુરિંગ સંપૂર્ણતા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.


આપણે ચર્ચ-ટ્યુરિંગ થિસિસની ચર્ચા કરીએ છીએ.


RAM machines do not correspond to standard computing architectures.

RAM મશીનો પ્રમાણભૂત કમ્પ્યુટિંગ આર્કિટેક્ચરને અનુરૂપ નથી.


Cellular automata are equivalent to Turing machines.

સેલ્યુલર ઓટોમેટા ટ્યુરિંગ મશીનોની સમકક્ષ છે.


We introduce the tool of configurations of Turing machines.

આપણે ટ્યુરિંગ મશીનોના રૂપરેખાના સાધનને રજૂ કરીએ છીએ.


The lambda calculus is a model for expressing computation.

લેમ્ડા કેલ્ક્યુલસ ગણતરી વ્યક્ત કરવા માટેનું એક મોડેલ છે.


Two computational models are equivalent.

બે કમ્પ્યુટેશનલ મોડેલો સમકક્ષ છે.


All general-purpose programming languages are Turing Complete.

બધી સામાન્ય હેતુની પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ ટ્યુરિંગ સંપૂર્ણ છે.


We can choose the model of our convenience.

આપણે આપણી સુવિધા માટે મોડેલ પસંદ કરી શકીએ છીએ.


RAM machines capture the architecture of modern computers.

RAM મશીનો આધુનિક કમ્પ્યુટર્સના આર્કિટેક્ચરને કેપ્ચર કરે છે.


Boolean circuits are not Turing complete.

બૂલિયન સર્કિટ ટ્યુરિંગ સંપૂર્ણ નથી.


RAM machines model access to such a memory.

RAM મશીનો આવી મેમરીની ઍક્સેસનું મોડેલ બનાવે છે.


Using the fact that every function can be computed by a NAND-CIRC program, we will be able to compute the transition function of 푀.

એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને કે દરેક કાર્યને NAND-CIRC પ્રોગ્રામ દ્વારા ગણતરી કરી શકાય છે, અમે 푀 ના સંક્રમણ કાર્યની ગણતરી કરી શકીશું.


આપણે ખૂબ જ સમાન વિચારોનો ઉપયોગ કરીને (2) દર્શાવીએ છીએ.


Given a program 푃 that uses 푎 array variables and 푏 scalar variables, we will create a Turing machine.

એક પ્રોગ્રામ 푃 ને જોતાં જે 푎 એરે ચલો અને 푏 સ્કેલર ચલોનો ઉપયોગ કરે છે, અમે એક ટ્યુરિંગ મશીન બનાવીશું.


The Turing machine 푀 simulates each iteration of the program 푃 by updating its state and tape accordingly.

ટ્યુરિંગ મશીન 푀 તેના સ્ટેટ અને ટેપને તે મુજબ અપડેટ કરીને પ્રોગ્રામ 푃 ના દરેક પુનરાવર્તનની નકલ કરે છે.


We start by proving the “if” direction of Theorem 7.11.

આપણે પ્રમેય 7.11 ની “જો” દિશા સાબિત કરીને શરૂઆત કરીએ છીએ.


Namely we show that given a Turing machine 푀, we can find a NAND-TM program 푃 푀 such that for every input 푥, if 푀 halts on input 푥 with output 푦 then 푃 푀 (푥) = 푦.

એટલે કે, અમે બતાવીએ છીએ કે ટ્યુરિંગ મશીન 푀 ને જોતાં, આપણે એક NAND-TM પ્રોગ્રામ 푃 푀 શોધી શકીએ છીએ જેથી દરેક ઇનપુટ 푥 માટે, જો 푀 આઉટપુટ 푦 સાથે ઇનપુટ 푥 પર અટકે છે, તો 푃 푀 (푥) = 푦.


Since our goal is just to show such a program 푃 푀 exists, we don’t need to write out the full code of 푃 푀 line by line.

કારણ કે અમારો ધ્યેય ફક્ત આવા પ્રોગ્રામ 푃 푀 અસ્તિત્વમાં છે તે બતાવવાનો છે, તેથી આપણે 푃 푀 નો સંપૂર્ણ કોડ લાઇન દ્વારા લખવાની જરૂર નથી.


The key observation is that by Theorem 4.12 we can compute every finite function using a NAND-CIRC program.

મુખ્ય અવલોકન એ છે કે પ્રમેય 4.12 દ્વારા આપણે NAND-CIRC પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને દરેક મર્યાદિત કાર્યની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.


In particular, consider the transition function 훿 푀 ∶ [푘]×Σ → [푘]×Σ×{L,R,S,H} of our Turing machine.

ખાસ કરીને, અમારા ટ્યુરિંગ મશીનનું સંક્રમણ કાર્ય 훿 푀 ∶ [푘]×Σ → [푘]×Σ×{L,R,S,H} ધ્યાનમાં લો.


We can encode its components as follows:

આપણે તેના ઘટકોને નીચે પ્રમાણે એન્કોડ કરી શકીએ છીએ:


We encode [푘] using {0,1} ℓ and Σ using {0,1} ℓ ′ , where ℓ = ⌈log푘⌉ and ℓ ′ = ⌈log|Σ|⌉.

આપણે [푘] ને {0,1} ℓ નો ઉપયોગ કરીને અને Σ ને {0,1} ℓ ′ નો ઉપયોગ કરીને એન્કોડ કરીએ છીએ, જ્યાં ℓ = ⌈log푘⌉ અને ℓ ′ = ⌈log|Σ|⌉.


We encode the set {L,R,S,H} using {0,1} 2 .

આપણે સમૂહ {L,R,S,H} ને {0,1} 2 નો ઉપયોગ કરીને એન્કોડ કરીએ છીએ.


We will choose the encoding L↦ 01, R↦ 11, S↦ 10, H↦ 00.

