We can simulate a single step of NAND-RAM using many steps of NAND-TM.

આપણે NAND-TM ના ઘણા પગલાંનો ઉપયોગ કરીને NAND-RAM નું એક જ પગલું અનુકરણ કરી શકીએ છીએ.


The proof follows the simulation of RAM machines with Turing machines.

પુરાવો ટ્યુરિંગ મશીનો સાથે RAM મશીનોના અનુકરણને અનુસરે છે.


The choice of model is not crucial when we only care about the gap between polynomial and exponential time.

જ્યારે આપણે ફક્ત બહુપદી અને ઘાતાંકીય સમય વચ્ચેના તફાવતની કાળજી લઈએ છીએ ત્યારે મોડેલની પસંદગી નિર્ણાયક નથી.


The 3SAT problem is the task of determining satisfiability for 3CNFs.

3SAT સમસ્યા એ 3CNF માટે સંતોષકારકતા નક્કી કરવાનું કાર્ય છે.


One might think that changing from two to three would not make that much of a difference for complexity.

કોઈ એવું વિચારી શકે છે કે બે થી ત્રણમાં બદલવાથી જટિલતામાં બહુ ફરક નહીં પડે.


Despite much effort, we do not know of a significantly better than brute force algorithm for 3SAT.

ઘણા પ્રયત્નો છતાં, અમે 3SAT માટે બ્રુટ ફોર્સ અલ્ગોરિધમ કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધુ સારું જાણતા નથી.


Interestingly, a similar issue arises time and again in computation.

રસપ્રદ વાત એ છે કે, ગણતરીમાં વારંવાર આવી જ સમસ્યા ઊભી થાય છે.


We do not fully understand the reasons for this phenomenon.

આ ઘટનાના કારણો આપણે સંપૂર્ણ રીતે સમજતા નથી.


One of the most useful problems that people have been solving time and again is solving n linear equations in n variables.

લોકો વારંવાર જે સૌથી ઉપયોગી સમસ્યાઓ હલ કરી રહ્યા છે તે n ચલોમાં n રેખીય સમીકરણો હલ કરી રહ્યા છે.


The standard Gaussian elimination algorithm can be used to solve such equations in polynomial time.

પ્રમાણભૂત ગાઉસિયન નાબૂદી અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ આવા સમીકરણોને બહુપદી સમયમાં ઉકેલવા માટે થઈ શકે છે.


In contrast, if we insist on integer solutions, the task of solving for linear equalities or inequalities is known as integer programming.

આનાથી વિપરીત, જો આપણે પૂર્ણાંક ઉકેલો પર આગ્રહ રાખીએ, તો રેખીય સમાનતા અથવા અસમાનતા માટે ઉકેલવાનું કાર્ય પૂર્ણાંક પ્રોગ્રામિંગ તરીકે ઓળખાય છે.


Whenever we discuss problems whose inputs correspond to numbers, the input length corresponds to how many bits are needed to describe the number.

જ્યારે પણ આપણે એવી સમસ્યાઓની ચર્ચા કરીએ છીએ જેના ઇનપુટ્સ સંખ્યાઓને અનુરૂપ હોય છે, ત્યારે ઇનપુટની લંબાઈ એ સંખ્યાનું વર્ણન કરવા માટે કેટલા બિટ્સની જરૂર છે તેને અનુરૂપ છે.


For example, most people would agree that there is a huge difference between having a billion dollars and having nine dollars.

ઉદાહરણ તરીકે, મોટાભાગના લોકો એ વાત સાથે સહમત થશે કે એક અબજ ડોલર હોવા અને નવ ડોલર હોવા વચ્ચે મોટો તફાવત છે.


Similarly there is a huge difference between an algorithm that takes n steps on an n-bit number and an algorithm that takes 2^n steps.

તેવી જ રીતે, n-બીટ નંબર પર n પગલાં લેતા અલ્ગોરિધમ અને 2^n પગલાં લેતા અલ્ગોરિધમ વચ્ચે મોટો તફાવત છે.


It is an important and long open question whether there is such an algorithm that runs in time polynomial in the input length.

એક મહત્વપૂર્ણ અને લાંબો ખુલ્લો પ્રશ્ન એ છે કે શું એવું કોઈ અલ્ગોરિધમ છે જે ઇનપુટ લંબાઈમાં બહુપદી સમયમાં ચાલે છે.


Solving quadratic equations in several variables is a classical and extremely well motivated problem.

અલગ-અલગ ચલોમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવી એ એક શાસ્ત્રીય અને અત્યંત પ્રેરિત સમસ્યા છે.


The determinant of a n × n matrix A, denoted by det(A), is an extremely important quantity in linear algebra.

n × n મેટ્રિક્સ A નો નિર્ણાયક, જેને det(A) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તે રેખીય બીજગણિતમાં અત્યંત મહત્વપૂર્ણ જથ્થો છે.


For example, it is known that det(A) ≠ 0 if and only if A is non-singular.

ઉદાહરણ તરીકે, એ જાણીતું છે કે det(A) ≠ 0 જો અને માત્ર જો A બિન-એકલ હોય.


More generally, the determinant can be thought of as a quantitative measure as to what extent A is far from being singular.

વધુ સામાન્ય રીતે, નિર્ણાયકને માત્રાત્મક માપ તરીકે વિચારી શકાય છે કે A કેટલું એકલ હોવાથી દૂર છે.


The permanent of a matrix is a natural quantity, and has been studied in several contexts including combinatorics and graph theory.

મેટ્રિક્સનો સ્થાયી જથ્થો એક કુદરતી જથ્થો છે, અને તેનો અભ્યાસ ઘણા સંદર્ભોમાં કરવામાં આવ્યો છે જેમાં સંયોજનશાસ્ત્ર અને ગ્રાફ થિયરીનો સમાવેશ થાય છે.


It also arises in physics where it can be used to describe the quantum state of multiple Boson particles.

તે ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પણ ઉદ્ભવે છે જ્યાં તેનો ઉપયોગ બહુવિધ બોસોન કણોની ક્વોન્ટમ સ્થિતિનું વર્ણન કરવા માટે થઈ શકે છે.


The key is that modulo 2, -x and +x are the same quantity.

ચાવી એ છે કે મોડ્યુલો 2, -x અને +x એ જ જથ્થો છે.


We do not know of a much better than brute force algorithm to even compute the permanent modulo 3.

અમે બ્રુટ ફોર્સ અલ્ગોરિધમ કરતાં ઘણું સારું જાણતા નથી, 3 મોડ્યુલો પણ સ્થાયી ગણતરી કરવા માટે.


Graphs are so ubiquitous in computer science and other sciences because they can be used to model a great many of the data that we encounter.

કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન અને અન્ય વિજ્ઞાનોમાં ગ્રાફ એટલા માટે સર્વવ્યાપી છે કારણ કે તેનો ઉપયોગ આપણે જે ડેટાનો સામનો કરીએ છીએ તેમાંથી ઘણાને મોડેલ બનાવવા માટે થઈ શકે છે.


We can transform between these two representations using O(n^2) operations.

આપણે O(n^2) ઓપરેશનનો ઉપયોગ કરીને આ બે રજૂઆતો વચ્ચે રૂપાંતરિત થઈ શકીએ છીએ.


In this chapter we discuss several examples of important computational problems.

આ પ્રકરણમાં, અમે મહત્વપૂર્ણ ગણતરીની સમસ્યાઓના કેટલાક ઉદાહરણોની ચર્ચા કરીશું.


The shortest path problem is the task of finding, given a graph G = (V, E) and two vertices s, t ∈ V, the length of the shortest path between s and t.

સૌથી ટૂંકા માર્ગની સમસ્યા એ ગ્રાફ G = (V, E) અને બે શિરોબિંદુઓ s, t ∈ V આપેલ છે, s અને t વચ્ચેના સૌથી ટૂંકા માર્ગની લંબાઈ શોધવાનું કાર્ય છે.


If each vertex has at least two neighbors then there can be an exponential number of paths from s to t, but fortunately we do not have to enumerate them all to find the shortest path.

જો દરેક શિરોબિંદુના ઓછામાં ઓછા બે પડોશીઓ હોય, તો s થી t સુધીના માર્ગોની ઘાતાંકીય સંખ્યા હોઈ શકે છે, પરંતુ સદનસીબે, આપણે સૌથી ટૂંકો માર્ગ શોધવા માટે તે બધાને ગણવાની જરૂર નથી.


We can find the shortest path using a breadth first search (BFS), enumerating s’s neighbors, and then neighbors’ neighbors, etc.. in order.

આપણે બ્રેડ્થ ફર્સ્ટ સર્ચ (BFS) નો ઉપયોગ કરીને સૌથી ટૂંકો માર્ગ શોધી શકીએ છીએ, s ના પડોશીઓની ગણતરી કરી શકીએ છીએ, અને પછી પડોશીઓના પડોશીઓ, વગેરે.. ક્રમમાં.


Dijkstra’s algorithm is a well-known generalization of BFS to weighted graphs.

ડિજ્સ્ટ્રાનો અલ્ગોરિધમ એ વજનવાળા ગ્રાફ માટે BFS નું જાણીતું સામાન્યીકરણ છે.


Graphs can also denote correlations in data.

ગ્રાફ ડેટામાં સહસંબંધ પણ દર્શાવી શકે છે.


The longest path problem is the task of finding the length of the longest simple path between a given pair of vertices s and t in a given graph G.

સૌથી લાંબો માર્ગ સમસ્યા એ આપેલ ગ્રાફ G માં આપેલ શિરોબિંદુઓ s અને t ની જોડી વચ્ચેના સૌથી લાંબા સરળ માર્ગની લંબાઈ શોધવાનું કાર્ય છે.


TSP is a classical optimization problem, with applications ranging from planning and logistics to DNA sequencing and astronomy.

TSP એ એક ક્લાસિકલ ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા છે, જેની એપ્લિકેશન્સ પ્લાનિંગ અને લોજિસ્ટિક્સથી લઈને DNA સિક્વન્સિંગ અને ખગોળશાસ્ત્ર સુધીની છે.


Computing minimum s,t cuts is useful in many applications since minimum cuts often correspond to bottlenecks.

ન્યૂનતમ s,t કટની ગણતરી ઘણી એપ્લિકેશન્સમાં ઉપયોગી છે કારણ કે ન્યૂનતમ કટ ઘણીવાર બોટલનેકને અનુરૂપ હોય છે.


The maximum flow problem can be thought of as the task of maximizing ∑ e∋s xe over all the vectors x ∈ ℝm that satisfy the above conditions.

મહત્તમ પ્રવાહની સમસ્યાને ઉપરની શરતોને સંતોષતા તમામ વેક્ટર x ∈ ℝm પર ∑ e∋s xe ને મહત્તમ કરવાના કાર્ય તરીકે વિચારી શકાય છે.


We can obtain a polynomial-time algorithm for computing MINCUT using the Max-Flow Min-Cut Theorem.

મેક્સ-ફ્લો મીન-કટ થિયરમનો ઉપયોગ કરીને MINCUT ની ગણતરી માટે આપણે બહુપદી-સમયનો અલ્ગોરિધમ મેળવી શકીએ છીએ.


The minimum cut problem is not a priori a convex minimization task, because the set of potential cuts is discrete and not continuous.

ન્યૂનતમ કટ સમસ્યા એ અગાઉથી બહિર્મુખ ન્યૂનીકરણ કાર્ય નથી, કારણ કે સંભવિત કટનો સમૂહ વિવેકપૂર્ણ છે અને સતત નથી.


Convexity arises time and again in the context of efficient computation.

કાર્યક્ષમ ગણતરીના સંદર્ભમાં બહિર્મુખતા વારંવાર ઊભી થાય છે.


The satisfiability problem is the task of determining, given a CNF formula φ, whether or not there exists a satisfying assignment for φ.

સંતોષકારકતાની સમસ્યા એ CNF ફોર્મ્યુલા φ આપેલ છે, કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવાનું કાર્ય છે, φ માટે સંતોષકારક સોંપણી છે કે નહીં.


The SAT problem might seem as an abstract question of interest only in logic but in fact SAT is of huge interest in industrial optimization.

SAT સમસ્યા તર્કશાસ્ત્રમાં જ રસ ધરાવતા અમૂર્ત પ્રશ્ન જેવી લાગે છે, પરંતુ હકીકતમાં SAT ઔદ્યોગિક ઑપ્ટિમાઇઝેશનમાં ખૂબ જ રસ ધરાવે છે.


We say that a formula is a k-CNF it is an AND of ORs where each OR involves exactly k literals.

આપણે કહીએ છીએ કે ફોર્મ્યુલા k-CNF છે તે ANDs નું OR છે જ્યાં દરેક OR માં બરાબર k લિટરલનો સમાવેશ થાય છે.


The key is that we can think of every constraint of the form ℓi ∨ ℓj as an implication ℓi ⇒ ℓj.

