Finding the shortest path in a graph is a fundamental problem.

ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.


The book discusses efficient algorithms.

ಪುಸ್ತಕವು ಸಮರ್ಥ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.


Can uniform algorithms simulate non-uniform ones?

ಏಕರೂಪದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸಬಹುದೇ?


We will explore the concept of polynomial-time reductions.

ನಾವು ಬಹುಪದ-ಸಮಯದ ಕಡಿತಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.


The Cook-Levin Theorem is a cornerstone of complexity theory.

ಕುಕ್-ಲೆವಿನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಕೀರ್ಣತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಾಧಾರವಾಗಿದೆ.


Pಯು NPಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?


Randomized computation offers new possibilities.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗಣನೆಯು ಹೊಸ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.


Cryptography is essential for secure communication.

ಸುರಕ್ಷಿತ ಸಂವಹನಕ್ಕಾಗಿ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ ಅತ್ಯಗತ್ಯ.


Quantum computing is a fascinating field.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಒಂದು ಅದ್ಭುತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ.


The double-slit experiment reveals quantum weirdness.

ಡಬಲ್-ಸ್ಲಿಟ್ ಪ್ರಯೋಗವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವಿಚಿತ್ರತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ.


ನಾನು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಲಿಯುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.


Can you explain the concept of NP-completeness?

ನೀವು NP-ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದೇ?


ಪುಸ್ತಕವು ಬಹಳ ಮಾಹಿತಿಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.


Let's discuss the time hierarchy theorem.

ಸಮಯ ಶ್ರೇಣೀಕರಣ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸೋಣ.


ಇದು ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.


ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ದಕ್ಷತೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


P=NP ಯ ಪರಿಣಾಮಗಳೇನು?


The lecture was about quantum entanglement.

ಉಪನ್ಯಾಸವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಎಂಟ್ಯಾಂಗಲ್ಮೆಂಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಇತ್ತು.


ನಾನು ಇದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.


ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್‌ನ ಭವಿಷ್ಯವು ಅತ್ಯಾಕರ್ಷಕವಾಗಿದೆ.


The algorithm efficiently sorts a list of numbers.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


Can you explain the concept of recursion?

ನೀವು ಮರುಕಳಿಸುವಿಕೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದೇ?


ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತಿದೆ.


The research paper discusses the latest advancements in AI.

ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಬಂಧವು AI ನಲ್ಲಿನ ಇತ್ತೀಚಿನ ಪ್ರಗತಿಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.


Please provide the code for the function.

ದಯವಿಟ್ಟು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸಿ.


The system crashed due to a memory leak.

ಮೆಮೊರಿ ಸೋರಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಕ್ರ್ಯಾಶ್ ಆಗಿದೆ.


The user interface is intuitive and easy to use.

ಬಳಕೆದಾರ ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಳಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.


The algorithm's time complexity is O(n log n).

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು O(n log n) ಆಗಿದೆ.


The software update includes several bug fixes.

ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಅಪ್‌ಡೇಟ್ ಹಲವಾರು ದೋಷ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


The program efficiently handles large datasets.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ದೊಡ್ಡ ಡೇಟಾಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.


The company is looking for skilled developers.

ಕಂಪನಿಯು ನುರಿತ ಡೆವಲಪರ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದೆ.


The security protocol protects against cyberattacks.

ಭದ್ರತಾ ಪ್ರೋಟೋಕಾಲ್ ಸೈಬರ್ ದಾಳಿಯಿಂದ ರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ.


The application is designed for mobile devices.

ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಮೊಬೈಲ್ ಸಾಧನಗಳಿಗಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.


The algorithm uses dynamic programming to solve the problem.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.


The new feature enhances user experience.

ಹೊಸ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವು ಬಳಕೆದಾರರ ಅನುಭವವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.


The system architecture is based on microservices.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆರ್ಕಿಟೆಕ್ಚರ್ ಮೈಕ್ರೋಸರ್ವಿಸೆಸ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.


The code is well-documented and easy to understand.

ಕೋಡ್ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ದಾಖಲಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.


The project requires a team of experienced engineers.

ಯೋಜನೆಗೆ ಅನುಭವಿ ಎಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳ ತಂಡದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


The algorithm's performance is optimized for speed.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯನ್ನು ವೇಗಕ್ಕಾಗಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.


The software is compatible with various operating systems.

ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ವಿವಿಧ ಆಪರೇಟಿಂಗ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.


ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ.


Please post any issues on the GitHub repository.

ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿದ್ದರೆ ಗಿಟ್‌ಹಬ್ ರೆಪೊಸಿಟರಿಯಲ್ಲಿ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಿ.


This version was compiled on Wednesday, December 6th, 2023.

ಈ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬುಧವಾರ, ಡಿಸೆಂಬರ್ 6, 2023 ರಂದು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.


This work is licensed under a Creative Commons license.

ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ಕ್ರಿಯೇಟಿವ್ ಕಾಮನ್ಸ್ ಪರವಾನಗಿ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರವಾನಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.


The book is dedicated to Ravit, Alma, and Goren.

ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ರವಿತ್, ಅಲ್ಮಾ ಮತ್ತು ಗೋರೆನ್‌ಗೆ ಅರ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ.