આપણે એન્કોડિંગ L↦ 01, R↦ 11, S↦ 10, H↦ 00 પસંદ કરીશું.


Hence we can identify 훿 푀 with a function 푀 ∶ {0,1} ℓ+ℓ ′ → {0,1} ℓ+ℓ ′ +2 , mapping strings of length ℓ + ℓ ′ to strings of length ℓ + ℓ ′ + 2.

આમ, આપણે 훿 푀 ને ફંક્શન 푀 ∶ {0,1} ℓ+ℓ ′ → {0,1} ℓ+ℓ ′ +2 સાથે ઓળખી શકીએ છીએ, જે લંબાઈ ℓ + ℓ ′ ની સ્ટ્રિંગ્સને લંબાઈ ℓ + ℓ ′ + 2 ની સ્ટ્રિંગ્સમાં મેપ કરે છે.


By Theorem 4.12 there exists a finite length NAND-CIRC program ComputeM that computes this function 푀.

પ્રમેય 4.12 દ્વારા એક મર્યાદિત લંબાઈનો NAND-CIRC પ્રોગ્રામ ComputeM છે જે આ કાર્ય 푀 ની ગણતરી કરે છે.


The idea behind the NAND-TM program to simulate 푀 is to:

푀 ની નકલ કરવા માટે NAND-TM પ્રોગ્રામ પાછળનો વિચાર આ છે:


Use variables state_0 ... state_ℓ−1 to encode 푀’s state.

푀 ની સ્થિતિને એન્કોડ કરવા માટે ચલો state_0 ... state_ℓ−1 નો ઉપયોગ કરો.


Use arrays Tape_0[]... Tape_ℓ ′ −1[] to encode 푀’s tape.

푀 ની ટેપને એન્કોડ કરવા માટે એરે Tape_0[]... Tape_ℓ ′ −1[] નો ઉપયોગ કરો.


Use the fact that transition is finite and computable by NAND-CIRC program.

એ હકીકતનો ઉપયોગ કરો કે સંક્રમણ મર્યાદિત છે અને NAND-CIRC પ્રોગ્રામ દ્વારા ગણતરીપાત્ર છે.


Every step of the main loop of the above program perfectly mimics the computation of the Turing machine 푀, and so the program carries out exactly the definition of computation by a Turing machine as per Definition 7.1.

ઉપરોક્ત પ્રોગ્રામના મુખ્ય લૂપનું દરેક પગલું ટ્યુરિંગ મશીન 푀 ની ગણતરીની સંપૂર્ણ નકલ કરે છે, અને તેથી પ્રોગ્રામ ડેફિનેશન 7.1 મુજબ ટ્યુરિંગ મશીન દ્વારા ગણતરીની બરાબર વ્યાખ્યા કરે છે.


The algorithm efficiently sorts the data.

અલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


She enjoys reading novels in her free time.

તેણીને તેના ફ્રી ટાઇમમાં નવલકથાઓ વાંચવી ગમે છે.


The company announced a new product launch.

કંપનીએ નવા ઉત્પાદન લોન્ચની જાહેરાત કરી.


શું તમે મને મીઠું આપશો?


The weather forecast predicts rain tomorrow.

હવામાન વિભાગના જણાવ્યા અનુસાર, આવતીકાલે વરસાદની સંભાવના છે.


તે ખૂબ જ પ્રતિભાશાળી સંગીતકાર છે.


The research paper explores complex topics.

સંશોધન પત્ર જટિલ વિષયોની ચર્ચા કરે છે.


આ પડકારો હોવા છતાં, તેઓ સફળ થયા.


The government implemented new policies.

સરકારે નવી નીતિઓ લાગુ કરી.


હું સપ્તાહના અંતની રાહ જોઈ રહ્યો છું.


The software requires advanced configuration.

સોફ્ટવેરને અદ્યતન રૂપરેખાંકનની જરૂર છે.


તે ઘણી ભાષાઓમાં પ્રવાહિત છે.


The economic situation is improving gradually.

આર્થિક સ્થિતિ ધીમે ધીમે સુધરી રહી છે.


Could you explain the concept in detail?

શું તમે આ ખ્યાલને વિગતવાર સમજાવી શકો છો?


The complex equation was difficult to solve.

જટિલ સમીકરણ ઉકેલવું મુશ્કેલ હતું.


The philosophical debate was quite engaging.

તત્વજ્ઞાનની ચર્ચા ઘણી રસપ્રદ હતી.


The political landscape is constantly changing.

રાજકીય દૃશ્ય સતત બદલાઈ રહ્યું છે.


The implications of the decision are far-reaching.

આ નિર્ણયના દૂરગામી પરિણામો છે.


Understanding the nuances of the argument is crucial.

દલીલોની બારીકાઈઓને સમજવી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.


The Turing machine's capabilities are fascinating.

ટ્યુરિંગ મશીનની ક્ષમતાઓ આકર્ષક છે.


બિલાડી સાદડી પર બેઠી હતી.


તમારું નામ શું છે?


આજનું હવામાન ખૂબ જ સુખદ છે.


હું બજારમાં જઈ રહ્યો છું.


કૃપા કરીને મને મીઠું આપો.


કંપનીએ નવા ઉત્પાદનના લોન્ચની જાહેરાત કરી.


The government is discussing new economic policies.

સરકાર નવી આર્થિક નીતિઓ પર ચર્ચા કરી રહી છે.


તે એક ખૂબ જ પ્રતિભાશાળી સંગીતકાર છે.


The research team is working on a new project.

સંશોધન ટીમ એક નવા પ્રોજેક્ટ પર કામ કરી રહી છે.


તે તેની પરીક્ષાઓની તૈયારી કરી રહી છે.


The algorithm efficiently sorts the data.

એલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


The implications of the new policy are far-reaching.

નવી નીતિના પરિણામો દૂરગામી છે.


The philosophical debate explored the nature of consciousness.