ચાવી એ છે કે આપણે સ્વરૂપ ℓi ∨ ℓj ના દરેક અવરોધને એક ગર્ભિતતા ℓi ⇒ ℓj તરીકે વિચારી શકીએ છીએ.


This reduces 2SAT to the problem of finding strongly connected components in a directed graph.

આ 2SAT ને નિર્દેશિત ગ્રાફમાં મજબૂત રીતે જોડાયેલા ઘટકો શોધવાની સમસ્યામાં ઘટાડે છે.


The company announced a new product launch next month.

કંપનીએ આવતા મહિને નવા ઉત્પાદનના લોન્ચિંગની જાહેરાત કરી છે.


The weather forecast predicts heavy rainfall for tomorrow.

હવામાન વિભાગના જણાવ્યા અનુસાર, આવતીકાલે ભારે વરસાદની સંભાવના છે.


Please submit your application before the deadline.

કૃપા કરીને સમયમર્યાદા પહેલાં તમારી અરજી સબમિટ કરો.


The research team is working on a new project.

સંશોધન ટીમ એક નવા પ્રોજેક્ટ પર કામ કરી રહી છે.


She enjoys reading books in her free time.

તેણીને તેના ફ્રી ટાઇમમાં પુસ્તકો વાંચવાનું ગમે છે.


The government is implementing new policies to boost the economy.

સરકાર અર્થતંત્રને વેગ આપવા માટે નવી નીતિઓ લાગુ કરી રહી છે.


The algorithm efficiently sorts the data.

એલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


Despite the challenges, they managed to complete the project on time.

આ પડકારો હોવા છતાં, તેઓ સમયસર પ્રોજેક્ટ પૂરો કરવામાં સફળ રહ્યા.


The company's stock price has increased significantly.

કંપનીના શેરના ભાવમાં નોંધપાત્ર વધારો થયો છે.


The complex system requires careful maintenance.

જટિલ સિસ્ટમ માટે સાવચેતીપૂર્વક જાળવણીની જરૂર છે.


The implications of the new discovery are far-reaching.

નવી શોધના પરિણામો દૂરગામી છે.


The philosophical debate centered on the nature of consciousness.

તત્વજ્ઞાનની ચર્ચા ચેતનાના સ્વભાવ પર કેન્દ્રિત હતી.


The economic downturn has affected various sectors of the economy.

આર્થિક મંદીએ અર્થતંત્રના વિવિધ ક્ષેત્રોને અસર કરી છે.


The intricate design of the software required extensive testing.

સોફ્ટવેરની જટિલ ડિઝાઇન માટે વ્યાપક પરીક્ષણની જરૂર હતી.


The ethical considerations surrounding artificial intelligence are complex.

આર્ટિફિશિયલ ઇન્ટેલિજન્સની આસપાસના નૈતિક વિચારો જટિલ છે.


The artist's unique style is evident in every brushstroke.

કલાકારની અનોખી શૈલી દરેક બ્રશસ્ટ્રોકમાં સ્પષ્ટ છે.


The committee will review the proposal next week.

સમિતિ આવતા અઠવાડિયે દરખાસ્તની સમીક્ષા કરશે.


The data analysis revealed some unexpected results.

ડેટા વિશ્લેષણમાં કેટલાક અણધાર્યા પરિણામો સામે આવ્યા છે.


The negotiations between the two countries are ongoing.

બંને દેશો વચ્ચેની વાટાઘાટો ચાલુ છે.


The impact of climate change is becoming increasingly evident.

આબોહવા પરિવર્તનની અસર વધુને વધુ સ્પષ્ટ થઈ રહી છે.


The time hierarchy theorem is a fundamental concept in theoretical computer science.

સમય વંશવેલો પ્રમેય સૈદ્ધાંતિક કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં એક મૂળભૂત ખ્યાલ છે.


Given any Turing machine M, input x, and a step budget T, we can simulate the execution of M for T steps.

કોઈપણ ટ્યુરિંગ મશીન M, ઇનપુટ x, અને સ્ટેપ બજેટ T આપેલ છે, અમે M ના T પગલાં માટે અમલનું અનુકરણ કરી શકીએ છીએ.


The proof of the time hierarchy theorem is complex and involves several steps.

સમય વંશવેલો પ્રમેયનો પુરાવો જટિલ છે અને તેમાં ઘણાં પગલાં સામેલ છે.


This machine can compute TIMEDEVAL in polynomial time.

આ મશીન બહુપદી સમયમાં TIMEDEVAL ની ગણતરી કરી શકે છે.


The theorem states that there is such a machine that runs in time polynomial in T.

પ્રમેય જણાવે છે કે ત્યાં એક એવું મશીન છે જે T માં બહુપદી સમયમાં ચાલે છે.


The function TIMEDEVAL takes three parameters: M, x, and the time budget.

કાર્ય TIMEDEVAL ત્રણ પરિમાણો લે છે: M, x, અને સમય બજેટ.


The time hierarchy theorem is a powerful tool for understanding computational complexity.

સમય વંશવેલો પ્રમેય ગણતરીની જટિલતાને સમજવા માટે એક શક્તિશાળી સાધન છે.


We can transform it in time polynomial in its description into a functionally-equivalent NAND-RAM program.

અમે તેને તેના વર્ણનમાં બહુપદી સમયમાં કાર્યાત્મક રીતે સમકક્ષ NAND-RAM પ્રોગ્રામમાં રૂપાંતરિત કરી શકીએ છીએ.


The proof is inspired by the proof of the uncomputability of the halting problem.

આ પુરાવો હોલ્ટિંગ સમસ્યાની અગણિતતાના પુરાવાથી પ્રેરિત છે.


The time hierarchy theorem tells us that there are functions we can compute in O(n^2) time but not O(n).

સમય વંશવેલો પ્રમેય આપણને કહે છે કે એવા કાર્યો છે જેની ગણતરી આપણે O(n^2) સમયમાં કરી શકીએ છીએ પરંતુ O(n) માં નહીં.


The non-uniform analog to the class P is the class P/poly.

વર્ગ P માટે બિન-સમાન એનાલોગ વર્ગ P/poly છે.


For every input length n there can be a different circuit that computes F using polynomially many gates.

દરેક ઇનપુટ લંબાઈ n માટે એક અલગ સર્કિટ હોઈ શકે છે જે બહુપદી રીતે ઘણા દરવાજાઓનો ઉપયોગ કરીને F ની ગણતરી કરે છે.


The main difference between the two is that NAND-TM has loops.

બંને વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત એ છે કે NAND-TM માં લૂપ્સ છે.


We can replace its loop by simply “copying and pasting” its code T(n) times.

આપણે તેના કોડને T(n) વખત ફક્ત “કોપી અને પેસ્ટ” કરીને તેના લૂપને બદલી શકીએ છીએ.


The index variable i in the j-th iteration will depend only on j and not on the contents of the input.

j-મી પુનરાવર્તનમાં ઇન્ડેક્સ ચલ i ફક્ત j પર આધારિત રહેશે અને ઇનપુટની સામગ્રી પર નહીં.


It is possible to transform every NAND-TM program into a functionally equivalent oblivious program.

દરેક NAND-TM પ્રોગ્રામને કાર્યાત્મક રીતે સમકક્ષ અજાણ પ્રોગ્રામમાં રૂપાંતરિત કરવું શક્ય છે.


We construct an oblivious NAND-TM program for computing F.

અમે F ની ગણતરી માટે એક અજાણ NAND-TM પ્રોગ્રામ બનાવીએ છીએ.


The program simulates the execution of P'.

પ્રોગ્રામ P' ના અમલનું અનુકરણ કરે છે.


We see that P simulates the execution of P' with an overhead of O(T(n)) steps.

આપણે જોઈએ છીએ કે P, O(T(n)) પગલાંના ઓવરહેડ સાથે P' ના અમલનું અનુકરણ કરે છે.


The proof yields a polynomial-time algorithm that given a Turing machine M and parameters T and n, produces a circuit.

આ પુરાવો એક બહુપદી-સમયનો અલ્ગોરિધમ આપે છે જે ટ્યુરિંગ મશીન M અને પરિમાણો T અને n આપેલ છે, એક સર્કિટ ઉત્પન્ન કરે છે.


આજે સૂર્ય તેજસ્વી રીતે ચમકી રહ્યો છે.


I am going to the market to buy some vegetables.

હું શાકભાજી ખરીદવા બજારમાં જઈ રહ્યો છું.


શું તમે મને મીઠું આપશો?


The news reported a major earthquake in Japan.

સમાચારમાં જાપાનમાં આવેલા મોટા ભૂકંપની જાણ કરવામાં આવી હતી.


She is a talented musician and plays the piano beautifully.

તે એક પ્રતિભાશાળી સંગીતકાર છે અને સુંદર રીતે પિયાનો વગાડે છે.


The company announced its quarterly earnings report.

કંપનીએ તેની ત્રિમાસિક કમાણીનો અહેવાલ જાહેર કર્યો.


The algorithm efficiently sorts the data.

એલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

આ પડકારો હોવા છતાં, તેઓ અડગ રહ્યા અને સફળ થયા.


The government implemented new policies to boost the economy.

સરકારે અર્થતંત્રને વેગ આપવા માટે નવી નીતિઓ લાગુ કરી.


The scientist conducted a series of experiments to test the hypothesis.

વૈજ્ઞાનિકે પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે પ્રયોગોની એક શ્રેણી હાથ ધરી.


The complex interplay of factors contributed to the crisis.

પરિબળોની જટિલ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાએ કટોકટીમાં ફાળો આપ્યો.


The philosophical implications of the discovery are profound.

આ શોધના તત્વજ્ઞાનિક અર્થો ઊંડા છે.


The intricate details of the artwork were mesmerizing.

કલાના કામની જટિલ વિગતો મોહક હતી.


The company's innovative approach disrupted the market.

કંપનીના નવીન અભિગમે બજારને ખલેલ પહોંચાડી.


The legal arguments presented were highly persuasive.

રજૂ કરાયેલા કાનૂની તર્ક અત્યંત સમજાવટવાળા હતા.


The economic downturn had a significant impact on employment.

આર્થિક મંદીની રોજગાર પર નોંધપાત્ર અસર થઈ હતી.


The historical context is crucial for understanding the events.

ઘટનાઓને સમજવા માટે ઐતિહાસિક સંદર્ભ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.


The technological advancements have transformed communication.

ટેકનોલોજીકલ પ્રગતિએ સંદેશાવ્યવહારને બદલી નાખ્યો છે.


The ethical considerations of artificial intelligence are complex.

આર્ટિફિશિયલ ઇન્ટેલિજન્સના નૈતિક પાસાઓ જટિલ છે.


The subtle nuances of the language were difficult to grasp.

ભાષાના સૂક્ષ્મ પાસાઓને સમજવા મુશ્કેલ હતા.


The algorithm efficiently computes F(x) by outputting G(R(x)).

એલ્ગોરિધમ G(R(x)) ને આઉટપુટ કરીને F(x) ની કાર્યક્ષમ ગણતરી કરે છે.


This restricted form is convenient for us.

આ પ્રતિબંધિત સ્વરૂપ આપણા માટે અનુકૂળ છે.


We will reduce 3SAT to the latter problems.

આપણે 3SAT ને પછીની સમસ્યાઓમાં ઘટાડીશું.


Solving any one of them efficiently will result in an efficient algorithm for 3SAT.

તેમાંથી કોઈપણ એકને કાર્યક્ષમ રીતે ઉકેલવાથી 3SAT માટે કાર્યક્ષમ એલ્ગોરિધમ મળશે.


We show the other direction: reducing each one of these problems to 3SAT in one fell swoop.

આપણે બીજી દિશા બતાવીએ છીએ: આમાંની દરેક સમસ્યાને એક જ વારમાં 3SAT માં ઘટાડવી.


ખરેખર, આ જ કેસ છે.


For every F, G, H : {0,1}* -> {0,1}, if F ≤p G and G ≤p H then F ≤p H.

દરેક F, G, H : {0,1}* -> {0,1} માટે, જો F ≤p G અને G ≤p H તો F ≤p H.


If you are familiar with matrix notation you may note that such equations can be written as Ax = b.

જો તમે મેટ્રિક્સ નોટેશનથી પરિચિત છો, તો તમે નોંધ કરી શકો છો કે આવા સમીકરણોને Ax = b તરીકે લખી શકાય છે.


Combining these two equalities, we see that for every x ∈ {0,1}*, F(x) = H(R2(R1(x))).

આ બે સમાનતાઓને જોડીને, આપણે જોઈએ છીએ કે દરેક x ∈ {0,1}* માટે, F(x) = H(R2(R1(x))).


But if there are some constants c, d such that R1(x) is computable in time |x|c and R2(y) is computable in time |y|d then R2(R1(x)) is computable in time (|x|c)d = |x|cd which is polynomial.