Chapter 1 covers mathematical background.

ಅಧ್ಯಾಯ 1 ಗಣಿತದ ಹಿನ್ನೆಲೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


The book includes exercises at the end of each chapter.

ಪ್ರತಿ ಅಧ್ಯಾಯದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪುಸ್ತಕವು ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


The concept of algorithms is explained in detail.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.


Understanding the importance of negative results is crucial.

ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


The book uses Big-O notation for analyzing algorithms.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಪುಸ್ತಕವು ಬಿಗ್-ಓ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.


Proofs are an essential part of theoretical computer science.

ಪ್ರೂಫ್‌ಗಳು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾಗಿದೆ.


The chapter on computation and representation is very important.

ಗಣನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಮೇಲಿನ ಅಧ್ಯಾಯವು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


Representing real numbers is a complex topic.

ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.


Cantor's Theorem is discussed in this book.

ಈ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.


The book explains how to represent graphs.

ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಪುಸ್ತಕವು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.


Defining computational tasks as mathematical functions is key.

ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


The concept of Boolean circuits is introduced.

ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ.


The book explores the NAND function and its applications.

ಪುಸ್ತಕವು NAND ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


The equivalence of different computational models is discussed.

ವಿವಿಧ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮಾದರಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.


The book delves into the concept of Turing machines.

ಪುಸ್ತಕವು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


This book is an introduction to theoretical computer science.

ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪರಿಚಯವಾಗಿದೆ.


Computation arises in various natural and human-made systems.

ಗಣನೆಯು ವಿವಿಧ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಮಾನವ ನಿರ್ಮಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ.


The notion of universality of many different computational models is important.

ವಿವಿಧ ಗಣಿತ ಮಾದರಿಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


We can precisely define a mathematical model of computation.

ನಾವು ಗಣನೆಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.


Some problems are inherently intractable.

ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸಲು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿವೆ.


ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.


We can use computational hardness for cryptographic purposes.

ನಾವು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಗಣಿತದ ಗಡಸುತನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.


This book aims to introduce students to a new way of thinking.

ಈ ಪುಸ್ತಕವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಹೊಸ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಯೋಚಿಸಲು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.


The formal notation and model help elucidate the main ideas.

ಔಪಚಾರಿಕ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯು ಮುಖ್ಯ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


This book does not assume fluency with any particular programming language.

ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾವೀಣ್ಯತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ.


Proofs in this book are often constructive and algorithmic.

ಈ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿನ ಪುರಾವೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರಚನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿಯದ್ದಾಗಿವೆ.


The accompanying website allows executing programs.

ಸಂಗಾತಿಯ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.


ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಸವಾಲಾಗಿರಬಹುದು.


The best way to engage with this material is to read actively.

ಈ ವಿಷಯದೊಂದಿಗೆ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಓದುವುದು.


Understand the definitions more than the theorems.

ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗಿಂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ.


Learning this material is important because it contains concepts that are both beautiful and fundamental.

ಈ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು ಮುಖ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸುಂದರ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


Computation and information are the basic building blocks we use to understand the world.

ಗಣನೆ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿ ನಾವು ಪ್ರಪಂಚವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಳಸುವ ಮೂಲಭೂತ ಕಟ್ಟಡ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳಾಗಿವೆ.


Boolean circuits are more fundamental to the theory of computing than automata.

ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಯಂತ್ರಗಳಿಗಿಂತ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿವೆ.


Finite automata are incredibly important for practice.

ಸೀಮಿತ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಯಂತ್ರಗಳು ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ನಂಬಲಾಗದಷ್ಟು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ.


The practical motivation can be better appreciated after students see the undecidability of semantic properties.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅರ್ಥವಿಜ್ಞಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಿರ್ಧಾರಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ನೋಡಿದ ನಂತರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರೇರಣೆಯನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಪ್ರಶಂಸಿಸಬಹುದು.


The algorithm efficiently sorts the data.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


Please provide the necessary documentation.

ದಯವಿಟ್ಟು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ದಾಖಲೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿ.


The company was founded based on the discovery of new algorithms.

ಹೊಸ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕಂಪನಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು.


Can you give an example for a company that was founded based on the non-existence of an algorithm?

ಯಾವುದೇ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಕಂಪನಿಗೆ ನೀವು ಉದಾಹರಣೆ ನೀಡಬಹುದೇ?


The book gives a wonderful and comprehensive overview of the theory of computation.

ಪುಸ್ತಕವು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಅದ್ಭುತ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.


Reading mathematical texts becomes easier with practice.

ಗಣಿತದ ಪಠ್ಯಗಳನ್ನು ಓದುವುದು ಅಭ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.


Mathematicians use jargon to make terms precise.

ಪದಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಮಾಡಲು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ.


The main mathematical concepts we will use are the following.

ನಾವು ಬಳಸುವ ಮುಖ್ಯ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ.


A set is an unordered collection of objects.

ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದರೆ ವಸ್ತುಗಳ ಅವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ.


The cardinality of a finite set is the number of elements it contains.

ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್‌ನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಎಂದರೆ ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.