તત્વજ્ઞાનની ચર્ચાએ ચેતનાના સ્વરૂપની શોધ કરી.


The complex system requires careful calibration.

જટિલ સિસ્ટમ માટે સાવચેતીપૂર્વક માપાંકનની જરૂર છે.


The economic forecast predicts a period of growth.

આર્થિક આગાહી વૃદ્ધિના સમયગાળાની આગાહી કરે છે.


શું તમે કૃપા કરીને તે ફરીથી કહી શકશો?


મને સૂચનાઓ સમજાતી નથી.


આવતીકાલે મીટિંગ યોજાશે.


પ્રોજેક્ટ સમયપત્રક કરતાં પાછળ છે.


The data analysis revealed interesting insights.

ડેટા વિશ્લેષણે રસપ્રદ આંતરદૃષ્ટિ જાહેર કરી.


The function takes a pair of inputs me and x, and replaces recursive calls of f with calls to me.

આ ફંક્શન ઇનપુટ્સની જોડી me અને x લે છે, અને f ના પુનરાવર્તિત કોલ્સને me ના કોલ્સથી બદલે છે.


We can summarize the models we have seen in the following table.

આપણે નીચેના કોષ્ટકમાં જોયેલા મોડેલોનો સારાંશ આપી શકીએ છીએ.


The Church-Turing thesis is that this is the only sensible definition of “computable” functions.

ચર્ચ-ટ્યુરિંગ થિસિસ એ છે કે આ “ગણતરીપાત્ર” કાર્યોની એકમાત્ર સમજદાર વ્યાખ્યા છે.


Once we build a device that can compute the single universal function, we have the ability, via software, to extend it to do arbitrary computations.

એકવાર આપણે એવું ઉપકરણ બનાવીએ જે એકલ સાર્વત્રિક કાર્યની ગણતરી કરી શકે, તો આપણી પાસે સોફ્ટવેર દ્વારા, તેને મનસ્વી ગણતરીઓ કરવા માટે વિસ્તૃત કરવાની ક્ષમતા છે.


The importance of the universal machine is clear.

સાર્વત્રિક મશીનનું મહત્વ સ્પષ્ટ છે.


We do not need to have an infinity of different machines doing different jobs.

આપણે જુદા જુદા કાર્યો કરતા અનંત સંખ્યામાં જુદા જુદા મશીનોની જરૂર નથી.


The engineering problem of producing various machines for various jobs is replaced by the office work of ‘programming’ the universal machine.

વિવિધ નોકરીઓ માટે વિવિધ મશીનો બનાવવાની એન્જિનિયરિંગ સમસ્યાને સાર્વત્રિક મશીનને ‘પ્રોગ્રામિંગ’ કરવાના ઓફિસના કામ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.


For example, if we want to simulate a new Turing machine M, we do not need to build a new physical machine, but rather

ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે નવું ટ્યુરિંગ મશીન M નું અનુકરણ કરવા માંગીએ છીએ, તો આપણે નવું ભૌતિક મશીન બનાવવાની જરૂર નથી, પરંતુ તેના બદલે


આ પ્રકરણ: બિન-ગણિતશાસ્ત્રીય ઝાંખી


We start by proving the existence of a universal Turing machine.

આપણે સાર્વત્રિક ટ્યુરિંગ મશીનના અસ્તિત્વને સાબિત કરીને શરૂઆત કરીએ છીએ.


This is a single Turing machine U that can evaluate arbitrary Turing machines M on arbitrary inputs x, including machines M that can have more states and larger alphabet than U itself.

આ એક જ ટ્યુરિંગ મશીન U છે જે મનસ્વી ઇનપુટ્સ x પર મનસ્વી ટ્યુરિંગ મશીનો M નું મૂલ્યાંકન કરી શકે છે, જેમાં M મશીનોનો સમાવેશ થાય છે જેમાં U કરતાં વધુ રાજ્યો અને મોટા મૂળાક્ષરો હોઈ શકે છે.


Think of how you would code U in your favorite programming language.

તમે તમારી મનપસંદ પ્રોગ્રામિંગ ભાષામાં U ને કેવી રીતે કોડ કરશો તે વિશે વિચારો.


સૌ પ્રથમ, તમારે જરૂર પડશે


The models of computation we considered so far are inherently sequential, but these days much computation happens in parallel.

અત્યાર સુધી આપણે જે ગણતરીના મોડેલો ધ્યાનમાં લીધા છે તે સહજ રીતે ક્રમિક છે, પરંતુ આજકાલ ઘણી ગણતરી સમાંતર રીતે થાય છે.


Parallel computing is important in practice, but it does not really make much difference for the question of what can and can’t be computed.

સમાંતર કમ્પ્યુટિંગ વ્યવહારમાં મહત્વપૂર્ણ છે, પરંતુ તે ખરેખર શું ગણી શકાય અને શું ગણી શકાય નહીં તે પ્રશ્ન માટે બહુ ફરક પાડતું નથી.


After all, if a computation can be performed using m machines in t time, then it can be computed by a single machine in time mt.

છેવટે, જો ગણતરી t સમયમાં m મશીનોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે, તો તે mt સમયમાં એક જ મશીન દ્વારા ગણી શકાય છે.


The λ-calculus was described by Church in [Chu41].

λ-કેલ્ક્યુલસનું વર્ણન ચર્ચ દ્વારા [Chu41] માં કરવામાં આવ્યું હતું.


Pierce’s book [Pie02] is a canonical textbook, see also [Bar84].

પિયર્સનું પુસ્તક [Pie02] એક પ્રમાણભૂત પાઠ્યપુસ્તક છે, [Bar84] પણ જુઓ.


The “Currying technique” is named after the logician Haskell Curry.

“કુરિંગ ટેકનિક”નું નામ લોજિશિયન હેસ્કેલ કરીના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે.


Unlike most programming languages, the pure λ-calculus doesn’t have the notion of types.