પરંતુ જો કેટલાક અચળાંકો c, d એવા છે કે R1(x) ની ગણતરી સમય |x|c માં થઈ શકે છે અને R2(y) ની ગણતરી સમય |y|d માં થઈ શકે છે, તો R2(R1(x)) ની ગણતરી સમય (|x|c)d = |x|cd માં થઈ શકે છે જે બહુપદી છે.


We now show our first example of a reduction.

હવે આપણે ઘટાડાનું પ્રથમ ઉદાહરણ બતાવીએ છીએ.


The Zero-One Linear Equations problem corresponds to the function 01EQ : {0,1}* -> {0,1}.

શૂન્ય-એક રેખીય સમીકરણોની સમસ્યા 01EQ : {0,1}* -> {0,1} ફંક્શનને અનુરૂપ છે.


For example, if the input E is a string encoding the set of equations.

ઉદાહરણ તરીકે, જો ઇનપુટ E એ સમીકરણોના સમૂહને એન્કોડ કરતી સ્ટ્રિંગ છે.


We specifically restrict attention to linear equations in variables x0,...,xn-1 in which every equation has the form.

આપણે ખાસ કરીને ચલો x0,...,xn-1 માં રેખીય સમીકરણો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ છીએ જેમાં દરેક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે.


However, there is no known efficient algorithm to solve 01EQ.

જો કે, 01EQ ને ઉકેલવા માટે કોઈ જાણીતું કાર્યક્ષમ એલ્ગોરિધમ નથી.


Indeed, such an algorithm would imply an algorithm for 3SAT as shown by the following theorem.

ખરેખર, આવા એલ્ગોરિધમનો અર્થ એ થશે કે 3SAT માટે એલ્ગોરિધમ, જે નીચેના પ્રમેય દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે.


A constraint x2 ∨ x5 ∨ x7 can be written as x2 + (1 - x5) + x7 ≥ 1.

એક અવરોધ x2 ∨ x5 ∨ x7 ને x2 + (1 - x5) + x7 ≥ 1 તરીકે લખી શકાય છે.


We will use fresh variables y, z for every constraint.

આપણે દરેક અવરોધ માટે તાજા ચલો y, z નો ઉપયોગ કરીશું.


The main takeaway technique from this reduction is the idea of adding auxiliary variables.

આ ઘટાડામાંથી મુખ્ય ટેકઅવે તકનીક સહાયક ચલો ઉમેરવાનો વિચાર છે.


હવે આપણે તે જ કરવા આગળ વધીએ છીએ.


The algorithm efficiently sorts the data.

અલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


She enjoys reading novels in her free time.

તેણીને તેના ફ્રી ટાઇમમાં નવલકથાઓ વાંચવી ગમે છે.


The news reported a significant economic downturn.

સમાચારોએ નોંધપાત્ર આર્થિક મંદીની જાણ કરી.


શું તમે મને મીઠું આપશો?


The company is developing innovative software solutions.

કંપની નવીન સોફ્ટવેર સોલ્યુશન્સ વિકસાવી રહી છે.


He is a highly respected professor at the university.

તે યુનિવર્સિટીમાં ખૂબ જ આદરણીય પ્રોફેસર છે.


The research team made a groundbreaking discovery.

સંશોધન ટીમે એક મહત્વપૂર્ણ શોધ કરી.


The government announced new policies to boost the economy.

સરકારે અર્થતંત્રને વેગ આપવા માટે નવી નીતિઓની જાહેરાત કરી.


તેણી ઘણી ભાષાઓમાં પ્રવાહિત છે.


The project requires careful planning and execution.

પ્રોજેક્ટને કાળજીપૂર્વક આયોજન અને અમલની જરૂર છે.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

પડકારો હોવા છતાં, તેઓ ટકી રહ્યા અને સફળ થયા.


The complex equation was difficult to solve.

જટિલ સમીકરણ ઉકેલવું મુશ્કેલ હતું.


The artist's work is known for its vibrant colors.

કલાકારનું કાર્ય તેના વાઇબ્રન્ટ રંગો માટે જાણીતું છે.


The company's profits increased significantly this quarter.

કંપનીનો નફો આ ત્રિમાસિક ગાળામાં નોંધપાત્ર રીતે વધ્યો છે.


He is a renowned expert in the field of astrophysics.

તે ખગોળ ભૌતિકશાસ્ત્રના ક્ષેત્રમાં એક જાણીતા નિષ્ણાત છે.


The negotiations reached a stalemate after several rounds.

અનેક રાઉન્ડ પછી વાટાઘાટો અટકી ગઈ.


The philosophical implications of the theory are profound.

સિદ્ધાંતના તત્વજ્ઞાની અર્થો ઊંડા છે.


The intricate design of the building is impressive.

બિલ્ડિંગની જટિલ ડિઝાઇન પ્રભાવશાળી છે.


The economic forecast predicts a period of slow growth.

આર્થિક આગાહી ધીમા વૃદ્ધિના સમયગાળાની આગાહી કરે છે.


The complex interplay of factors makes the situation difficult to analyze.

પરિબળોની જટિલ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા પરિસ્થિતિનું વિશ્લેષણ કરવું મુશ્કેલ બનાવે છે.


The algorithm's efficiency is a key factor in its performance.

એલ્ગોરિધમની કાર્યક્ષમતા તેના પ્રદર્શનમાં એક મુખ્ય પરિબળ છે.


If P equals NP, then many currently intractable problems would become solvable.

જો P, NP ની બરાબર હોય, તો હાલમાં ઉકેલવા મુશ્કેલ એવી ઘણી સમસ્યાઓ ઉકેલી શકાય તેમ બનશે.


The chapter explores the implications of an efficient algorithm for NP-complete problems.

આ પ્રકરણ NP-સંપૂર્ણ સમસ્યાઓ માટે કાર્યક્ષમ એલ્ગોરિધમની અસરોનું અન્વેષણ કરે છે.


Finding a satisfying assignment is crucial in 3SAT.

3SAT માં સંતોષકારક સોંપણી શોધવી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.


The theorem discusses the search-to-decision reduction.

પ્રમેય શોધ-થી-નિર્ણય ઘટાડાની ચર્ચા કરે છે.


Optimization problems can be solved if P=NP.

જો P=NP હોય તો ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ ઉકેલી શકાય છે.


Supervised learning is a classical optimization task.

સુપરવાઇઝ્ડ લર્નિંગ એ એક ક્લાસિકલ ઓપ્ટિમાઇઝેશન કાર્ય છે.


The goal is to find the key that decrypts the ciphertext.

ધ્યેય એ ચાવી શોધવાનો છે જે સાઇફરટેક્સ્ટને ડિક્રિપ્ટ કરે છે.


Mathematical proofs can be automated if P=NP.

જો P=NP હોય તો ગાણિતિક પુરાવાઓનું સ્વયંસંચાલન કરી શકાય છે.


The question of P versus NP is of great interest.

P વિ NP નો પ્રશ્ન ખૂબ જ રસપ્રદ છે.


એલ્ગોરિધમ બહુપદી સમયમાં ચાલે છે.


This chapter provides an overview of the topic.

આ પ્રકરણ વિષયનું વિહંગાવલોકન પૂરું પાડે છે.


આપણે પરિણામોનું અન્વેષણ કરીશું.


સમસ્યા ખૂબ જ જટિલ છે.


It is not enough to know if a formula is satisfiable.

જો કોઈ સૂત્ર સંતોષકારક છે કે કેમ તે જાણવું પૂરતું નથી.


We want to discover the actual satisfying assignment.

આપણે વાસ્તવિક સંતોષકારક સોંપણી શોધવા માંગીએ છીએ.


પુરાવાની પાછળનો વિચાર સરળ છે.


Let us demonstrate it for the special case of 3SAT.

ચાલો આપણે તેને 3SAT ના વિશેષ કેસ માટે દર્શાવીએ.


Algorithm 16.2 is used for search to decision reduction.

શોધથી નિર્ણય ઘટાડા માટે એલ્ગોરિધમ 16.2 નો ઉપયોગ થાય છે.


Finding a polynomial-time algorithm for any one of them will imply a polynomial-time algorithm for all of them.

તેમાંથી કોઈપણ માટે બહુપદી-સમયનો અલ્ગોરિધમ શોધવાથી તે બધા માટે બહુપદી-સમયનો અલ્ગોરિધમ મળશે.


It is conjectured that NP ≠ P which means that we believe that polynomial-time algorithms for these problems are not merely unknown but are non-existent.

એવું અનુમાન છે કે NP ≠ P, જેનો અર્થ એ છે કે અમે માનીએ છીએ કે આ સમસ્યાઓ માટે બહુપદી-સમયના અલ્ગોરિધમ્સ માત્ર અજાણ્યા નથી પણ અસ્તિત્વમાં પણ નથી.


While an NP-hardness result means for example that a full-fledged “textbook” solution to a problem such as MAX-CUT that is as clean and general as the algorithm for MIN-CUT probably does not exist, it does not mean that we need to give up whenever we see a MAX-CUT instance.

જ્યારે NP-કઠિનતા પરિણામનો અર્થ એ થાય છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, MAX-CUT જેવી સમસ્યાનું સંપૂર્ણ “પાઠ્યપુસ્તક” સોલ્યુશન કે જે MIN-CUT માટેના અલ્ગોરિધમ જેટલું સ્વચ્છ અને સામાન્ય છે તે કદાચ અસ્તિત્વમાં નથી, તેનો અર્થ એ નથી કે જ્યારે પણ આપણે MAX-CUT ઉદાહરણ જોઈએ ત્યારે આપણે હાર માની લેવાની જરૂર છે.


We will discuss several strategies to deal with NP-hardness, including average-case complexity and approximation algorithms.

આપણે NP-કઠિનતાનો સામનો કરવા માટેની ઘણી વ્યૂહરચનાઓની ચર્ચા કરીશું, જેમાં સરેરાશ-કેસની જટિલતા અને અંદાજિત અલ્ગોરિધમ્સનો સમાવેશ થાય છે.


Many of the problems for which we don’t know polynomial-time algorithms are NP-complete, which means that finding a polynomial-time algorithm for one of them would imply a polynomial-time algorithm for all of them.

જે સમસ્યાઓ માટે આપણે બહુપદી-સમયના અલ્ગોરિધમ્સ જાણતા નથી તેમાંથી ઘણી NP-સંપૂર્ણ છે, જેનો અર્થ છે કે તેમાંથી એક માટે બહુપદી-સમયનો અલ્ગોરિધમ શોધવાથી તે બધા માટે બહુપદી-સમયનો અલ્ગોરિધમ મળશે.


એવું અનુમાન છે કે NP ≠ P.


We believe that polynomial-time algorithms for these problems are not merely unknown but are non-existent.

અમે માનીએ છીએ કે આ સમસ્યાઓ માટે બહુપદી-સમયના અલ્ગોરિધમ્સ માત્ર અજાણ્યા નથી પણ અસ્તિત્વમાં પણ નથી.


Suppose aliens invade the earth and threaten to obliterate it in a year’s time unless human beings can find the [fifth Ramsey number].

ધારો કે એલિયન્સ પૃથ્વી પર આક્રમણ કરે છે અને એક વર્ષમાં તેને નષ્ટ કરવાની ધમકી આપે છે સિવાય કે માનવ જાતિ [પાંચમો રેમ્સી નંબર] શોધી શકે.


We could marshal the world’s best minds and fastest computers, and within a year we could probably calculate the value.

આપણે વિશ્વના શ્રેષ્ઠ મગજ અને સૌથી ઝડપી કમ્પ્યુટર્સને એકત્ર કરી શકીએ છીએ, અને એક વર્ષની અંદર આપણે કદાચ મૂલ્યની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.


If the aliens demanded the [sixth Ramsey number], however, we would have no choice but to launch a preemptive attack.

જો કે, એલિયન્સે [છઠ્ઠો રેમ્સી નંબર] ની માંગણી કરી, તો આપણી પાસે પૂર્વસૂચક હુમલો કરવા સિવાય કોઈ વિકલ્પ રહેશે નહીં.


We have mentioned that the question of whether P=NP, which is equivalent to whether there is a polynomial-time algorithm for 3SAT, is the great open question of Computer Science.

આપણે ઉલ્લેખ કર્યો છે કે P=NP છે કે કેમ તે પ્રશ્ન, જે 3SAT માટે બહુપદી-સમયના અલ્ગોરિધમ છે કે કેમ તેના સમકક્ષ છે, તે કમ્પ્યુટર સાયન્સનો મહાન ખુલ્લો પ્રશ્ન છે.


પણ તે આટલું મહત્વનું કેમ છે?


In this chapter, we will try to figure out the implications of such an algorithm.

આ પ્રકરણમાં, આપણે આવા અલ્ગોરિધમની અસરો શોધવાનો પ્રયત્ન કરીશું.


Sometimes people say, “What if P=NP but the best algorithm for 3SAT takes n^1000 time?”

કેટલીકવાર લોકો કહે છે, “જો P=NP હોય પણ 3SAT માટેનો શ્રેષ્ઠ અલ્ગોરિધમ n^1000 સમય લે છે?”