A set S is a subset of a set T if every element of S is also an element of T.

ಪ್ರತಿ S ನ ಅಂಶವು T ನ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೆಟ್ S, ಸೆಟ್ T ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.


The set that contains no elements is known as the empty set.

ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.


We can define sets by either listing all their elements or by writing down a rule that they satisfy.

ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.


The union of two sets S, T is the set that contains all elements that are either in S or in T.

ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟ S, T ಎಂದರೆ S ಅಥವಾ T ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.


A tuple is an ordered collection of items.

ಟ್ಯೂಪಲ್ ಎಂದರೆ ಐಟಂಗಳ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಿದ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ.


If S and T are sets, then their Cartesian product is the set of all ordered pairs (s, t) where s ∈ S and t ∈ T.

S ಮತ್ತು T ಸೆಟ್‌ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಿದ ಜೋಡಿಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ (s, t) ಅಲ್ಲಿ s ∈ S ಮತ್ತು t ∈ T.


The set ℕ = {0,1,2,...} contains all natural numbers.

ಸೆಟ್ ℕ = {0,1,2,...} ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


For any natural number n ∈ ℕ, we define the set [n] as {0,...,n − 1}.

ಯಾವುದೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ∈ ℕ ಗಾಗಿ, ನಾವು ಸೆಟ್ [n] ಅನ್ನು {0,...,n − 1} ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.


We will also occasionally use the set ℤ = {...,−2,−1,0,+1,+2,...} of integers.

ನಾವು ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್ ℤ = {...,−2,−1,0,+1,+2,...} ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.


For every set Σ, we define Σ ∗ = ∪ n∈ℕ Σ n.

ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ Σ ಗಾಗಿ, ನಾವು Σ ∗ = ∪ n∈ℕ Σ n ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.


ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


Proofs by induction are a fundamental concept in computer science.

ಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ ಪುರಾವೆಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.


Can you explain the concept of topological sorting?

ನೀವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವಿಂಗಡಣೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದೇ?


The theorem is proven using a contradiction.

ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.


Let's consider a directed acyclic graph.

ನಿರ್ದೇಶಿತ ಅಚಕ್ರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.


ಈ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಪ್ರಕರಣವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ.


The function f maps vertices to natural numbers.

ಕಾರ್ಯ f ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


We will use induction on the number of vertices.

ನಾವು ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರೇರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.


The proof is structured in a clear and logical flow.

ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ಹರಿವಿನಲ್ಲಿ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ.


Understanding the problem is often the most important step.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ಹಂತವಾಗಿದೆ.


The algorithm's running time is analyzed using Big-O notation.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಚಾಲನೆಯ ಸಮಯವನ್ನು ಬಿಗ್-ಓ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


The reader should be able to follow the reasoning.

ಓದುಗರು ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬೇಕು.


A mathematical proof convinces the reader.

ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯು ಓದುಗರನ್ನು ಮನವೊಲಿಸುತ್ತದೆ.


The concept of layering is crucial for topological sorting.

ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವಿಂಗಡಣೆಗಾಗಿ ಲೇಯರಿಂಗ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ.


The proof uses the method of contradiction.

ಪುರಾವೆಯು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.


The graph is acyclic, meaning it has no cycles.

ಗ್ರಾಫ್ ಅಚಕ್ರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಯಾವುದೇ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.


The inductive hypothesis is a key part of the proof.

ಪ್ರೇರಕ ಊಹೆಯು ಪುರಾವೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿದೆ.


The goal is to find a layering of the graph.

ಗುರಿಯು ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಲೇಯರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.


The proof is by induction on the number of vertices.

ಪುರಾವೆಯು ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ ಕೂಡಿದೆ.


ಕನಿಷ್ಠ ಲೇಯರಿಂಗ್ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ.


The function F maps elements from set S to set T.

ಕಾರ್ಯ F ಸೆಟ್ ಎಸ್‌ನಿಂದ ಟಿ ಗೆ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


If F(x) ≠ F(y) for all x ≠ y, then F is one-to-one.

ಎಲ್ಲಾ x ≠ y ಗೆ F(x) ≠ F(y) ಆಗಿದ್ದರೆ, F ಒಂದು-ಒಂದಕ್ಕೆ.


A bijection from a set S to itself is also known as a permutation of S.

ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಸ್‌ನಿಂದ ಅದೇ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಎಸ್‌ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.


Giving a bijection between two sets is often a good way to show they have the same size.

ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳ ನಡುವೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ನೀಡುವುದು ಅವು ಒಂದೇ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.


Graphs are ubiquitous in Computer Science.

ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸರ್ವತ್ರವಾಗಿವೆ.


An undirected graph G = (V, E) consists of a set V of vertices and a set E of edges.

ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ G = (V, E) ಶೃಂಗಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ V ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ E ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


We say that two vertices u, v ∈ V are neighbors if the edge {u, v} is in E.

ಅಂಚು {u, v} E ನಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು u, v ∈ V ನೆರೆಹೊರೆಯವರು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.


The degree of u is the number of neighbors u has.

u ನ ಡಿಗ್ರಿ ಎಂದರೆ u ಹೊಂದಿರುವ ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ಸಂಖ್ಯೆ.