મોટાભાગની પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓથી વિપરીત, શુદ્ધ λ-કેલ્ક્યુલસમાં પ્રકારોનો ખ્યાલ નથી.


You can use an array or a dictionary to encode the transition function.

તમે સંક્રમણ કાર્યને એન્કોડ કરવા માટે એરે અથવા ડિક્શનરીનો ઉપયોગ કરી શકો છો.


The interpreter will continue the simulation until the machine halts.

મશીન બંધ ન થાય ત્યાં સુધી ઇન્ટરપ્રીટર સિમ્યુલેશન ચાલુ રાખશે.


This is a concept that has a long history in computer science.

આ એક એવી વિભાવના છે જેનો કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં લાંબો ઇતિહાસ છે.


We can represent every Turing machine as a string.

આપણે દરેક ટ્યુરિંગ મશીનને સ્ટ્રિંગ તરીકે રજૂ કરી શકીએ છીએ.


Given the string representation of a Turing machine and an input, we can simulate its execution.

ટ્યુરિંગ મશીનની સ્ટ્રિંગ રજૂઆત અને ઇનપુટ આપેલ છે, અમે તેના અમલનું અનુકરણ કરી શકીએ છીએ.


The details of the representation scheme of Turing machines as strings are immaterial for almost all applications.

ટ્યુરિંગ મશીનોની સ્ટ્રિંગ તરીકે રજૂઆતની વિગતો લગભગ તમામ એપ્લિકેશનો માટે બિનમહત્વપૂર્ણ છે.


We can easily write a Python program that evaluates a Turing machine.

આપણે સરળતાથી એક પાયથોન પ્રોગ્રામ લખી શકીએ છીએ જે ટ્યુરિંગ મશીનનું મૂલ્યાંકન કરે છે.


With enough effort, we can translate this Python code line by line to a Turing machine.

પૂરતા પ્રયત્નોથી, અમે આ પાયથોન કોડને લાઇન દ્વારા ટ્યુરિંગ મશીનમાં અનુવાદિત કરી શકીએ છીએ.


We can represent a dictionary as a list of pairs.

આપણે ડિક્શનરીને જોડીઓની યાદી તરીકે રજૂ કરી શકીએ છીએ.


The argument in the proof is a very inefficient way to implement the dictionary data structure.

પુરાવામાં દલીલ એ ડિક્શનરી ડેટા સ્ટ્રક્ચરને અમલમાં મૂકવાની ખૂબ જ બિનકાર્યક્ષમ રીત છે.


Researchers have attempted to find the smallest possible universal Turing machines.

સંશોધકોએ સૌથી નાના સંભવિત સાર્વત્રિક ટ્યુરિંગ મશીનો શોધવાનો પ્રયાસ કર્યો છે.


The existence of even a single such machine is already extremely fundamental.

આવા એક જ મશીનનું અસ્તિત્વ પણ પહેલેથી જ અત્યંત મૂળભૂત છે.


Because we can simulate every Turing machine by a NAND-TM program and vice versa.

કારણ કે આપણે દરેક ટ્યુરિંગ મશીનને NAND-TM પ્રોગ્રામ દ્વારા અને તેનાથી ઊલટું સિમ્યુલેટ કરી શકીએ છીએ.


Compilers for programming languages are often used to compile themselves.

પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ માટેના કમ્પાઇલર્સનો ઉપયોગ ઘણીવાર પોતાને કમ્પાઇલ કરવા માટે થાય છે.


There are universal Turing machines known that require a very small number of states.

એવા સાર્વત્રિક ટ્યુરિંગ મશીનો છે જેમને ખૂબ જ ઓછા રાજ્યોની જરૂર પડે છે.


Therefore a natural guess is that NAND-TM programs could compute every infinite function.

તેથી એક કુદરતી અનુમાન એ છે કે NAND-TM પ્રોગ્રામ્સ દરેક અનંત કાર્યની ગણતરી કરી શકે છે.


જોકે, આ ખોટું સાબિત થાય છે.


The notion of an uncomputable function thus seems to be a contradiction.

અગણિત કાર્યની કલ્પના આ રીતે વિરોધાભાસ જેવી લાગે છે.


There exists a function that is not computable by any Turing machine.

એક એવું કાર્ય છે જે કોઈપણ ટ્યુરિંગ મશીન દ્વારા ગણતરીપાત્ર નથી.


The uncomputability of the halting problem is one of the fundamental theorems of computer science.

હાલટિંગ સમસ્યાની અગણિતતા એ કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનના મૂળભૂત પ્રમેયોમાંનું એક છે.


We saw a few examples of elements in the latter set that are not in the former.

આપણે પાછળના સમૂહમાંના કેટલાક એવા ઉદાહરણો જોયા જે પહેલામાં નથી.


Unlike in the case of finite computation, the input to the program can be a machine that has more states than itself.

સીમિત ગણતરીના કિસ્સાથી વિપરીત, પ્રોગ્રામનો ઇનપુટ એક એવી મશીન હોઈ શકે છે જેમાં તેના કરતા વધુ સ્ટેટ્સ હોય છે.


There are actually functions that are inherently uncomputable in the sense that they cannot be computed by any Turing machine.

હકીકતમાં એવા કાર્યો છે જે સહજ રીતે અગણિત છે, આ અર્થમાં કે તેની ગણતરી કોઈપણ ટ્યુરિંગ મશીન દ્વારા કરી શકાતી નથી.


If the Church-Turing thesis holds then a function that is uncomputable according to our definition cannot be computed by any means in our physical world.

જો ચર્ચ-ટ્યુરિંગ સિદ્ધાંત માન્ય છે, તો પછી આપણા વ્યાખ્યા અનુસાર અગણિત કાર્યની ગણતરી આપણા ભૌતિક વિશ્વમાં કોઈપણ માધ્યમથી કરી શકાતી નથી.


સાબિત કરો કે NANDRAMHALT ની ગણતરી કરી શકાતી નથી.