Well, n^1000 is much larger than, say, 2^(0.001√n) for any input smaller than 2^50, as large as a harddrive as you will encounter, and so another way to phrase this question is to say “what if the complexity of 3SAT is exponential for all inputs that we will ever encounter, but then grows much smaller than that?”

સારું, n^1000, 2^50 કરતા નાના કોઈપણ ઇનપુટ માટે, કહો કે, 2^(0.001√n) કરતા ઘણું મોટું છે, જે તમે અનુભવશો તે હાર્ડડ્રાઈવ જેટલું મોટું છે, અને તેથી આ પ્રશ્નને કહેવાની બીજી રીત એ છે કે “જો 3SAT ની જટિલતા એવા બધા ઇનપુટ્સ માટે ઘાતાંકીય હોય જેનો આપણે ક્યારેય સામનો કરીશું, પરંતુ તે પછી તેના કરતા ઘણું નાનું થાય છે?”


To me this sounds like the computer science equivalent of asking, “what if the laws of physics change completely once they are out of the range of our telescopes?”.

મારા માટે આ કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનની સમકક્ષ જેવું લાગે છે, “જો ભૌતિકશાસ્ત્રના નિયમો સંપૂર્ણપણે બદલાઈ જાય તો એકવાર તે આપણા ટેલિસ્કોપની શ્રેણીની બહાર આવી જાય?”.


Sure, this is a valid possibility, but wondering about it does not sound like the most productive use of our time.

ચોક્કસ, આ એક માન્ય સંભાવના છે, પરંતુ તેના વિશે આશ્ચર્ય કરવું એ આપણા સમયનો સૌથી વધુ ઉત્પાદક ઉપયોગ જેવું લાગતું નથી.


We’ll keep an open mind, but not so open that our brains fall out, and assume from now on that:

આપણે ખુલ્લું મન રાખીશું, પરંતુ એટલું ખુલ્લું નહીં કે આપણા મગજ બહાર પડી જાય, અને હવે પછી ધારીશું કે:


એક ગાણિતિક દેવ છે, અને


She does not “beat around the bush” or take “half measures”.

તે “બુશની આસપાસ મારતી નથી” અથવા “અડધા પગલાં” લેતી નથી.


The theorem explains the relationship between independent random variables.

આ પ્રમેય સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો વચ્ચેના સંબંધને સમજાવે છે.


If X and Y are independent, then the expectation of their product is the product of their expectations.

જો X અને Y સ્વતંત્ર હોય, તો તેમના ગુણાકારની અપેક્ષા તેમની અપેક્ષાઓનો ગુણાકાર છે.


The proof uses string concatenation to determine the probability.

પુરાવો સંભાવના નક્કી કરવા માટે સ્ટ્રિંગ જોડાણનો ઉપયોગ કરે છે.


We can reorder the indices without affecting the probabilities.

આપણે સંભાવનાઓને અસર કર્યા વિના ઇન્ડેક્સને ફરીથી ગોઠવી શકીએ છીએ.


The concept of independence extends to more than two random variables.

સ્વતંત્રતાનો ખ્યાલ બે કરતાં વધુ રેન્ડમ ચલો સુધી વિસ્તરે છે.


કાર્યો સ્વતંત્રતા જાળવી રાખે છે.


The expectation is not always the typical value.

અપેક્ષા હંમેશા લાક્ષણિક મૂલ્ય નથી.


Casinos make money in a predictable way.

કેસિનો એક અનુમાનિત રીતે પૈસા કમાય છે.


The bell curve is a key concept in probability.

ઘંટડી વળાંક સંભાવનામાં એક મુખ્ય ખ્યાલ છે.


Markov's inequality provides an upper bound.

માર્કોવની અસમાનતા ઉપલી મર્યાદા પૂરી પાડે છે.


The average grade on the exam was 87 points.

પરીક્ષામાં સરેરાશ ગ્રેડ 87 પોઇન્ટ હતો.


Chebyshev's inequality shows concentration.

ચેબીશેવની અસમાનતા એકાગ્રતા દર્શાવે છે.


We use standard deviation to measure deviation.

આપણે વિચલન માપવા માટે પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.


The variance is the average squared distance.

વિચરણ એ સરેરાશ વર્ગનું અંતર છે.


The Chernoff bound provides a stronger result.

ચેર્નોફ બાઉન્ડ વધુ મજબૂત પરિણામ આપે છે.


The distribution of X would be roughly the normal distribution.

X નું વિતરણ આશરે સામાન્ય વિતરણ હશે.


Exponential decay occurs with a sum of independent variables.

સ્વતંત્ર ચલોના સરવાળા સાથે ઘાતાંકીય ક્ષય થાય છે.


Consider the task of supervised learning.

સુપરવાઇઝ્ડ લર્નિંગના કાર્યને ધ્યાનમાં લો.


ધ્યેય પરીક્ષણ ભૂલને ઓછી કરવાનો છે.


The empirical risk minimizer is a key concept.

પ્રાયોગિક જોખમ ન્યૂનતમ કરનાર એક મુખ્ય ખ્યાલ છે.


NAND-CIRC programs are equivalent to Boolean circuits.

NAND-CIRC પ્રોગ્રામ્સ બુલિયન સર્કિટ્સની સમકક્ષ છે.


તમે સીધા વિભાગ 16.4.1 પર જઈ શકો છો.


Another example of a statement involving levels of quantifiers would be to check, given a chess position.

ક્વોન્ટિફાયર્સના સ્તરનો સમાવેશ કરતું બીજું ઉદાહરણ એ તપાસવાનું રહેશે, આપેલ ચેસની સ્થિતિ.


For example is a = 3 we would want to check if given the board position.

ઉદાહરણ તરીકે, જો a = 3 હોય, તો આપણે તપાસવા માંગીએ છીએ કે બોર્ડની સ્થિતિ આપેલ છે.


It turns out that if P=NP then we can solve these kinds of problems as well.

એવું બહાર આવ્યું છે કે જો P=NP હોય તો આપણે આ પ્રકારની સમસ્યાઓ પણ હલ કરી શકીએ છીએ.


If P=NP then for every a ∈ ℕ, polynomial p ∶ ℕ → ℕ and polynomial-time algorithm V.

જો P=NP હોય તો દરેક a ∈ ℕ માટે, બહુપદી p ∶ ℕ → ℕ અને બહુપદી-સમયનો અલ્ગોરિધમ V.


For the ease of notation, we assume that all the strings we quantify over have the same length.

સૂચન માટે સરળતા ખાતર, અમે ધારીએ છીએ કે આપણે જે તમામ સ્ટ્રિંગ્સ પર ક્વોન્ટિફાય કરીએ છીએ તેની લંબાઈ સમાન છે.


Proof Idea: To understand the idea behind the proof, consider the special case.

પ્રૂફ આઈડિયા: પુરાવાની પાછળના વિચારને સમજવા માટે, વિશિષ્ટ કેસને ધ્યાનમાં લો.


Consider the function F such that F(xy) = 1 if there exists z ∈ {0,1}n such that V(xyz) = 1.

કાર્ય F ને ધ્યાનમાં લો કે F(xy) = 1 જો z ∈ {0,1}n અસ્તિત્વમાં છે કે V(xyz) = 1.


Since V runs in polynomial-time F ∈ NP and hence if P=NP, then there is an algorithm V′.

કારણ કે V બહુપદી-સમયમાં ચાલે છે F ∈ NP અને તેથી જો P=NP, તો ત્યાં એક અલ્ગોરિધમ V′ છે.


Now we can see that the original statement we consider is true if and only if for every y ∈ {0,1}n, V′(xy) = 1.

હવે આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આપણે જે મૂળ નિવેદન ધ્યાનમાં લઈએ છીએ તે સાચું છે જો અને માત્ર જો દરેક y ∈ {0,1}n માટે, V′(xy) = 1.


But for every x ∈ {0,1}n, the question of whether the condition (*) is itself in NP.

પરંતુ દરેક x ∈ {0,1}n માટે, શું શરત (*) પોતે NP માં છે તે પ્રશ્ન.


આપણે પ્રમેયને ઇન્ડક્શન દ્વારા સાબિત કરીએ છીએ.


For a = 1, SOLVE V,a−1(x) = 1 iff V(x) = 1 which is a polynomial-time computation since V runs in polynomial time.

a = 1 માટે, SOLVE V,a−1(x) = 1 iff V(x) = 1 જે બહુપદી-સમયની ગણતરી છે કારણ કે V બહુપદી સમયમાં ચાલે છે.


For every x,y0, define the statement φ x,y0 to be the following.

દરેક x,y0 માટે, નિવેદન φ x,y0 ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરો.


By the definition of SOLVE V,a, for every x ∈ {0,1}n, our goal is that SOLVE V,a(x) = 1 if and only if there exists y0 ∈ {0,1}m such that φ x,y0 is true.

SOLVE V,a ની વ્યાખ્યા દ્વારા, દરેક x ∈ {0,1}n માટે, આપણો ધ્યેય એ છે કે SOLVE V,a(x) = 1 જો અને માત્ર જો y0 ∈ {0,1}m અસ્તિત્વમાં છે કે φ x,y0 સાચું છે.


The negation of φ x,y0 is the statement φ x,y0 = ∃ y1 ∈ {0,1}m ∀ y2 ∈ {0,1}m ⋯ ℜ ya−1 ∈ {0,1}m V(xy0y1 ⋯ ya−1) = 0 where ℜ is ∃ if ℜ was ∀ and ℜ is ∀ otherwise.

φ x,y0 નું ખંડન એ નિવેદન φ x,y0 = ∃ y1 ∈ {0,1}m ∀ y2 ∈ {0,1}m ⋯ ℜ ya−1 ∈ {0,1}m V(xy0y1 ⋯ ya−1) = 0 છે જ્યાં ℜ ∃ છે જો ℜ ∀ હતું અને ℜ અન્યથા ∀ છે.


The crucial observation is that φ x,y0 is exactly a statement of the form we consider with a − 1 quantifiers instead of a.

મહત્વની બાબત એ છે કે φ x,y0 એ બરાબર એવા સ્વરૂપનું નિવેદન છે જે આપણે a ને બદલે a − 1 ક્વોન્ટિફાયર્સ સાથે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.


If we let S be the algorithm that on input x,y0 outputs 1 − S(xy0) then we see that S outputs 1 if and only if φ x,y0 is true.

જો આપણે S ને એવો અલ્ગોરિધમ થવા દઈએ કે જે ઇનપુટ x,y0 પર 1 − S(xy0) આઉટપુટ કરે તો આપણે જોઈએ છીએ કે S 1 આઉટપુટ કરે છે જો અને માત્ર જો φ x,y0 સાચું હોય.


Hence we can rephrase the original statement (16.4) as follows.

તેથી આપણે મૂળ નિવેદનને (16.4) નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.


The algorithm is designed to solve complex problems efficiently.

આલ્ગોરિધમ જટિલ સમસ્યાઓને કાર્યક્ષમ રીતે ઉકેલવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું છે.


Randomized algorithms often provide elegant solutions.

રેન્ડમાઇઝ્ડ એલ્ગોરિધમ્સ ઘણીવાર ભવ્ય ઉકેલો પૂરા પાડે છે.


The concept of randomness is crucial in this approach.

આ અભિગમમાં રેન્ડમનેસનો ખ્યાલ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.


We will explore the applications of randomized algorithms.

આપણે રેન્ડમાઇઝ્ડ એલ્ગોરિધમ્સના ઉપયોગોનું અન્વેષણ કરીશું.


The probability of error can be controlled.

ભૂલની સંભાવનાને નિયંત્રિત કરી શકાય છે.


Early computers struggled with unpredictable behavior.

શરૂઆતના કમ્પ્યુટર્સ અનિશ્ચિત વર્તન સાથે સંઘર્ષ કરતા હતા.


Redundancy was introduced to correct errors.

ભૂલોને સુધારવા માટે રિડન્ડન્સી રજૂ કરવામાં આવી હતી.


રેન્ડમનેસ એક મૂલ્યવાન સંસાધન બની ગયું.


Monte Carlo methods use random simulations.

મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિઓ રેન્ડમ સિમ્યુલેશનનો ઉપયોગ કરે છે.


These algorithms are known as Monte Carlo algorithms.

આ એલ્ગોરિધમ્સ મોન્ટે કાર્લો એલ્ગોરિધમ્સ તરીકે ઓળખાય છે.


We will see examples of randomized algorithms.

આપણે રેન્ડમાઇઝ્ડ એલ્ગોરિધમ્સના ઉદાહરણો જોઈશું.


Probability can be useful for computation.

ગણતરી માટે સંભાવના ઉપયોગી થઈ શકે છે.


Success amplification is a key technique.

સફળતાનું વિસ્તરણ એ એક મુખ્ય તકનીક છે.


આપણે મહત્તમ કટ સમસ્યાથી શરૂઆત કરીએ છીએ.