A simple path is a path where all the ui’s are distinct.

ಸರಳ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ui ಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.


We can represent finite functions as a directed graph.

ನಾವು ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.


The connectivity relation is transitive.

ಸಂಪರ್ಕ ಸಂಬಂಧವು ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದೆ.


Graphs come in two basic flavors: undirected and directed.

ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ: ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಿತ.


For every two integers, a ≤ b, Σ f(i) denotes Σ f(i) where S = {x ∈ ℤ : a ≤ x ≤ b}.

ಎಲ್ಲಾ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ, a ≤ b, Σ f(i) ಎಂದರೆ Σ f(i) ಅಲ್ಲಿ S = {x ∈ ℤ : a ≤ x ≤ b}.


In mathematics, we often have symbolic “variables” or “parameters”.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಂಕೇತಿಕ “ಚರಾಕ್ಷರಗಳು” ಅಥವಾ “ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳನ್ನು” ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.


It is important to understand whether a given variable is bound or free in this formula.

ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬಂಧಿತವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯ.


Multiplicative constants don’t matter in O-notation.

O-ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ.


When adding two functions, we only care about the larger one.

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.


Polynomial is always smaller than exponential.

ಬಹುಪದವು ಯಾವಾಗಲೂ ಘಾತೀಯಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ.


The sum of the squares of all numbers from 1 to 100 can be written as Σ i∈{1,...,100} i^2.

1 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು Σ i∈{1,...,100} i^2 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.


For example, if n = 8 then (1.2) is true, but for n = 11 it is false.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, n = 8 ಆಗಿದ್ದರೆ (1.2) ನಿಜ, ಆದರೆ n = 11 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸುಳ್ಳು.


When we write down text or make a drawing we are representing ideas or experiences as sequences of symbols.

ನಾವು ಪಠ್ಯವನ್ನು ಬರೆದಾಗ ಅಥವಾ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡಿದಾಗ, ನಾವು ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಅನುಭವಗಳನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ.


Even our brain does not store the actual sensory inputs we experience, but rather only a representation of them.

ನಮ್ಮ ಮೆದುಳು ಸಹ ನಾವು ಅನುಭವಿಸುವ ನಿಜವಾದ ಸಂವೇದನಾ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ.


To use objects such as numbers, images, graphs, or others as inputs for computation, we need to define precisely how to represent these objects as binary strings.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಚಿತ್ರಗಳು, ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಅಥವಾ ಇತರ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್‌ಗಾಗಿ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲು, ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬೈನರಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳಾಗಿ ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.


A representation scheme is a way to map an object x to a binary string E(x) ∈ {0,1} *.

ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಯೋಜನೆಯು ವಸ್ತುವನ್ನು x ಅನ್ನು ಬೈನರಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ E(x) ∈ {0,1} * ಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.


For example, a representation scheme for natural numbers is a function E : ℕ → {0,1} *.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಾಗಿ ಒಂದು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಯೋಜನೆಯು ಕಾರ್ಯ E : ℕ → {0,1} * ಆಗಿದೆ.


Of course, we cannot merely represent all numbers as the string “0011”.

ಖಂಡಿತ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು “0011” ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.


A minimal requirement is that if two numbers x and x' are different then they would be represented by different strings.

ಕನಿಷ್ಠ ಅವಶ್ಯಕತೆಯೆಂದರೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x ಮತ್ತು x' ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕು.


Another way to say this is that we require the encoding function E to be one to one.

ಇದನ್ನು ಹೇಳಲು ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಎನ್‌ಕೋಡಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯ E ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಇರಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ.


Representing each one the digits 0,1,2,...,9 as a 12 × 8 bitmap image.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು 0,1,2,...,9 ಅನ್ನು 12 × 8 ಬಿಟ್‌ಮ್ಯಾಪ್ ಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು.


Using this scheme we can represent a natural number x of n decimal digits as a string in {0,1}96n.

ಈ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು n ದಶಮಾಂಶ ಅಂಕೆಗಳ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ x ಅನ್ನು {0,1}96n ನಲ್ಲಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.


We now show how we can represent natural numbers as binary strings.

ನಾವು ಈಗ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬೈನರಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳಾಗಿ ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.


We can use any one of those as well as many others to represent a number as a string.

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ನಾವು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಹಾಗೆಯೇ ಇತರ ಹಲವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.


However, for the sake of concreteness, we use the binary basis as our default representation of natural numbers as strings.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳಂತೆ ನಮ್ಮ ಡೀಫಾಲ್ಟ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿ ಬೈನರಿ ಆಧಾರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.


For example, we represent the number six as the string 110 since 1⋅2^2 + 1⋅2^1 + 0⋅2^0 = 6.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ ಆರನ್ನು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ 110 ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ ಏಕೆಂದರೆ 1⋅2^2 + 1⋅2^1 + 0⋅2^0 = 6.


If n is even, then the least significant digit of n’s binary representation is 0, while if n is odd then this digit equals 1.

n ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, n ನ ಬೈನರಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಕಡಿಮೆ ಮಹತ್ವದ ಅಂಕೆ 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ n ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಅಂಕೆ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.


The function computation and representation.

ಕಾರ್ಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ.