સાબિત કરો કે TIMEDHALT ની ગણતરી કરી શકાય છે.


સાબિત કરો કે SPACEHALT ની ગણતરી કરી શકાય છે.


Suppose that F and G are computable functions.

ધારો કે F અને G ગણતરીપાત્ર કાર્યો છે.


Prove that the following function FINITE is uncomputable.

સાબિત કરો કે નીચેનું કાર્ય FINITE અગણિત છે.


સાબિત કરો કે EQ ની ગણતરી કરી શકાતી નથી.


For each of the following two functions, say whether it is computable or not.

નીચેના બે કાર્યોમાંથી દરેક માટે, કહો કે તે ગણતરીપાત્ર છે કે નહીં.


સાબિત કરો કે F ની ગણતરી કરી શકાતી નથી.


Define a function F to be recursively enumerable.

કાર્ય F ને પુનરાવર્તિત રીતે ગણનાપાત્ર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો.


Prove that every computable F is also recursively enumerable.

સાબિત કરો કે દરેક ગણતરીપાત્ર F પણ પુનરાવર્તિત રીતે ગણનાપાત્ર છે.


Prove that there exists F that is not computable but is recursively enumerable.

સાબિત કરો કે ત્યાં F અસ્તિત્વમાં છે જે ગણતરીપાત્ર નથી પરંતુ પુનરાવર્તિત રીતે ગણનાપાત્ર છે.


Prove that there exists a function F such that F is not recursively enumerable.

સાબિત કરો કે ત્યાં એક કાર્ય F છે જે પુનરાવર્તિત રીતે ગણનાપાત્ર નથી.


Prove that for every Turing machine M, if we define F M to be the function such that F M (x) = 1 if and only if x ∈ L(M) then F M is recursively enumerable.

સાબિત કરો કે દરેક ટ્યુરિંગ મશીન M માટે, જો આપણે F M ને એવું કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે F M (x) = 1 જો અને માત્ર જો x ∈ L(M) તો F M પુનરાવર્તિત રીતે ગણનાપાત્ર છે.


સાબિત કરો કે TBB ની ગણતરી કરી શકાતી નથી.


સાબિત કરો કે NBB, TOWER કરતા ઝડપથી વધે છે.


We can use restricted computational models to bypass limitations such as uncomputability of the Halting problem and Rice’s Theorem.

આપણે હાલ્ટિંગ સમસ્યા અને રાઇસના પ્રમેયની અગણિતતા જેવી મર્યાદાઓને બાયપાસ કરવા માટે પ્રતિબંધિત ગણતરી મોડેલોનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.


The algorithm efficiently computes whether a string matches a given grammar.

આલ્ગોરિધમ કાર્યક્ષમ રીતે ગણતરી કરે છે કે સ્ટ્રિંગ આપેલ વ્યાકરણ સાથે મેળ ખાય છે કે નહીં.


Context-free grammars are more powerful than regular expressions.

સંદર્ભ-મુક્ત વ્યાકરણ નિયમિત અભિવ્યક્તિઓ કરતાં વધુ શક્તિશાળી છે.


The parser transforms the source code into a parse tree.

પાર્સર સોર્સ કોડને પાર્સ ટ્રીમાં રૂપાંતરિત કરે છે.


This algorithm can be used to achieve this, but there are more efficient versions.

આ હાંસલ કરવા માટે આલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, પરંતુ વધુ કાર્યક્ષમ સંસ્કરણો છે.


Context-free grammars can capture every regular expression.

સંદર્ભ-મુક્ત વ્યાકરણ દરેક નિયમિત અભિવ્યક્તિને કેપ્ચર કરી શકે છે.


We can define grammars that compute the same function.

આપણે એવા વ્યાકરણને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ જે સમાન કાર્યની ગણતરી કરે છે.


The grammar generates exactly the strings.

વ્યાકરણ ચોક્કસપણે સ્ટ્રિંગ્સ જનરેટ કરે છે.


The limitations of context-free grammars provide some advantages.

સંદર્ભ-મુક્ત વ્યાકરણની મર્યાદાઓ કેટલાક ફાયદા પૂરા પાડે છે.


CFGs માટે શૂન્યતા નક્કી કરી શકાય છે.


The equivalence problem for context-free grammars is uncomputable.

સંદર્ભ-મુક્ત વ્યાકરણ માટેની સમકક્ષતાની સમસ્યાની ગણતરી કરી શકાતી નથી.


We can often trade expressiveness of the model for amenability to analysis.

આપણે ઘણીવાર વિશ્લેષણ માટે મોડેલની અભિવ્યક્તિને વેપારી શકીએ છીએ.


Regular expressions are a restricted model of computation.

નિયમિત અભિવ્યક્તિઓ ગણતરીનું પ્રતિબંધિત મોડેલ છે.


Context-free grammars is a stronger model of computation.

સંદર્ભ-મુક્ત વ્યાકરણ ગણતરીનું એક મજબૂત મોડેલ છે.


The halting problem for context-free grammars is computable.

સંદર્ભ-મુક્ત વ્યાકરણ માટેની હોલ્ટિંગ સમસ્યાની ગણતરી કરી શકાય છે.


સમકક્ષતાની ગણતરી કરી શકાતી નથી.


Consider the following syntax of a programming language.

પ્રોગ્રામિંગ ભાષાના નીચેના સિન્ટેક્સને ધ્યાનમાં લો.


સાબિત કરો કે SYN સંદર્ભ મુક્ત છે.


There are many resources available that cover context-free grammar in great detail.

એવા ઘણા સંસાધનો ઉપલબ્ધ છે જે સંદર્ભ-મુક્ત વ્યાકરણને વિગતવાર આવરી લે છે.


The Chomsky Hierarchy is a hierarchy of grammars.

ચોમ્સ્કી હાયરાર્કી વ્યાકરણની શ્રેણી છે.