આ સમસ્યા NP-હાર્ડ છે.


એલ્ગોરિધમ એક કટ આઉટપુટ કરે છે.


દરેક ધાર 1/2 ની સંભાવના સાથે કાપવામાં આવે છે.


The expected number of cut edges is m/2.

કટ એજની અપેક્ષિત સંખ્યા m/2 છે.


The algorithm is guaranteed to cut half the edges.

એલ્ગોરિધમ અડધી ધારને કાપવાની ખાતરી આપે છે.


We can amplify the probability of success.

આપણે સફળતાની સંભાવનાને વધારી શકીએ છીએ.


Theory 101 “God doesn’t play dice with the universe”, Albert Einstein

સિદ્ધાંત 101 “ઈશ્વર બ્રહ્માંડ સાથે પાસા નથી રમતા”, આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈન


Einstein was doubly wrong ... not only does God definitely play dice, but He sometimes confuses us by throwing them where they can’t be seen.”, Stephen Hawking

આઈન્સ્ટાઈન બેવડા ખોટા હતા ... ભગવાન માત્ર પાસા જ નથી રમતા, પણ તે ક્યારેક આપણને એ ફેંકીને મૂંઝવે છે જ્યાં તે જોઈ શકાતા નથી.”, સ્ટીફન હોકિંગ


‘The probability of winning a battle has no place in our theory because it does not belong to any [random experiment].

‘યુદ્ધ જીતવાની સંભાવનાનો આપણી થિયરીમાં કોઈ સ્થાન નથી કારણ કે તે કોઈપણ [રેન્ડમ પ્રયોગ] સાથે સંબંધિત નથી.


Probability cannot be applied to this problem any more than the physical concept of work can be applied to the ’work’ done by an actor reciting his part.”, Richard Von Mises, 1928 (paraphrased)

સંભાવનાને આ સમસ્યા પર લાગુ કરી શકાય નહીં, જેટલી શારીરિક કાર્યની કલ્પના કોઈ અભિનેતા દ્વારા તેના ભાગનું પઠન કરવાના 'કાર્ય' પર લાગુ કરી શકાય છે.”, રિચાર્ડ વોન મિસેસ, 1928 (સંક્ષિપ્ત)


I am unable to see why ‘objectivity’ requires us to interpret every probability as a frequency in some random experiment; particularly when in most problems probabilities are frequencies only in an imaginary universe invented just for the purpose of allowing a frequency interpretation.”, E. T. Jaynes, 1976

હું એ સમજી શકતો નથી કે ‘ઉદ્દેશ્યતા’ આપણને શા માટે દરેક સંભાવનાને કેટલાક રેન્ડમ પ્રયોગમાં આવૃત્તિ તરીકે અર્થઘટન કરવાની જરૂર છે; ખાસ કરીને જ્યારે મોટાભાગની સમસ્યાઓમાં સંભાવનાઓ માત્ર એક કાલ્પનિક બ્રહ્માંડમાં આવૃત્તિઓ હોય છે જે ફક્ત આવૃત્તિ અર્થઘટનની મંજૂરી આપવાના હેતુથી શોધાયેલ છે.”, ઇ. ટી. જેન્સ, 1976


Before we show how to use randomness in algorithms, let us do a quick review of some basic notions in probability theory.

અલ્ગોરિધમ્સમાં રેન્ડમનેસનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે બતાવતા પહેલા, ચાલો સંભાવના સિદ્ધાંતમાં કેટલીક મૂળભૂત વિભાવનાઓનું ઝડપી પુનરાવલોકન કરીએ.


This is not meant to replace a course on probability theory, and if you have not seen this material before, I highly recommend you look at additional resources to get up to speed.

આનો અર્થ સંભાવના સિદ્ધાંત પરના કોર્સને બદલવાનો નથી, અને જો તમે આ સામગ્રી પહેલાં જોઈ ન હોય, તો હું તમને ઝડપ પકડવા માટે વધારાના સંસાધનો જોવાની ભારપૂર્વક ભલામણ કરું છું.


Fortunately, we will not need many of the advanced notions of probability theory, but, as we will see, even the so-called “simple” setting of tossing푛coins can lead to very subtle and interesting issues.

સદનસીબે, આપણે સંભાવના સિદ્ધાંતની ઘણી અદ્યતન વિભાવનાઓની જરૂર પડશે નહીં, પરંતુ, જેમ આપણે જોઈશું, સિક્કા ફેંકવાની કહેવાતી “સરળ” સેટિંગ પણ ખૂબ જ સૂક્ષ્મ અને રસપ્રદ સમસ્યાઓ તરફ દોરી શકે છે.


This chapter: A non-mathy overview This chapter contains an overview of the basics of probability theory, as needed for understanding randomized computa- tion.

આ પ્રકરણ: બિન-ગણિતશાસ્ત્રીય ઝાંખી આ પ્રકરણમાં સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત બાબતોની ઝાંખી છે, જે રેન્ડમાઇઝ્ડ કમ્પ્યુટેશનને સમજવા માટે જરૂરી છે.


The main topics covered are the notions of: 1. Asample space, which for us will almost always consist of the set of all possible outcomes of the experiment of tossing a finite number of independent coins.

આવરી લેવાયેલા મુખ્ય વિષયોની વિભાવનાઓ છે: 1. એક નમૂનાની જગ્યા, જે આપણા માટે લગભગ હંમેશાં મર્યાદિત સંખ્યામાં સ્વતંત્ર સિક્કા ફેંકવાના પ્રયોગના તમામ સંભવિત પરિણામોના સમૂહનો સમાવેશ કરશે.


2. Anevent, which is simply a subset of the sample space, with the probability of the event happening being the fraction of outcomes that are in this subset.

2. એક ઘટના, જે ફક્ત નમૂનાની જગ્યાનો એક પેટા સમૂહ છે, જેમાં ઘટના બનવાની સંભાવના એ આ પેટા સમૂહમાં રહેલા પરિણામોનો અપૂર્ણાંક છે.


3. Arandom variable, which is a way to assign some number or statistic to an outcome of the sample space.

3. એક રેન્ડમ ચલ, જે નમૂનાની જગ્યાના પરિણામને કેટલાક નંબર અથવા આંકડા સોંપવાનો એક માર્ગ છે.


4. The notion ofconditioning, which corresponds to how the value of a random variable (or the probability of an event) changes if we restrict attention to outcomes for which the value of another variable is known (or for which some other event has happened).

4. શરતની વિભાવના, જે રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય (અથવા કોઈ ઘટનાની સંભાવના) કેવી રીતે બદલાય છે તે સાથે સંબંધિત છે જો આપણે તે પરિણામો પર ધ્યાન મર્યાદિત કરીએ છીએ જેના માટે બીજા ચલનું મૂલ્ય જાણીતું છે (અથવા જેના માટે અન્ય કોઈ ઘટના બની છે).


Random variables and events that have no impact on one another are calledindependent.

રેન્ડમ ચલો અને ઘટનાઓ કે જે એકબીજા પર કોઈ અસર કરતા નથી તેને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે.


5. Expectation, which is the average of a random variable, andconcentration boundswhich quantify the probability that a random variable can “stray too far” from its ex- pected value.

5. અપેક્ષા, જે રેન્ડમ ચલની સરેરાશ છે, અને સાંદ્રતા બાઉન્ડ્સ જે સંભાવનાને માપે છે કે રેન્ડમ ચલ તેની અપેક્ષિત કિંમતથી “ઘણું દૂર” જઈ શકે છે.


These concepts are at once both basic and subtle.

આ વિભાવનાઓ એક સાથે મૂળભૂત અને સૂક્ષ્મ બંને છે.


While we will not need many “fancy” topics covered in statistics courses, including special distributions (e.g., gemoetric, Poisson, exponential, Gaussian, etc.), nor topics such as hy- pothesis testing or regression, this doesn’t mean that the probability we use is “trivial”.

જ્યારે આપણે આંકડાશાસ્ત્રના અભ્યાસક્રમોમાં આવરી લેવાયેલા ઘણા “ફેન્સી” વિષયોની જરૂર પડશે નહીં, જેમાં વિશેષ વિતરણો (દા.ત., ભૌમિતિક, પોઈસન, ઘાતાંકીય, ગાઉસિયન, વગેરે)નો સમાવેશ થાય છે, ન તો પૂર્વધારણા પરીક્ષણ અથવા રીગ્રેસન જેવા વિષયો, તેનો અર્થ એ નથી કે આપણે જે સંભાવનાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ તે “તુચ્છ” છે.


The human brain has not evolved to do probabilistic reasoning very well, and notions such as conditioning and independence can be quite subtle and confusing even in the basic setting of tossing a random coin.

માનવ મગજ સંભાવનાત્મક તર્કને ખૂબ સારી રીતે કરવા માટે વિકસિત થયું નથી, અને શરત અને સ્વતંત્રતા જેવી વિભાવનાઓ રેન્ડમ સિક્કો ફેંકવાની મૂળભૂત સેટિંગમાં પણ ખૂબ જ સૂક્ષ્મ અને મૂંઝવણભરી હોઈ શકે છે.


However, this is all the more reason that studying these notions in this basic setting is useful not just for following this book, but also as a strong foundation for “fancier topics”.

જો કે, આ વધુ એક કારણ છે કે આ મૂળભૂત સેટિંગમાં આ વિભાવનાઓનો અભ્યાસ કરવો એ માત્ર આ પુસ્તકને અનુસરવા માટે જ ઉપયોગી છે, પરંતુ “ફેન્સી વિષયો” માટે મજબૂત પાયા તરીકે પણ ઉપયોગી છે.


18.1 RANDOM COINS The nature of randomness and probability is a topic of great philo- sophical, scientific and mathematical depth.

18.1 રેન્ડમ સિક્કા રેન્ડમનેસ અને સંભાવનાની પ્રકૃતિ એ મહાન તત્વજ્ઞાન, વૈજ્ઞાનિક અને ગાણિતિક ઊંડાઈનો વિષય છે.


The algorithm efficiently sorts the data.

એલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


She enjoys reading novels in her free time.

તેણીને તેના ફ્રી ટાઇમમાં નવલકથાઓ વાંચવી ગમે છે.


The company announced a new product launch.

કંપનીએ નવા ઉત્પાદનના લોન્ચની જાહેરાત કરી.


શું તમે મને મીઠું આપશો?


The weather forecast predicts rain tomorrow.

હવામાન વિભાગના જણાવ્યા અનુસાર, આવતીકાલે વરસાદની સંભાવના છે.


He is a highly skilled software engineer.

તે એક અત્યંત કુશળ સોફ્ટવેર એન્જિનિયર છે.


The government implemented new policies to boost the economy.

સરકારે અર્થતંત્રને વેગ આપવા માટે નવી નીતિઓ લાગુ કરી.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

પડકારો હોવા છતાં, તેઓ ટકી રહ્યા અને સફળ થયા.


The research paper explores the impact of climate change.

સંશોધન પત્ર આબોહવા પરિવર્તનની અસરની ચર્ચા કરે છે.


She is fluent in multiple languages, including Gujarati.

તે ગુજરાતી સહિત અનેક ભાષાઓમાં અસ્ખલિત છે.


The complex equation requires advanced mathematical knowledge.

જટિલ સમીકરણ માટે અદ્યતન ગાણિતિક જ્ઞાનની જરૂર છે.


The philosophical debate centered on the nature of reality.

તત્વજ્ઞાનની ચર્ચા વાસ્તવિકતાના સ્વભાવ પર કેન્દ્રિત હતી.


The intricate design of the architecture was admired by all.

આર્કિટેક્ચરની જટિલ ડિઝાઇન સૌ કોઈને ગમી.


The economic downturn significantly affected global markets.

આર્થિક મંદીએ વૈશ્વિક બજારોને નોંધપાત્ર અસર કરી.


The implications of the new technology are far-reaching and complex.

નવી ટેકનોલોજીના પરિણામો દૂરગામી અને જટિલ છે.


The algorithm's efficiency is paramount for large datasets.

મોટા ડેટાસેટ માટે એલ્ગોરિધમની કાર્યક્ષમતા સર્વોપરી છે.


The company's strategic plan involves market diversification.

કંપનીની વ્યૂહાત્મક યોજનામાં બજારમાં વિવિધતા લાવવાનો સમાવેશ થાય છે.


The judge's decision was based on legal precedent and evidence.

ન્યાયાધીશનો નિર્ણય કાયદાકીય ઉદાહરણો અને પુરાવા પર આધારિત હતો.


The scientific community is actively researching the cure for the disease.

વૈજ્ઞાનિક સમુદાય આ રોગની સારવાર માટે સક્રિયપણે સંશોધન કરી રહ્યો છે.


The intricate details of the artwork were mesmerizing.

કલાના જટિલ વિગતો મોહક હતી.


આજે હવામાન સુખદ છે.


શું તમે મને મીઠું આપશો?


I am going to the market to buy some vegetables.