It is also possible to define NtS non-recursively, see Exercise 2.2.

NtS ಅನ್ನು ಮರುಕಳಿಸದಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ವ್ಯಾಯಾಮ 2.2 ನೋಡಿ.


Throughout most of this book, the particular choices of representation of numbers as binary strings would not matter much.

ಈ ಪುಸ್ತಕದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬೈನರಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಮುಖ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.


We can treat the same string y as representing a natural number, an integer, a piece of text, an image, or a green gremlin.

ನಾವು ಒಂದೇ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ y ಅನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಪಠ್ಯದ ತುಣುಕು, ಚಿತ್ರ ಅಥವಾ ಹಸಿರು ಗ್ರೆಮ್ಲಿನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.


We have seen that natural numbers can be represented as binary strings.

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬೈನರಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.


If a vertex has in-neighbors, then there exists an in-neighbor u of v such that f(u) = f(v) - 1.

ಒಂದು ಶೃಂಗವು ಒಳ-ನೆರೆಹೊರೆಯವರನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, f(u) = f(v) - 1 ಆಗಿರುವ v ನ ಒಂದು ಒಳ-ನೆರೆಹೊರೆಯ u ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.


For every layering f, g : V → ℕ of G, if both f and g are minimal then f = g.

G ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದರ f, g : V → ℕ ಗೆ, f ಮತ್ತು g ಎರಡೂ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ f = g.


The definition of minimality in Theorem 1.26 implies that for every vertex v ∈ V, we cannot move it to a lower layer without making the layering invalid.

ಪ್ರಮೇಯ 1.26 ರಲ್ಲಿನ ಕನಿಷ್ಠತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗ v ∈ V ಗೆ, ಪದರವನ್ನು ಅಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸದೆ ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಪದರಕ್ಕೆ ಸರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.


If v is a source (i.e., has in-degree zero) then a minimal layering f must put it in layer 0.

v ಒಂದು ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಒಳ-ಡಿಗ್ರಿ ಸೊನ್ನೆ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ) ಕನಿಷ್ಠ ಪದರ f ಅದನ್ನು ಪದರ 0 ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬೇಕು.


What Theorem 1.26 says is that a minimal layering f is unique in the sense that every other minimal layering is equal to f.

ಪ್ರಮೇಯ 1.26 ಹೇಳುವುದೇನೆಂದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಪದರ f ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇತರ ಕನಿಷ್ಠ ಪದರವು f ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.


Proof Idea: The idea is to prove the theorem by induction on the layers.

ಪುರಾವೆ ಕಲ್ಪನೆ: ಪದರಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.


If f and g are minimal then they must agree on the source vertices, since both f and g should assign these vertices to layer 0.

f ಮತ್ತು g ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಮೂಲ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಒಪ್ಪಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ f ಮತ್ತು g ಎರಡೂ ಈ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಪದರ 0 ಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಬೇಕು.


We can then show that if f and g agree up to layer i-1, then the minimality property implies that they need to agree in layer i as well.

ನಂತರ ನಾವು f ಮತ್ತು g ಪದರ i-1 ವರೆಗೆ ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ, ಕನಿಷ್ಠತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಅವರು ಪದರ i ನಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.


In the actual proof we use a small trick to save on writing.

ನಿಜವಾದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಬರೆಯುವುದನ್ನು ಉಳಿಸಲು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.


Rather than proving the statement that f = g, we prove the weaker statement that f(v) ≤ g(v) for every v ∈ V.

f = g ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಬದಲು, ನಾವು ಪ್ರತಿ v ∈ V ಗೆ f(v) ≤ g(v) ಎಂಬ ದುರ್ಬಲ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.


However, since f and g are just labels we give to two minimal layerings, by simply changing the names “f” and “g” the same proof also shows that g(v) ≤ f(v) for every v ∈ V and hence that f = g.

ಆದಾಗ್ಯೂ, f ಮತ್ತು g ಕೇವಲ ಎರಡು ಕನಿಷ್ಠ ಪದರಗಳಿಗೆ ನಾವು ನೀಡುವ ಲೇಬಲ್‌ಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, “f” ಮತ್ತು “g” ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದೇ ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರತಿ v ∈ V ಗೆ g(v) ≤ f(v) ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ f = g.


ಪ್ರಮೇಯ 1.26 ರ ಪುರಾವೆ.


Let G = (V, E) be a DAG and f, g : V → ℕ be two minimal valid layerings of G.

G = (V, E) ಒಂದು DAG ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು f, g : V → ℕ G ಯ ಎರಡು ಕನಿಷ್ಠ ಮಾನ್ಯ ಪದರಗಳಾಗಿರಲಿ.


We will prove that for every v ∈ V, f(v) ≤ g(v).

ಪ್ರತಿ v ∈ V ಗೆ, f(v) ≤ g(v) ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.


Since we didn’t assume anything about f, g except their minimality, the same proof will imply that for every v ∈ V, g(v) ≤ f(v) and hence that f(v) = g(v) for every v ∈ V, which is what we needed to show.