We have the firm conviction that their solution must follow by a finite number of purely logical processes.

આપણી પાસે દૃઢ વિશ્વાસ છે કે તેમનો ઉકેલ સંપૂર્ણ તાર્કિક પ્રક્રિયાઓની મર્યાદિત સંખ્યા દ્વારા અનુસરવો જોઈએ.


If we know that HALT is uncomputable, and we want to show that some other function BLAH is uncomputable, then we can do so via a contrapositive argument.

જો આપણે જાણીએ છીએ કે HALT ની ગણતરી કરી શકાતી નથી, અને આપણે બતાવવા માંગીએ છીએ કે અન્ય કોઈ ફંક્શન BLAH ની ગણતરી કરી શકાતી નથી, તો આપણે વિપરીત દલીલ દ્વારા આમ કરી શકીએ છીએ.


The Halting problem turns out to be a linchpin of uncomputability.

હાલટિંગ સમસ્યા અગણિતતાની ચાવીરૂપ સાબિત થાય છે.


A reduction-based proof has two components.

ઘટાડા આધારિત પુરાવામાં બે ઘટકો છે.


The algorithm to compute R is known as a reduction since the transformation R modifies an input to HALT to an input to BLAH.

R ની ગણતરી કરવા માટેના અલ્ગોરિધમને ઘટાડો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે રૂપાંતરણ R HALT ના ઇનપુટને BLAH ના ઇનપુટમાં સંશોધિત કરે છે.


ઘટાડો એ એક અલ્ગોરિધમ છે.


In general, to reduce a function F to G, the reduction should satisfy F(w) = G(R(w)) for every input w to F.

સામાન્ય રીતે, ફંક્શન F ને G માં ઘટાડવા માટે, ઘટાડાએ F ના દરેક ઇનપુટ w માટે F(w) = G(R(w)) સંતોષવું જોઈએ.


Here is a concrete example for a proof by reduction.

અહીં ઘટાડા દ્વારા પુરાવા માટેનું એક નક્કર ઉદાહરણ છે.


We define the function HALTONZERO : {0,1}* -> {0,1} as follows.

આપણે ફંક્શન HALTONZERO : {0,1}* -> {0,1} ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.


Given any string M, HALTONZERO(M) = 1 if and only if M describes a Turing machine that halts when it is given the string 0 as input.

કોઈપણ સ્ટ્રિંગ M ને જોતાં, HALTONZERO(M) = 1 જો અને માત્ર જો M એક ટ્યુરિંગ મશીનનું વર્ણન કરે છે જે ઇનપુટ તરીકે સ્ટ્રિંગ 0 આપવામાં આવે ત્યારે અટકી જાય છે.


A priori HALTONZERO seems like a potentially easier function to compute than the full-fledged HALT function.

એ પ્રાયોરી HALTONZERO એ સંપૂર્ણ HALT ફંક્શન કરતાં ગણતરી કરવા માટે સંભવિત સરળ ફંક્શન જેવું લાગે છે.


The proof of Theorem 9.9 is below, but before reading it you might want to pause for a couple of minutes and think how you would prove it yourself.

પ્રમેય 9.9 નો પુરાવો નીચે આપેલ છે, પરંતુ તે વાંચતા પહેલા તમે થોડી મિનિટો માટે થોભો અને વિચારો કે તમે તે જાતે કેવી રીતે સાબિત કરશો.


We will assume, towards the sake of contradiction, that HALTONZERO is computable by some algorithm A.

આપણે, વિરોધાભાસ ખાતર, ધારીશું કે HALTONZERO ની ગણતરી અમુક અલ્ગોરિધમ A દ્વારા કરી શકાય છે.


Since this is our first proof by reduction from the Halting problem, we will spell it out in more details than usual.

હાલટિંગ સમસ્યામાંથી ઘટાડા દ્વારા આ અમારો પ્રથમ પુરાવો હોવાથી, અમે તેને સામાન્ય કરતાં વધુ વિગતમાં જણાવીશું.


Description of the reduction: We will describe the operation of our algorithm B, and how it makes “function calls” to the hypothetical algorithm A.

ઘટાડાનું વર્ણન: અમે અમારા અલ્ગોરિધમ B ની કામગીરીનું વર્ણન કરીશું, અને તે કાલ્પનિક અલ્ગોરિધમ A ને કેવી રીતે “ફંક્શન કૉલ્સ” કરે છે.


Analysis of the reduction: We will then prove that under the hypothesis that Algorithm A computes HALTONZERO, Algorithm B will compute HALT.

ઘટાડાનું વિશ્લેષણ: પછી અમે સાબિત કરીશું કે પૂર્વધારણા હેઠળ કે અલ્ગોરિધમ A HALTONZERO ની ગણતરી કરે છે, અલ્ગોરિધમ B HALT ની ગણતરી કરશે.


Our Algorithm B works as follows: on input M, x, it runs Algorithm 9.10 to obtain a Turing machine M', and then returns A(M').

અમારું અલ્ગોરિધમ B નીચે પ્રમાણે કામ કરે છે: ઇનપુટ M, x પર, તે ટ્યુરિંગ મશીન M' મેળવવા માટે અલ્ગોરિધમ 9.10 ચલાવે છે, અને પછી A(M') પરત કરે છે.


The machine M' ignores its input z and simply runs M on x.

મશીન M' તેના ઇનપુટ z ને અવગણે છે અને ફક્ત x પર M ચલાવે છે.


The algorithm B does not actually execute the machine N M,x.

અલ્ગોરિધમ B વાસ્તવમાં મશીન N M,x ને ચલાવતું નથી.


Rice’s Theorem tells us that these properties are all uncomputable.

રાઇસનો પ્રમેય આપણને કહે છે કે આ ગુણધર્મો બધા અગણિત છે.


If a function F is non-trivial then there are two machines M0 and M1 such that F(M0) = 0 and F(M1) = 1.