હું શાકભાજી ખરીદવા બજારમાં જઈ રહ્યો છું.


The company announced its quarterly earnings report.

કંપનીએ તેના ત્રિમાસિક કમાણીનો અહેવાલ જાહેર કર્યો.


Please submit your application before the deadline.

કૃપા કરીને સમયમર્યાદા પહેલાં તમારી અરજી સબમિટ કરો.


The algorithm efficiently sorts the data.

એલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


She is a talented musician and plays the piano beautifully.

તે એક પ્રતિભાશાળી સંગીતકાર છે અને સુંદર રીતે પિયાનો વગાડે છે.


The new policy will be implemented next month.

નવી નીતિ આવતા મહિને લાગુ કરવામાં આવશે.


The research team is working on a new project.

સંશોધન ટીમ એક નવા પ્રોજેક્ટ પર કામ કરી રહી છે.


તે ઇતિહાસ વિશે ખૂબ જ જાણકાર છે.


The conference will be held in the city center.

કોન્ફરન્સ શહેરના કેન્દ્રમાં યોજાશે.


The software update includes several bug fixes.

સોફ્ટવેર અપડેટમાં ઘણા બગ ફિક્સનો સમાવેશ થાય છે.


Despite the challenges, they succeeded in their mission.

પડકારો હોવા છતાં, તેઓ તેમના મિશનમાં સફળ થયા.


The economic forecast predicts a rise in inflation.

આર્થિક આગાહી ફુગાવામાં વધારો દર્શાવે છે.


The complex equation requires advanced mathematical skills.

જટિલ સમીકરણ માટે અદ્યતન ગાણિતિક કૌશલ્યોની જરૂર છે.


The government is taking measures to address climate change.

સરકાર આબોહવા પરિવર્તનનો સામનો કરવા પગલાં લઈ રહી છે.


The company's innovative approach revolutionized the industry.

કંપનીના નવીન અભિગમે ઉદ્યોગમાં ક્રાંતિ લાવી.


The philosophical debate explored the nature of consciousness.

તત્વજ્ઞાનની ચર્ચાએ ચેતનાના સ્વભાવની શોધ કરી.


The intricate design of the machine was a marvel of engineering.

મશીનની જટિલ ડિઝાઇન એ એન્જિનિયરિંગનું અજાયબી હતી.


The artist's work reflects the socio-political climate of the era.

કલાકારનું કાર્ય તે યુગના સામાજિક-રાજકીય વાતાવરણને પ્રતિબિંબિત કરે છે.


The map 푦 ↦ 퐷 푘 (푦) inverts the map 푥 ↦ 퐸 푘 (푥).

મેપ 푦 ↦ 퐷 푘 (푦) મેપ 푥 ↦ 퐸 푘 (푥) ને ઉલટાવે છે.


Hence its codomain must be at least as large as its domain.

આમ, તેનો કોડોમેઇન તેના ડોમેઇન જેટલો મોટો હોવો જોઈએ.


Since the ciphertext length is always at least the plaintext length.

કારણ કે સાઇફરટેક્સ્ટની લંબાઈ હંમેશા પ્લેનટેક્સ્ટની લંબાઈ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોય છે.


We typically focus on the plaintext length as the quantity to optimize in an encryption scheme.

આપણે સામાન્ય રીતે એન્ક્રિપ્શન સ્કીમમાં ઑપ્ટિમાઇઝ કરવા માટે પ્લેનટેક્સ્ટની લંબાઈ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ છીએ.


Defining security is not a trivial matter.

સુરક્ષાને વ્યાખ્યાયિત કરવી એ સામાન્ય બાબત નથી.


The system must not require secrecy and can be stolen by the enemy without causing trouble.

સિસ્ટમ ગુપ્તતાની માંગણી કરતી ન હોવી જોઈએ અને દુશ્મન દ્વારા મુશ્કેલી ઊભી કર્યા વિના ચોરી કરી શકાય છે.


Assume that the first copy of any device we make is shipped to the Kremlin.

ધારો કે અમે બનાવેલ કોઈપણ ઉપકરણની પ્રથમ નકલ ક્રેમલિનમાં મોકલવામાં આવે છે.


You would appreciate the subtleties of defining security of encryption more.

તમે એન્ક્રિપ્શનની સુરક્ષાને વ્યાખ્યાયિત કરવાની સૂક્ષ્મતાની વધુ પ્રશંસા કરશો.


આ એક ખામીયુક્ત ધારણા છે.


A cryptosystem should be secure even if everything about the system, except the key, is public knowledge.

એક ક્રિપ્ટોસિસ્ટમ સુરક્ષિત હોવું જોઈએ, પછી ભલેને કી સિવાય સિસ્ટમ વિશેની દરેક વસ્તુ જાહેર જ્ઞાન હોય.


યાદચ્છિકતા વિના કોઈ ગુપ્તતા નથી.


At the heart of every cryptographic scheme there is a secret key.

દરેક ક્રિપ્ટોગ્રાફિક યોજનાના હૃદયમાં એક ગુપ્ત કી છે.


Choosing the secrets for cryptography requires generating randomness.

ક્રિપ્ટોગ્રાફી માટેના રહસ્યોની પસંદગી માટે યાદચ્છિકતા પેદા કરવાની જરૂર છે.


Randomness generators often turn out to be the Achilles heel of secure systems.

યાદચ્છિકતા જનરેટર ઘણીવાર સુરક્ષિત સિસ્ટમ્સની એચિલીસ હીલ સાબિત થાય છે.


Breaking the procedure to generate randomness can lead to a complete break of the system.

યાદચ્છિકતા પેદા કરવાની પ્રક્રિયાને તોડવાથી સિસ્ટમ સંપૂર્ણપણે તૂટી શકે છે.


An encryption scheme is secure if it is not possible to recover the key.

એક એન્ક્રિપ્શન સ્કીમ સુરક્ષિત છે જો કીને પુનઃપ્રાપ્ત કરવી શક્ય ન હોય.


The whole point of an encryption is to protect the confidentiality of the plaintext.

એન્ક્રિપ્શનનો સમગ્ર મુદ્દો પ્લેનટેક્સ્ટની ગુપ્તતાને સુરક્ષિત કરવાનો છે.


An encryption reveals absolutely nothing about the message.

એક એન્ક્રિપ્શન સંદેશ વિશે કંઈપણ જાહેર કરતું નથી.


Would you learn anything new from observing the encryption of the message?

શું તમે સંદેશના એન્ક્રિપ્શનનું અવલોકન કરીને કંઈપણ નવું શીખશો?


Perfect secrecy is an extremely strong condition.

સંપૂર્ણ ગુપ્તતા એ અત્યંત મજબૂત સ્થિતિ છે.


આલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ ડેટાને એન્ક્રિપ્ટ કરવા માટે થાય છે.


તેણીએ આવી કોઈ પણ વસ્તુની કલ્પના પણ નહોતી કરી.


The company is facing a major challenge.

કંપની એક મોટા પડકારનો સામનો કરી રહી છે.


Cryptography is essential for secure communication.

સુરક્ષિત સંચાર માટે ક્રિપ્ટોગ્રાફી આવશ્યક છે.


The professor explained the concept in detail.

પ્રોફેસરે વિભાવનાને વિગતવાર સમજાવી.


They discussed the implications of the new policy.

તેમણે નવી નીતિના પરિણામોની ચર્ચા કરી.


The security parameter is crucial for the system's strength.

સિસ્ટમની મજબૂતાઈ માટે સુરક્ષા પરિમાણ નિર્ણાયક છે.


The adversary will not be able to guess the message.

વિરોધી સંદેશનો અંદાજ લગાવી શકશે નહીં.


The proof is an excellent exercise for you.

પુરાવો તમારા માટે એક ઉત્તમ કસરત છે.


The government is working on new encryption methods.

સરકાર નવી એન્ક્રિપ્શન પદ્ધતિઓ પર કામ કરી રહી છે.


The key is almost exponentially smaller than the plaintext.

ચાવી લગભગ સાદા લખાણ કરતા ઘાતાંકીય રીતે નાની છે.


Stream ciphers are widely used in practice.

સ્ટ્રીમ સિફરનો વ્યવહારમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.


The optimal PRG conjecture implies the following.

શ્રેષ્ઠ PRG અનુમાન નીચે મુજબ સૂચવે છે.


Suppose that the crypto PRG conjecture is true.

ધારો કે ક્રિપ્ટો PRG અનુમાન સાચું છે.


પુરાવાનું ચિત્ર આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે.


Computational secrecy follows from the condition.

ગણતરીની ગુપ્તતા શરતને અનુસરે છે.


The triangle inequality is a useful concept.

ત્રિકોણની અસમાનતા એક ઉપયોગી ખ્યાલ છે.


NP અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને એન્ક્રિપ્શન તોડવું.


The key generation algorithm is randomized.

ચાવી જનરેશન અલ્ગોરિધમ રેન્ડમાઇઝ્ડ છે.


Public key encryption consists of a triple of algorithms.

જાહેર કી એન્ક્રિપ્શનમાં અલ્ગોરિધમ્સની ત્રિપુટીનો સમાવેશ થાય છે.


It's not hard to see that if F is in BPP then it can be computed in exponential time.

એ જોવું મુશ્કેલ નથી કે જો F BPP માં છે, તો તેને ઘાતાંકીય સમયમાં ગણી શકાય છે.


The proof readily follows by enumerating over all the choices for the random coins.

આ પુરાવો રેન્ડમ સિક્કા માટેના તમામ વિકલ્પોની ગણતરી કરીને સરળતાથી અનુસરે છે.


We omit the formal proof, as doing it by yourself is an excellent way to get comfortable with Definition 20.1.

અમે ઔપચારિક પુરાવાને છોડી દઈએ છીએ, કારણ કે તે જાતે કરવું એ વ્યાખ્યા 20.1 થી આરામદાયક થવાનો ઉત્તમ માર્ગ છે.


A priori it is not at all clear that the same holds for a function in BPP, but this does turn out to be the case.

એ અગાઉથી બિલકુલ સ્પષ્ટ નથી કે BPP માંના ફંક્શન માટે પણ એવું જ છે, પરંતુ આ કેસ સાબિત થાય છે.


The standard BPP guarantee corresponds to the middle figure.

સ્ટાન્ડર્ડ BPP ગેરંટી મધ્ય આકૃતિને અનુરૂપ છે.


That is, every column is colored green in at least two thirds of its coordinates.

એટલે કે, દરેક કૉલમ તેના ઓછામાં ઓછા બે તૃતીયાંશ કોઓર્ડિનેટ્સમાં લીલા રંગની છે.


In the left figure we have an “average case” guarantee where the algorithm is only guaranteed to output the correct answer with probability two thirds over a random input.

ડાબી આકૃતિમાં આપણી પાસે “સરેરાશ કેસ” ગેરંટી છે જ્યાં અલ્ગોરિધમ ફક્ત રેન્ડમ ઇનપુટ પર બે તૃતીયાંશ સંભાવના સાથે સાચો જવાબ આપવાની ખાતરી આપે છે.


Theorem 20.8 (BPP ⊆ P / poly) is proven by amplifying the success of a BPP algorithm until we have the “offline BPP” guarantee, and then hardwiring the choice of the randomness to obtain a non-uniform deterministic algorithm.

પ્રમેય 20.8 (BPP ⊆ P / poly) BPP અલ્ગોરિધમની સફળતાને ત્યાં સુધી વધારીને સાબિત થાય છે જ્યાં સુધી આપણી પાસે “ઓફલાઇન BPP” ગેરંટી ન આવે, અને પછી રેન્ડમનેસની પસંદગીને હાર્ડવાયર કરીને બિન-સમાન નિશ્ચિત અલ્ગોરિધમ મેળવી શકાય છે.


That is, for every F ∈ BPP, there exist some a, b ∈ ℕ such that for every n > 0, F ↾ n ∈ SIZE(an b) where F ↾ n is the restriction of F to inputs in {0,1} n.

એટલે કે, દરેક F ∈ BPP માટે, કેટલાક a, b ∈ ℕ અસ્તિત્વમાં છે કે જેથી દરેક n > 0 માટે, F ↾ n ∈ SIZE(an b) જ્યાં F ↾ n એ {0,1} n માં ઇનપુટ્સ માટે F નું પ્રતિબંધ છે.


The idea behind the proof is that we can first amplify by repetition the probability of success from 2/3 to 1 − 0.1 ⋅ 2 −n.

પુરાવાની પાછળનો વિચાર એ છે કે આપણે પહેલા પુનરાવર્તન દ્વારા સફળતાની સંભાવનાને 2/3 થી 1 − 0.1 ⋅ 2 −n સુધી વધારી શકીએ છીએ.


This will allow us to show that for every n ∈ ℕ there exists a single fixed choice of “favorable coins” which is a string r of length polynomial in n such that if r is used for the randomness then we output the right answer on all of the possible 2n inputs.