ನಾವು f, g ಬಗ್ಗೆ ಅವರ ಕನಿಷ್ಠತೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಏನನ್ನೂ ಊಹಿಸದ ಕಾರಣ, ಅದೇ ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರತಿ v ∈ V ಗೆ g(v) ≤ f(v) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ v ∈ V ಗೆ f(v) = g(v), ನಾವು ತೋರಿಸಬೇಕಾದದ್ದು ಇದನ್ನೇ.


We will prove that f(v) ≤ g(v) for every v ∈ V by induction on i = f(v).

i = f(v) ಮೇಲೆ ಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿ v ∈ V ಗೆ f(v) ≤ g(v) ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.


The case i = 0 is immediate: since in this case f(v) = 0, g(v) must be at least f(v).

i = 0 ಪ್ರಕರಣವು ತಕ್ಷಣವೇ: ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ f(v) = 0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, g(v) ಕನಿಷ್ಠ f(v) ಆಗಿರಬೇಕು.


For the case i > 0, by the minimality of f, if f(v) = i then there must exist some in-neighbor u of v such that f(u) = i-1.

i > 0 ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ, f ನ ಕನಿಷ್ಠತೆಯಿಂದ, f(v) = i ಆಗಿದ್ದರೆ, f(u) = i-1 ಆಗಿರುವ v ನ ಕೆಲವು ಒಳ-ನೆರೆಹೊರೆಯ u ಇರಬೇಕು.


By the induction hypothesis we get that g(u) ≥ i-1, and since g is a valid layering it must hold that g(v) > g(u) which means that g(v) ≥ i = f(v).

ಪ್ರೇರಣಾ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ನಾವು g(u) ≥ i-1 ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು g ಒಂದು ಮಾನ್ಯ ಪದರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ g(v) > g(u) ಎಂದು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಅಂದರೆ g(v) ≥ i = f(v).


The proof of Theorem 1.26 is fully rigorous, but is written in a somewhat terse manner.

ಪ್ರಮೇಯ 1.26 ರ ಪುರಾವೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಠಿಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.


The function d is constructed such that it differs from StF(x) for every x.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು x ಗಾಗಿ d ಕಾರ್ಯವು StF(x) ನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.


We can think of this as building a table where the columns correspond to numbers m.

ನಾವು ಇದನ್ನು ಒಂದು ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಂತೆ ಯೋಚಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ m.


If the entry in the x-th row and the m-th column corresponds to g(m) where g = StF(x) then d is obtained.

x-ನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು m-ನೇ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರವೇಶವು g(m) ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ g = StF(x) ಆಗಿದ್ದರೆ d ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.


One way to get intuition for it is to consider the following finite statement.

ಇದಕ್ಕೆ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಸೀಮಿತ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು.


For every f : {0,...,99} -> {0,1}100, we can define the string d ∈ {0,1}100 as follows.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು f : {0,...,99} -> {0,1}100 ಗಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ d ∈ {0,1}100 ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.


If f was onto, then there would exist some n ∈ [100] such that f(n) = d, but we claim that no such n exists.

f ಆನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, f(n) = d ಆಗಿರುವ ಕೆಲವು n ∈ [100] ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅಂತಹ n ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.


Indeed, if there was such n, then the n-th coordinate of d would equal f(n)n but by definition this coordinate equals 1 - f(n)n.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ n ಇದ್ದರೆ, d ನ n-ನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು f(n)n ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು 1 - f(n)n ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.


We will prove that there does not exist an onto function StF : {0,1}* -> {0,1}∞.

StF : {0,1}* -> {0,1}∞ ಎಂಬ ಆನ್ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.


We will show that StF is not onto by demonstrating a function d ∈ {0,1}∞ such that d ≠ StF(x) for every x ∈ {0,1}*.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು x ∈ {0,1}* ಗಾಗಿ d ≠ StF(x) ಆಗಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ d ∈ {0,1}∞ ಅನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಮೂಲಕ StF ಆನ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.


Consider the lexicographic ordering of binary strings (i.e., "",0,1,00,01,...).

ಬೈನರಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳ ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಆದೇಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಅಂದರೆ, "",0,1,00,01,...).


We define the function d ∈ {0,1}∞ as follows: d(n) = 1-StF(xn)(n) for every n ∈ ℕ.

ನಾವು ಕಾರ್ಯ d ∈ {0,1}∞ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ: d(n) = 1-StF(xn)(n) ಪ್ರತಿಯೊಂದು n ∈ ℕ ಗಾಗಿ.


That is, to compute d on input n ∈ ℕ, we first compute g = StF(xn), where xn ∈ {0,1}* is the n-th string in the lexicographical ordering.

ಅಂದರೆ, ಇನ್‌ಪುಟ್ n ∈ ℕ ನಲ್ಲಿ d ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು g = StF(xn) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ xn ∈ {0,1}* ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ಆದೇಶದಲ್ಲಿ n-ನೇ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ.


The value d(n) is defined to be the negation of g(n).

d(n) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು g(n) ನ ಋಣಾತ್ಮಕವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.


One way to think about it is to imagine the function StF as being specified by an infinitely long table.

ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, ಕಾರ್ಯ StF ಅನ್ನು ಅನಂತ ಉದ್ದದ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು.