જો કોઈ ફંક્શન F બિન-તુચ્છ છે, તો ત્યાં બે મશીનો M0 અને M1 છે જેમ કે F(M0) = 0 અને F(M1) = 1.


The discovery of calculus ushered a golden age of problem solving.

કેલ્ક્યુલસની શોધથી સમસ્યાઓના નિરાકરણનો સુવર્ણ યુગ શરૂ થયો.


Mathematicians manipulated infinitesimal quantities and infinite series cavalierly.

ગણિતશાસ્ત્રીઓએ અતિ સૂક્ષ્મ માત્રા અને અનંત શ્રેણીને બેદરકારીથી હેરાફેરી કરી.


This led to a growing sense of unease in the foundations of the subject.

આનાથી વિષયના પાયામાં અસ્વસ્થતાની ભાવના વધી.


The hope was to show that all the true results of mathematics can be obtained by starting with a number of axioms.

આશા એ હતી કે ગણિતના તમામ સાચા પરિણામો કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોથી શરૂ કરીને મેળવી શકાય છે.


This effort was known as the Hilbert program.

આ પ્રયત્નને હિલ્બર્ટ પ્રોગ્રામ તરીકે ઓળખવામાં આવતો હતો.


For every sound proof system for sufficiently rich mathematical statements, there is a mathematical statement that is true but is not provable in this system.

પર્યાપ્ત સમૃદ્ધ ગાણિતિક વિધાનો માટે દરેક સાબિતી પ્રણાલી માટે, એક ગાણિતિક વિધાન છે જે સાચું છે પરંતુ આ સિસ્ટમમાં સાબિત કરી શકાતું નથી.


At the highest level, a mathematical statement is simply a piece of text.

સૌથી ઉચ્ચ સ્તરે, ગાણિતિક વિધાન એ ફક્ત એક લખાણનો ભાગ છે.


Mathematical statements contain assertions whose truth does not depend on any empirical fact.

ગાણિતિક વિધાનોમાં એવા દાવાઓ છે જેની સત્યતા કોઈપણ પ્રાયોગિક તથ્ય પર આધારિત નથી.


Mathematical statements do not have to involve numbers.

ગાણિતિક વિધાનોમાં સંખ્યાઓનો સમાવેશ થવો જરૂરી નથી.


A proof for a statement is another piece of text that certifies the truth of the statement.

વિધાન માટેની સાબિતી એ બીજું લખાણ છે જે વિધાનની સત્યતાને પ્રમાણિત કરે છે.


If there is no set of rules to check that a proof is valid then in what sense is it a proof system?

જો કોઈ સાબિતી માન્ય છે કે કેમ તે તપાસવા માટે કોઈ નિયમોનો સમૂહ નથી, તો તે કયા અર્થમાં સાબિતી પ્રણાલી છે?


We formally define proof systems as an algorithm.

અમે ઔપચારિક રીતે સાબિતી પ્રણાલીને એક અલ્ગોરિધમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.


A true statement is unprovable if for every string, the algorithm returns 0.

જો દરેક સ્ટ્રિંગ માટે, અલ્ગોરિધમ 0 પરત કરે છે, તો સાચું વિધાન સાબિત ન થઈ શકે તેવું છે.


One version of Gödel’s Incompleteness Theorem is an immediate consequence of the uncomputability of the Halting problem.

ગોડેલના અપૂર્ણતા પ્રમેયનું એક સંસ્કરણ, હલ્ટિંગ સમસ્યાની અગણિતતાનું તાત્કાલિક પરિણામ છે.


We will need to formally define the notion of a “proof system”.

આપણે ઔપચારિક રીતે “પ્રૂફ સિસ્ટમ” ની વિભાવનાને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર પડશે.


The 1700’s and 1800’s were a time of great discoveries in mathematics.

1700 અને 1800 ના દાયકા ગણિતમાં મહાન શોધનો સમય હતો.


આ પ્રકરણ: બિન-ગણિતશાસ્ત્રીય ઝાંખી


We will then build up the machinery to encode computation using arithmetic.

પછી આપણે અંકગણિતનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીને એન્કોડ કરવા માટેની પદ્ધતિ બનાવીશું.


The smallest solution for this equation has 80 digits!

આ સમીકરણનો સૌથી નાનો ઉકેલ 80 અંકો ધરાવે છે!


The theorem is potentially easier to prove than the previous one.

આ પ્રમેય અગાઉના એક કરતા સાબિત કરવા માટે સંભવિત રીતે સરળ છે.


A configuration can be thought of as a string describing its current state.

એક રૂપરેખાને તેની વર્તમાન સ્થિતિનું વર્ણન કરતી સ્ટ્રિંગ તરીકે વિચારી શકાય છે.


The program halts on input x if and only if there is a sequence of configurations.

જો અને માત્ર તો જ પ્રોગ્રામ ઇનપુટ x પર અટકે છે જો રૂપરેખાનો ક્રમ હોય.


We can encode such a sequence of configurations as a binary string.

આવી રૂપરેખાના ક્રમને દ્વિસંગી સ્ટ્રિંગ તરીકે એનકોડ કરી શકીએ છીએ.


For every Turing machine, there is a finite alphabet.

દરેક ટ્યુરિંગ મશીન માટે, એક મર્યાદિત મૂળાક્ષર છે.


This reduces computing to computing QMS.

આ ગણતરીને QMS ની ગણતરીમાં ઘટાડે છે.


There are several other ways to show that QMS is uncomputable.

QMS અગણિત છે તે દર્શાવવાની અન્ય ઘણી રીતો છે.


We will show a transformation of every quantified mixed statement.

અમે દરેક જથ્થાત્મક મિશ્ર વિધાનનું રૂપાંતરણ બતાવીશું.


To remove string-valued variables from a statement, we encode every string by a pair integer.