આનાથી અમને એ બતાવવાની મંજૂરી મળશે કે દરેક n ∈ ℕ માટે “અનુકૂળ સિક્કા” ની એક જ નિશ્ચિત પસંદગી છે જે n માં બહુપદી લંબાઈની સ્ટ્રિંગ r છે, જેથી જો રેન્ડમનેસ માટે r નો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો અમે તમામ સંભવિત 2n ઇનપુટ્સ પર સાચો જવાબ આપીએ છીએ.


We can then use the standard “unravelling the loop” technique to transform an RNAND-TM program to an RNAND-CIRC program, and “hardwire” the favorable choice of random coins.

પછી આપણે RNAND-TM પ્રોગ્રામને RNAND-CIRC પ્રોગ્રામમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પ્રમાણભૂત “લૂપને અનરેવલિંગ” તકનીકનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, અને રેન્ડમ સિક્કાની અનુકૂળ પસંદગીને “હાર્ડવાયર” કરી શકીએ છીએ.


ધારો કે F ∈ BPP.


Using Theorem 20.5, we can amplify the success probability of P to obtain an RNAND-TM program P′ that is at most a factor of O(n) slower (and hence still polynomial time) such that for every x ∈ {0,1} n Pr r∼{0,1} m [P′(x; r) = F(x)] ≥ 1 − 0.1 ⋅ 2 −n, where m is the number of coin tosses that P′ uses on inputs of length n.

પ્રમેય 20.5 નો ઉપયોગ કરીને, અમે P ની સફળતાની સંભાવનાને વધારી શકીએ છીએ જેથી RNAND-TM પ્રોગ્રામ P′ મેળવી શકાય જે વધુમાં વધુ O(n) પરિબળ ધીમું હોય (અને તેથી હજુ પણ બહુપદી સમય) જેથી દરેક x ∈ {0,1} n Pr r∼{0,1} m [P′(x; r) = F(x)] ≥ 1 − 0.1 ⋅ 2 −n, જ્યાં m એ સિક્કાની સંખ્યા છે જે P′ લંબાઈ n ના ઇનપુટ્સ પર વાપરે છે.


For every x ∈ {0,1} n, define the “bad” event Bx to hold if P′(x) ≠ F(x), where the sample space for this event consists of the coins of P′.

દરેક x ∈ {0,1} n માટે, “ખરાબ” ઘટના Bx ને વ્યાખ્યાયિત કરો જો P′(x) ≠ F(x), જ્યાં આ ઘટના માટેનું નમૂનાનું સ્થાન P′ ના સિક્કાઓનું બનેલું છે.


Then by (20.5), Pr[Bx] ≤ 0.1 ⋅ 2 −n for every x ∈ {0,1} n.

પછી (20.5) દ્વારા, Pr[Bx] ≤ 0.1 ⋅ 2 −n દરેક x ∈ {0,1} n માટે.


Since there are 2n many such x’s, by the union bound we see that the probability that the union of the events {Bx} x∈{0,1} n is at most 0.1.

આવા ઘણા x હોવાથી, યુનિયન બાઉન્ડ દ્વારા આપણે જોઈએ છીએ કે ઘટનાઓ {Bx} x∈{0,1} n ના સંઘની સંભાવના વધુમાં વધુ 0.1 છે.


This means that if we choose r ∼ {0,1} m, then with probability at least 0.9 it will be the case that for every x ∈ {0,1} n, F(x) = P′(x; r).

આનો અર્થ એ છે કે જો આપણે r ∼ {0,1} m પસંદ કરીએ, તો ઓછામાં ઓછી 0.9 સંભાવના સાથે એવું બનશે કે દરેક x ∈ {0,1} n માટે, F(x) = P′(x; r).


In particular, because of the mere fact that the probability of ∪ x∈{0,1} n Bx is smaller than 1, this means that there exists a particular r∗ ∈ {0,1} m such that P′(x; r∗) = F(x) for every x ∈ {0,1} n.

ખાસ કરીને, હકીકતને કારણે કે ∪ x∈{0,1} n Bx ની સંભાવના 1 કરતા ઓછી છે, આનો અર્થ એ છે કે એક ચોક્કસ r∗ ∈ {0,1} m અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે P′(x; r∗) = F(x) દરેક x ∈ {0,1} n માટે.


Now let us use the standard “unravelling the loop” technique and transform P′ into a NAND-CIRC program Q of polynomial in n size, such that Q(xr) = P′(x; r) for every x ∈ {0,1} n and r ∈ {0,1} m.

હવે ચાલો આપણે પ્રમાણભૂત “લૂપને અનરેવલિંગ” તકનીકનો ઉપયોગ કરીએ અને P′ ને n સાઈઝમાં બહુપદીના NAND-CIRC પ્રોગ્રામ Q માં રૂપાંતરિત કરીએ, જેમ કે Q(xr) = P′(x; r) દરેક x ∈ {0,1} n અને r ∈ {0,1} m માટે.


The company announced a new product launch.

કંપનીએ એક નવા ઉત્પાદનના લોન્ચની જાહેરાત કરી.


Please submit your application before the deadline.

કૃપા કરીને સમયમર્યાદા પહેલાં તમારી અરજી સબમિટ કરો.


The weather forecast predicts rain for tomorrow.

હવામાન વિભાગના જણાવ્યા અનુસાર, આવતીકાલે વરસાદની આગાહી છે.


તે ડોક્ટર બનવા માટે અભ્યાસ કરી રહી છે.


I need to buy groceries from the market.

મારે બજારમાંથી કરિયાણું ખરીદવાની જરૂર છે.


The government is implementing new policies.

સરકાર નવી નીતિઓ લાગુ કરી રહી છે.


The research team is working on a new project.

સંશોધન ટીમ એક નવા પ્રોજેક્ટ પર કામ કરી રહી છે.


આ મીટિંગ આવતા અઠવાડિયે યોજાશે.


તે ખૂબ જ પ્રતિભાશાળી સંગીતકાર છે.


The economy is facing several challenges.

અર્થતંત્ર અનેક પડકારોનો સામનો કરી રહ્યું છે.


The algorithm efficiently sorts the data.

એલ્ગોરિધમ ડેટાને કાર્યક્ષમ રીતે સૉર્ટ કરે છે.


The company's profits increased significantly this quarter.

કંપનીનો નફો આ ત્રિમાસિક ગાળામાં નોંધપાત્ર રીતે વધ્યો છે.


The complex system requires careful analysis.

જટિલ સિસ્ટમ માટે સાવચેતીપૂર્વક વિશ્લેષણની જરૂર છે.


Despite the challenges, they succeeded in their mission.

પડકારો હોવા છતાં, તેઓ તેમના મિશનમાં સફળ થયા.


The implications of the new law are far-reaching.

નવા કાયદાના પરિણામો દૂરગામી છે.


The research paper explores the nuances of quantum entanglement.

સંશોધન પત્ર ક્વોન્ટમ એન્ટૅંગલમેન્ટની બારીકાઈઓનું અન્વેષણ કરે છે.


The philosophical debate centered on the nature of consciousness.

તત્વજ્ઞાનની ચર્ચા ચેતનાના સ્વભાવ પર કેન્દ્રિત હતી.


The intricate design of the software required extensive testing.

સોફ્ટવેરની જટિલ ડિઝાઇન માટે વ્યાપક પરીક્ષણની જરૂર હતી.


The economic downturn had a significant impact on global trade.

આર્થિક મંદીની વૈશ્વિક વેપાર પર નોંધપાત્ર અસર થઈ હતી.


Understanding the intricacies of the algorithm is crucial for its effective implementation.

અલ્ગોરિધમની જટિલતાઓને સમજવી એ તેના અસરકારક અમલીકરણ માટે નિર્ણાયક છે.


The qubit's state can be represented as a superposition of 0 and 1.

ક્યુબિટની સ્થિતિને 0 અને 1ના સુપરપોઝિશન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.


Quantum computers utilize qubits instead of classical bits.

ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટર્સ ક્લાસિકલ બિટ્સને બદલે ક્યુબિટ્સનો ઉપયોગ કરે છે.


Alice and Bob are entangled in a quantum system.

એલિસ અને બોબ એક ક્વોન્ટમ સિસ્ટમમાં ગૂંચવાયેલા છે.


The probability of agreement between Alice and Bob is cos^2(π/8).

એલિસ અને બોબ વચ્ચે સંમતિની સંભાવના cos^2(π/8) છે.


Quantum mechanics allows for superposition and entanglement.

ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ સુપરપોઝિશન અને એન્ટૅંગલમેન્ટ માટે પરવાનગી આપે છે.


The No Cloning Theorem prevents the perfect copying of a quantum state.

નો ક્લોનિંગ થિયરમ ક્વોન્ટમ સ્થિતિની સંપૂર્ણ નકલને અટકાવે છે.


Quantum circuits are analogous to Boolean circuits.

ક્વોન્ટમ સર્કિટ્સ બુલિયન સર્કિટ્સને સમાન છે.


A quantum circuit is a directed acyclic graph.

એક ક્વોન્ટમ સર્કિટ એ નિર્દેશિત એસાયક્લિક ગ્રાફ છે.


The output degree of every vertex in a quantum circuit is at most one.

ક્વોન્ટમ સર્કિટમાં દરેક શિરોબિંદુની આઉટપુટ ડિગ્રી વધુમાં વધુ એક છે.


We cannot reuse quantum states without measuring them.

આપણે તેમને માપ્યા વિના ક્વોન્ટમ સ્થિતિનો ફરીથી ઉપયોગ કરી શકતા નથી.


Quantum computation offers potential speedups over classical computation.

ક્વોન્ટમ ગણતરી ક્લાસિકલ ગણતરી કરતાં સંભવિત ઝડપ આપે છે.


Shor's algorithm provides an exponential speedup for factoring.

શોરનો અલ્ગોરિધમ ફેક્ટરીંગ માટે ઘાતાંકીય ગતિ આપે છે.


The Fourier transform is used in Shor's algorithm.

શોરના અલ્ગોરિધમમાં ફુરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ થાય છે.


Finding the period of a function is crucial in Shor's algorithm.

શોરના અલ્ગોરિધમમાં ફંક્શનનો સમયગાળો શોધવો મહત્વપૂર્ણ છે.


Quantum computers are still under development.

ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટર્સ હજી વિકાસ હેઠળ છે.


NISQ devices are noisy intermediate-scale quantum computers.

NISQ ઉપકરણો ઘોંઘાટીયા મધ્યવર્તી-સ્કેલ ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટર્સ છે.


Superconducting quantum computers are one approach.

સુપરકન્ડક્ટિંગ ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટર્સ એક અભિગમ છે.


Error correction is essential for quantum computation.

ક્વોન્ટમ ગણતરી માટે ભૂલ સુધારણા આવશ્યક છે.


The coherence time is a key factor in building quantum computers.

કોહરન્સ સમય ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટર્સ બનાવવા માટે એક મુખ્ય પરિબળ છે.


Quantum computing could revolutionize various fields.

ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગ વિવિધ ક્ષેત્રોમાં ક્રાંતિ લાવી શકે છે.


The algorithm recovers the factorization of M from the periods of functions.

આલ્ગોરિધમ ફંક્શન્સના સમયગાળામાંથી M ના અવયવીકરણને પુનઃપ્રાપ્ત કરે છે.


Shor's algorithm is used to find the prime factorization of a number.

શૉરના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કોઈ સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવા માટે થાય છે.


The Quantum Fourier Transform is a key component of Shor's algorithm.

ક્વોન્ટમ ફુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ શૉરના અલ્ગોરિધમનું એક મુખ્ય ઘટક છે.


We can use classical number theory to obtain a non-trivial prime factor.

આપણે બિન-તુચ્છ અવિભાજ્ય અવયવ મેળવવા માટે શાસ્ત્રીય સંખ્યા સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.


The Quantum Fourier Transform does not compute the Fourier Transform of a function.

ક્વોન્ટમ ફુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ફંક્શનનું ફુરિયર ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી કરતું નથી.


The algorithm uses the Quantum Fourier Transform to recover the period.

આલ્ગોરિધમ સમયગાળો પુનઃપ્રાપ્ત કરવા માટે ક્વોન્ટમ ફુરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરે છે.


Understanding the Quantum Fourier Transform requires understanding the Fourier Transform itself.

ક્વોન્ટમ ફુરિયર ટ્રાન્સફોર્મને સમજવા માટે ફુરિયર ટ્રાન્સફોર્મને સમજવાની જરૂર છે.


The Fourier transform exists for every Abelian group.

ફુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ દરેક એબેલિયન જૂથ માટે અસ્તિત્વમાં છે.


The Fourier expansion is also known as the Fourier transform.

ફુરિયર વિસ્તરણને ફુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.


The central property of Fourier characters is that they are homomorphisms.

ફુરિયર અક્ષરોની મુખ્ય મિલકત એ છે કે તેઓ હોમોમોર્ફિઝમ છે.


If a function is periodic, the Fourier characters have non-zero coefficients.

જો કોઈ ફંક્શન સામયિક હોય, તો ફુરિયર અક્ષરોમાં બિન-શૂન્ય ગુણાંક હોય છે.


Simon's Algorithm is a simpler setting of the Quantum Fourier Transform.

સાઇમનનો અલ્ગોરિધમ ક્વોન્ટમ ફુરિયર ટ્રાન્સફોર્મનું સરળ સેટિંગ છે.


The Hadamard operation corresponds to the Fourier transform.

હેડમાર્ડ ઓપરેશન ફુરિયર ટ્રાન્સફોર્મને અનુરૂપ છે.


The proof idea involves the Hadamard operation.

પુરાવાના વિચારમાં હેડમાર્ડ ઓપરેશન સામેલ છે.


We can apply the Hadamard operation to each qubit.

આપણે દરેક ક્વિટ પર હેડમાર્ડ ઓપરેશન લાગુ કરી શકીએ છીએ.


Simon's algorithm inspired Shor's algorithm.

સાઇમનના અલ્ગોરિધમે શોરના અલ્ગોરિધમને પ્રેરણા આપી.


Shor's algorithm can be extended to other groups.

શૉરના અલ્ગોરિધમને અન્ય જૂથો સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે.


The key step in Shor's algorithm is to implement the Fourier transform.

શૉરના અલ્ગોરિધમમાં મુખ્ય પગલું એ ફુરિયર ટ્રાન્સફોર્મને અમલમાં મૂકવાનું છે.


ફુરિયર અક્ષરો કાર્યો છે.


The Fast Fourier Transform is used in Shor's algorithm.

ફાસ્ટ ફુરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ શોરના અલ્ગોરિધમમાં થાય છે.


Essential Discrete Mathematics for Computer Science was published in 2019.

કમ્પ્યુટર સાયન્સ માટે આવશ્યક ડિસ્ક્રીટ ગણિત 2019 માં પ્રકાશિત થયું હતું.


પુસ્તકમાં ISBN નંબરનો સમાવેશ થાય છે.


Combinatorial lower bound arguments for deterministic and nondeterministic Turing machines were discussed.

નિશ્ચિત અને અનિશ્ચિત ટ્યુરિંગ મશીનો માટે સંયોજન નીચલા બાઉન્ડ દલીલોની ચર્ચા કરવામાં આવી હતી.


The nature of computation is a complex topic.

ગણતરીની પ્રકૃતિ એક જટિલ વિષય છે.


A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity was presented.

ચેતા પ્રવૃત્તિમાં રહેલા વિચારોની તાર્કિક ગણતરી રજૂ કરવામાં આવી હતી.


Randomized algorithms are an important area of study.

રેન્ડમાઇઝ્ડ એલ્ગોરિધમ્સ અભ્યાસનો એક મહત્વપૂર્ણ વિસ્તાર છે.


Probability and computing: randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis.

સંભાવના અને કમ્પ્યુટિંગ: એલ્ગોરિધમ્સ અને ડેટા વિશ્લેષણમાં રેન્ડમાઇઝેશન અને સંભાવનાત્મક તકનીકો.


EDVAC અહેવાલ 1993 માં ફરીથી છાપવામાં આવ્યો હતો.


Building a modern computer from first principles is a challenging task.

પ્રથમ સિદ્ધાંતોથી આધુનિક કમ્પ્યુટર બનાવવું એ એક પડકારજનક કાર્ય છે.


The PageRank citation ranking brought order to the web.

પેજરેન્ક અવતરણ રેન્કિંગે વેબમાં વ્યવસ્થા લાવી.


Types and programming languages are essential for software development.

સોફ્ટવેર ડેવલપમેન્ટ માટે પ્રકારો અને પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ આવશ્યક છે.


Classes of recursively enumerable sets and their decision problems were studied.

પુનરાવર્તિત રીતે ગણી શકાય તેવા સમૂહો અને તેમની નિર્ણય સમસ્યાઓના વર્ગોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.


Small universal Turing machines are a fascinating area of research.

નાના સાર્વત્રિક ટ્યુરિંગ મશીનો સંશોધનનો એક રસપ્રદ વિસ્તાર છે.


Discrete mathematics and its applications are widely used.

ડિસ્ક્રીટ ગણિત અને તેની એપ્લિકેશનોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.


Finite automata and their decision problems were analyzed.

પરિમિત ઓટોમેટા અને તેમની નિર્ણય સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું હતું.


Models of computation are important for understanding computer science.

કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનને સમજવા માટે ગણતરીના મોડેલો મહત્વપૂર્ણ છે.


The history of combinatorial optimization is a rich field.

સંયોજન ઑપ્ટિમાઇઝેશનનો ઇતિહાસ એક સમૃદ્ધ ક્ષેત્ર છે.


A symbolic analysis of relay and switching circuits was performed.

રિલે અને સ્વિચિંગ સર્કિટનું પ્રતીકાત્મક વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું હતું.


Factoring numbers in O(logn) arithmetic steps is a significant achievement.

O(logn) અંકગણિત પગલાંમાં સંખ્યાઓને ફેક્ટર કરવી એ એક નોંધપાત્ર સિદ્ધિ છે.


Logical dreams and their implications were explored.

તાર્કિક સપના અને તેના અર્થઘટનનું અન્વેષણ કરવામાં આવ્યું હતું.


If you are confused by quantum mechanics, you are not alone.

જો તમને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સથી મૂંઝવણ થાય છે, તો તમે એકલા નથી.


Quantum mechanics won: it turns out that it is in fact possible to use measurements to create correlations between the states of objects far removed from one another that cannot be explained by any prior theory.

ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ જીત્યું: એવું બહાર આવ્યું છે કે માપનો ઉપયોગ કરીને એકબીજાથી દૂર રહેલી વસ્તુઓની સ્થિતિઓ વચ્ચેના સહસંબંધો બનાવવાનું ખરેખર શક્ય છે જે અગાઉના કોઈપણ સિદ્ધાંત દ્વારા સમજાવી શકાતા નથી.


Alice and Bob will be in separate closed rooms.

એલિસ અને બોબ અલગ બંધ રૂમમાં હશે.


You choose a random bit x ∈ {0,1} and your associate chooses a random y ∈ {0,1}.

તમે એક રેન્ડમ બીટ x ∈ {0,1} પસંદ કરો છો અને તમારા સાથીદાર એક રેન્ડમ y ∈ {0,1} પસંદ કરે છે.


In other words, Alice and Bob need to output two bits that disagree if x = y = 1 and agree otherwise.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એલિસ અને બોબને બે બીટ્સ આઉટપુટ કરવાની જરૂર છે જે અસંમત થાય છે જો x = y = 1 અને અન્યથા સંમત થાય છે.


It’s not hard for Alice and Bob to succeed with probability 3/4: just always output the same bit.

એલિસ અને બોબ માટે 3/4 સંભાવના સાથે સફળ થવું મુશ્કેલ નથી: ફક્ત હંમેશાં સમાન બીટ આઉટપુટ કરો.


For every two functions f, g ∶ {0,1} → {0,1}, Pr x,y∈{0,1} [f(x)⊕g(y) = x∧y] ≤ 3/4.

દરેક બે કાર્યો f, g ∶ {0,1} → {0,1} માટે, Pr x,y∈{0,1} [f(x)⊕g(y) = x∧y] ≤ 3/4.


An amazing experimentally verified fact is that quantum mechanics allows for “telepathy”.

એક આશ્ચર્યજનક પ્રાયોગિક રીતે ચકાસાયેલ હકીકત એ છે કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ “ટેલિપથી” માટે પરવાનગી આપે છે.


The notion that two parts of the system could be connected in this weird way where measuring one will affect the other is known as quantum entanglement.

એવી કલ્પના કે સિસ્ટમના બે ભાગો આ વિચિત્ર રીતે કનેક્ટ થઈ શકે છે જ્યાં એકને માપવાથી બીજાને અસર થશે તેને ક્વોન્ટમ એન્ટૅંગલમેન્ટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.


In the 1981, physicist Richard Feynman proposed to “turn this lemon to lemonade” by making the following almost tautological observation:

1981 માં, ભૌતિકશાસ્ત્રી રિચાર્ડ ફેઈનમેને નીચેના લગભગ ટૉટોલોજીકલ અવલોકન કરીને “આ લીંબુને લીંબુનું શરબત બનાવવાનું” સૂચન કર્યું:


Quantum chemistry is important (and in particular understanding it can be a bottleneck for designing new materials, drugs, and more), but it is still a rather niche area within the broader context of computing (and even scientific computing) applications.

ક્વોન્ટમ રસાયણશાસ્ત્ર મહત્વપૂર્ણ છે (અને ખાસ કરીને તેને સમજવું એ નવી સામગ્રી, દવાઓ અને વધુની ડિઝાઇન માટે અવરોધરૂપ બની શકે છે), પરંતુ તે કમ્પ્યુટિંગ (અને વૈજ્ઞાનિક કમ્પ્યુટિંગ) એપ્લિકેશન્સના વિશાળ સંદર્ભમાં હજી પણ એકદમ વિશિષ્ટ ક્ષેત્ર છે.


In particular, as far as we know, quantum computers will not help us solve NP complete problems in polynomial or even sub-exponential time, though Grover’s algorithm (Remark 23.4) does yield a quadratic advantage in many cases.

ખાસ કરીને, જ્યાં સુધી આપણે જાણીએ છીએ, ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટર્સ અમને બહુપદી અથવા તો સબ-એક્સપોનેન્શિયલ સમયમાં NP સંપૂર્ણ સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મદદ કરશે નહીં, જોકે ગ્રોવરનો અલ્ગોરિધમ (ટિપ્પણી 23.4) ઘણા કિસ્સાઓમાં ચતુર્ભુજ લાભ આપે છે.


Before we talk about quantum computing, let us recall how we physically realize “vanilla” or classical computing.

આપણે ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગ વિશે વાત કરીએ તે પહેલાં, ચાલો યાદ કરીએ કે આપણે શારીરિક રીતે “વેનીલા” અથવા ક્લાસિકલ કમ્પ્યુટિંગને કેવી રીતે સમજીએ છીએ.


A classical system of n bits is composed of n such “basic systems”, each of which can be in either a “zero” or “one” state.

n બિટ્સની ક્લાસિકલ સિસ્ટમ n આવા “મૂળભૂત સિસ્ટમ્સ”થી બનેલી છે, જેમાંથી દરેક “શૂન્ય” અથવા “એક” સ્થિતિમાં હોઈ શકે છે.


In the probabilistic setting, we would model the state of the system by a distribution.

સંભાવનાત્મક સેટિંગમાં, અમે સિસ્ટમની સ્થિતિને વિતરણ દ્વારા મોડેલ કરીશું.


In the quantum setting, the state of an individual bit (or “qubit”, to use quantum parlance) is modeled by a pair of numbers (훼, 훽) such that |훼|2 + |훽|2 = 1.

ક્વોન્ટમ સેટિંગમાં, વ્યક્તિગત બિટ (અથવા “ક્યુબિટ”, ક્વોન્ટમ પરિભાષાનો ઉપયોગ કરવા માટે) ની સ્થિતિને સંખ્યાઓની જોડી (훼, 훽) દ્વારા મોડેલ કરવામાં આવે છે જેમ કે |훼|2 + |훽|2 = 1.


As we did before, we can model the NOT operation by the map N ∶ ℝ2 → ℝ2 where N(훼,훽) = (훽,훼).

આપણે અગાઉ કર્યું તેમ, આપણે NOT ઓપરેશનને નકશા N ∶ ℝ2 → ℝ2 દ્વારા મોડેલ કરી શકીએ છીએ જ્યાં N(훼,훽) = (훽,훼).


In the quantum case, as in the probabilistic case, NOT corresponds to the matrix N = ( 0 1 1 0 ).

ક્વોન્ટમ કિસ્સામાં, સંભાવનાત્મક કિસ્સામાં, NOT મેટ્રિક્સ N = ( 0 1 1 0 ) ને અનુરૂપ છે.


In classical computation, we typically think that there are only two operations that we can do on a single bit: keep it the same or negate it.

ક્લાસિકલ કમ્પ્યુટેશનમાં, આપણે સામાન્ય રીતે વિચારીએ છીએ કે એક જ બિટ પર આપણે ફક્ત બે જ ઓપરેશન કરી શકીએ છીએ: તેને સમાન રાખો અથવા તેને નકારો.


When we measure an n-qubit system in a state ψ = ∑ x∈{0,1}n ψx |x⟩, then we observe the value x ∈ {0,1}n with probability |ψx|2.

જ્યારે આપણે સ્થિતિ ψ = ∑ x∈{0,1}n ψx |x⟩ માં n-ક્યુબિટ સિસ્ટમને માપીએ છીએ, ત્યારે આપણે સંભાવના |ψx|2 સાથે મૂલ્ય x ∈ {0,1}n નું અવલોકન કરીએ છીએ.