વિધાનમાંથી સ્ટ્રિંગ-મૂલ્યના ચલોને દૂર કરવા માટે, અમે દરેક સ્ટ્રિંગને જોડી પૂર્ણાંક દ્વારા એન્કોડ કરીએ છીએ.


We can replace a "for all" quantifier over strings with a pair of quantifiers over integers.

આપણે સ્ટ્રિંગ્સ પરના "બધા માટે" ક્વોન્ટિફાયરને પૂર્ણાંકો પરના ક્વોન્ટિફાયરની જોડીથી બદલી શકીએ છીએ.


This means that if we are able to define COORD via a quantified integer statement.

આનો અર્થ એ છે કે જો આપણે જથ્થાત્મક પૂર્ણાંક વિધાન દ્વારા COORD ને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં સક્ષમ છીએ.


The sequence of prime numbers we consider is the following.

અમે જે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ક્રમ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ તે નીચે મુજબ છે.


We fix C to be a sufficiently large constant.

અમે C ને પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા સ્થિર તરીકે ઠીક કરીએ છીએ.


The running time of an algorithm is a function of the length of the input.

એલ્ગોરિધમનો રનિંગ સમય ઇનપુટની લંબાઈનું કાર્ય છે.


We do not formally define the notion of running time in this chapter.

આપણે આ પ્રકરણમાં રનિંગ ટાઈમની વિભાવનાને ઔપચારિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરતા નથી.


The difference between polynomial versus exponential time is typically insensitive.

પોલિનોમિયલ વિરુદ્ધ એક્સપોનેન્શિયલ સમય વચ્ચેનો તફાવત સામાન્ય રીતે સંવેદનશીલ નથી.


One of the interesting phenomena of computing is that there is often a kind of a "threshold phenomenon".

કમ્પ્યુટિંગની રસપ્રદ ઘટનાઓમાંની એક એ છે કે ત્યાં ઘણીવાર એક પ્રકારની "થ્રેશોલ્ડ ઘટના" હોય છે.


Many natural problems can either be solved in polynomial running time.

ઘણા કુદરતી પ્રશ્નો કાં તો બહુપદી ચાલતા સમયમાં ઉકેલી શકાય છે.


The reasons for this phenomenon are still not fully understood.

આ ઘટનાના કારણો હજુ પણ સંપૂર્ણ રીતે સમજી શકાયા નથી.


We will see the precise definition of running time in Chapter 13.

આપણે પ્રકરણ 13 માં રનિંગ ટાઈમની ચોક્કસ વ્યાખ્યા જોઈશું.


Turing machines are a theoretical model of computation.

ટ્યુરિંગ મશીનો ગણતરીનું એક સૈદ્ધાંતિક મોડેલ છે.


The extended Church-Turing Thesis is a statement about the limits of computation.

વિસ્તૃત ચર્ચ-ટ્યુરિંગ થિસીસ ગણતરીની મર્યાદાઓ વિશેનું એક વિધાન છે.


Polynomial time is a class of problems solvable in a certain amount of time.

પોલિનોમિયલ સમય એ ચોક્કસ સમયમાં ઉકેલી શકાય તેવી સમસ્યાઓનો એક વર્ગ છે.


Exponential time complexity grows much faster than polynomial time.

ઘાતાંકીય સમયની જટિલતા બહુપદી સમય કરતાં ઘણી ઝડપથી વધે છે.


RAM machines are closer to real-world computing architectures.

RAM મશીનો વાસ્તવિક-વિશ્વની કમ્પ્યુટિંગ આર્કિટેક્ચરની નજીક છે.


The choice of model does not matter much when considering computability.

ગણતરીક્ષમતાને ધ્યાનમાં લેતી વખતે મોડેલની પસંદગી બહુ મહત્વની નથી.


Turing machines can simulate NAND-RAM programs.

ટ્યુરિંગ મશીનો NAND-RAM પ્રોગ્રામ્સનું અનુકરણ કરી શકે છે.


The proof involves some technical details.

પુરાવામાં કેટલીક તકનીકી વિગતો શામેલ છે.


We will mostly care about the difference between polynomial and exponential time.

અમે મોટે ભાગે બહુપદી અને ઘાતાંકીય સમય વચ્ચેના તફાવતની કાળજી લઈશું.


The extended Church-Turing thesis is a strengthening of the Church-Turing Thesis.

વિસ્તૃત ચર્ચ-ટ્યુરિંગ થિસીસ એ ચર્ચ-ટ્યુરિંગ થિસીસનું એક મજબૂતીકરણ છે.


Quantum computing poses a serious challenge to the extended Church-Turing Thesis.

ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગ વિસ્તૃત ચર્ચ-ટ્યુરિંગ થિસીસ માટે એક ગંભીર પડકાર છે.


The universal NAND-RAM program simulates other programs.

સાર્વત્રિક NAND-RAM પ્રોગ્રામ અન્ય પ્રોગ્રામ્સનું અનુકરણ કરે છે.


Understanding the statement of the theorem is more important than its proof.

પ્રમેયના નિવેદનને સમજવું તેના પુરાવા કરતાં વધુ મહત્વનું છે.


The simulation of NAND-RAM programs uses a careful accounting of steps.

NAND-RAM પ્રોગ્રામ્સનું અનુકરણ પગલાંના કાળજીપૂર્વક હિસાબનો ઉપયોગ કરે છે.


All reasonable computational models are equivalent if we only care about the distinction between polynomial and exponential time.

જો આપણે ફક્ત બહુપદી અને ઘાતાંકીય સમય વચ્ચેના તફાવતની કાળજી લઈએ, તો બધા વાજબી ગણતરી મોડેલો સમકક્ષ છે.


પ્રમેયનો પુરાવો બહુ ઊંડો નથી.


The main message of the theorem is that Turing machines and RAM machines are roughly equivalent.

પ્રમેયનો મુખ્ય સંદેશ એ છે કે ટ્યુરિંગ મશીનો અને RAM મશીનો આશરે સમકક્ષ છે.