The diagonal elements in this table are the values StF("")(0), StF(0)(1), StF(1)(2), StF(00)(3), StF(01)(4),... which correspond to the elements StF(xn)(n) in the n-th row and n-th column of this table for n = 0,1,2,....

ಈ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿನ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳು ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ StF("")(0), StF(0)(1), StF(1)(2), StF(00)(3), StF(01)(4),... ಇದು n = 0,1,2,... ಗಾಗಿ ಈ ಕೋಷ್ಟಕದ n-ನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು n-ನೇ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ StF(xn)(n) ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.


The function d we defined above maps every n ∈ ℕ to the negation of the n-th diagonal value.

ನಾವು ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತಿ n ∈ ℕ ಅನ್ನು n-ನೇ ಕರ್ಣೀಯ ಮೌಲ್ಯದ ಋಣಾತ್ಮಕತೆಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


To complete the proof that StF is not onto we need to show that d ≠ StF(x) for every x ∈ {0,1}*.

StF ಆನ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಪ್ರತಿ x ∈ {0,1}* ಗಾಗಿ d ≠ StF(x) ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.


Indeed, let x ∈ {0,1}* be some string and let g = StF(x).

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, x ∈ {0,1}* ಕೆಲವು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು g = StF(x) ಆಗಿರಲಿ.


If n is the position of x in the lexicographical order then by construction d(n) = 1 - g(n) ≠ g(n) which means that g ≠ d which is what we wanted to prove.

ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ x ನ ಸ್ಥಾನವು n ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ d(n) = 1 - g(n) ≠ g(n) ಅಂದರೆ g ≠ d ನಾವು ಏನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಯಸಿದ್ದೇವೆ.


Cantor used these ideas to construct an infinite hierarchy of shades of infinity.

ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಈ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಅನಂತತೆಯ ನೆರಳುಗಳ ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಿದರು.


ಬೆಕ್ಕು ಚಾಪೆಯ ಮೇಲೆ ಕುಳಿತಿತ್ತು.


ಇಂದು ಹವಾಮಾನವು ಬಹಳ ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿದೆ.


ದಯವಿಟ್ಟು ಬಾಗಿಲು ಮುಚ್ಚಿ.


ನಾನು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.


ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಯಿತೇ?


ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಘೋಷಿಸಿತು.


The government is discussing new policies.

ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಿದೆ.


The research team published their findings.

ಸಂಶೋಧನಾ ತಂಡವು ತಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿತು.


The stock market experienced a sharp decline.

ಷೇರು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಕುಸಿತ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ.


ಸಭೆಯು ಮುಂದಿನ ವಾರ ನಡೆಯಲಿದೆ.


The algorithm efficiently sorts the data.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


The implications of the new theory are significant.

ಹೊಸ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿವೆ.


The economic forecast predicts a recession.

ಆರ್ಥಿಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ.


The complex system requires careful analysis.

ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


The philosophical debate explored the nature of consciousness.

ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಚರ್ಚೆಯು ಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸಿತು.


ದಯವಿಟ್ಟು ನೀವು ಅದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದೇ?


ನಿಮ್ಮ ನೆಚ್ಚಿನ ಬಣ್ಣ ಯಾವುದು?


ಇಂದು ನನಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸುಸ್ತಾಗಿದೆ.


ಯೋಜನೆಯು ನಿಗದಿತ ಸಮಯಕ್ಕಿಂತ ಹಿಂದೆ ಇದೆ.


The company is facing financial difficulties.

ಕಂಪನಿಯು ಆರ್ಥಿಕ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಿದೆ.


The Braille system encodes letters and symbols as binary strings.

ಬ್ರೈಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಕ್ಷರಗಳು ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬೈನರಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳಾಗಿ ಎನ್‌ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


We can represent a letter or symbol by a string.

ನಾವು ಅಕ್ಷರ ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.


The ASCII representation is fixed-length, it is automatically prefix-free.

ASCII ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸ್ಥಿರ-ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ-ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ.


Unicode represents about 128,000 symbols as numbers.

ಯೂನಿಕೋಡ್ ಸುಮಾರು 128,000 ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.


Braille uses a more general prefix-free encoding.

ಬ್ರೈಲ್ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ-ಮುಕ್ತ ಎನ್‌ಕೋಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.


The Braille system was invented in 1821 by Louis Braille.

ಬ್ರೈಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು 1821 ರಲ್ಲಿ ಲೂಯಿಸ್ ಬ್ರೈಲ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು.


We can use programming languages to probe how our computing environment represents various values.

ನಮ್ಮ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಪರಿಸರವು ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.


Multiplying by 2 corresponds to a 'left shift' inside each byte.

2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಪ್ರತಿ ಬೈಟ್‌ನೊಳಗೆ 'ಎಡ ಶಿಫ್ಟ್'ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.


C represents strings in a prefix-free form.

C ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳನ್ನು ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ-ಮುಕ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.


We can represent vectors as lists of numbers.

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.


An image can be represented by a list of three numbers.

ಚಿತ್ರವನ್ನು ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.


A video can be represented as a list of images.

ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ಚಿತ್ರಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.


A graph on n vertices can be represented as an adjacency matrix.

n ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.


Another representation for graphs is the adjacency list representation.

ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವೆಂದರೆ ಪಕ್ಕದ ಪಟ್ಟಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ.


We can represent nested lists using strings over a five-element alphabet.

ನಾವು ಐದು-ಅಂಶದ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಮೇಲೆ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.


We will typically identify an object with its representation as a string.

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅದರ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ನಂತೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ.


A computational process takes an input and produces an output.

ಒಂದು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಇನ್‌ಪುಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ.


A computational task can specify any relation that the output needs to have with the input.

ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿರಬೇಕಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.


Given two integers, compute their product.

ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.


We will need to mathematically define the notion of an algorithm.

ನಾವು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.


Early vacuum tubes were roughly the size of lightbulbs.

ಆರಂಭಿಕ ನಿರ್ವಾತ ಟ್ಯೂಬ್‌ಗಳು ದೀಪಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು.


In the 1950’s they were supplanted by transistors.

1950 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಟ್ರಾನ್ಸಿಸ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಯಿತು.


Computers started to be implemented using integrated circuits.

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಇಂಟಿಗ್ರೇಟೆಡ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಳವಡಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಯಿತು.


In 1965, Gordon Moore predicted that the number of transistors per integrated circuit would double every year.

1965 ರಲ್ಲಿ, ಗಾರ್ಡನ್ ಮೂರ್ ಅವರು ಪ್ರತಿ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟೆಡ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಟ್ರಾನ್ಸಿಸ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದ್ದರು.


This would lead to home computers and automatic controls for automobiles.

ಇದು ಹೋಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ವಾಹನಗಳಿಗೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ನಿಯಂತ್ರಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.


Since then, Moore’s law has been running strong.

ಅಂದಿನಿಂದ, ಮೂರ್ಸ್ ನಿಯಮವು ಬಲವಾಗಿ ಚಾಲನೆಯಲ್ಲಿದೆ.


Exponential growth cannot be sustained forever.

ಘಾತೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.


We can use transistors to implement various Boolean functions.

ವಿವಿಧ ಬೂಲಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ನಾವು ಟ್ರಾನ್ಸಿಸ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.


For each two-input gate G ∶ {0,1} 2 → {0,1}, such an implementation would be a system.

ಪ್ರತಿ ಎರಡು-ಇನ್‌ಪುಟ್ ಗೇಟ್ G ∶ {0,1} 2 → {0,1} ಗಾಗಿ, ಅಂತಹ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.


This means that if there exists a AND/OR/NOT circuit to compute a function.

ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟ್ ಮಾಡಲು AND/OR/NOT ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ.


Computation can be based on biological or chemical systems.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಥವಾ ರಾಸಾಯನಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿರಬಹುದು.


Researchers have managed to create transistors, and from them logic gates, based on DNA molecules.

ಸಂಶೋಧಕರು ಟ್ರಾನ್ಸಿಸ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ DNA ಅಣುಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಲಾಜಿಕ್ ಗೇಟ್‌ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದ್ದಾರೆ.


One motivation for DNA computing is to achieve increased parallelism or storage density.

DNA ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್‌ನ ಒಂದು ಪ್ರೇರಣೆಯೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿದ ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಅಥವಾ ಸಂಗ್ರಹಣೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು.


Brains have served humanity throughout history.

ಮೆದುಳು ಇತಿಹಾಸದುದ್ದಕ್ಕೂ ಮಾನವೀಯತೆಗೆ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದೆ.


A neural network can be thought of as a Boolean circuit.

ನ್ಯೂರಲ್ ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.


For example, one particular basis we can use are threshold gates.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರವೆಂದರೆ ಥ್ರೆಶೋಲ್ಡ್ ಗೇಟ್‌ಗಳು.


Threshold gates can be thought of as an approximation for neuron cells.

ಥ್ರೆಶೋಲ್ಡ್ ಗೇಟ್‌ಗಳನ್ನು ನ್ಯೂರಾನ್ ಕೋಶಗಳಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.


We can implement computation using many other physical media.

ಇತರ ಅನೇಕ ಭೌತಿಕ ಮಾಧ್ಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು.


As one example, Fig. 3.24 shows a simple implementation of a NAND gate using marbles going through pipes.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಚಿತ್ರ 3.24 ಪೈಪ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗುವ ಮಾರ್ಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು NAND ಗೇಟ್‌ನ ಸರಳ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.


The NAND function is another simple function that is extremely useful for defining computation.

NAND ಕಾರ್ಯವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಮತ್ತೊಂದು ಸರಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.


We will see that we can make the definition of an algorithm fully formal.

ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಬಹುದು.


While the choice of AND/OR/NOT is arbitrary, we will also see this choice does not matter much.

AND/OR/NOT ಆಯ್ಕೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದ್ದರೂ, ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.


We would obtain the same computational power if we instead used addition and multiplication.

ನಾವು ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಅದೇ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.


It turns out that we can and do compute such “AND/OR/NOT- based algorithms” in the real world.

ಇಂತಹ “AND/OR/NOT- ಆಧಾರಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು” ನಾವು ನಿಜವಾದ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ.


First of all, such an algorithm is clearly well specified, and so can be executed by a human with a pen and paper.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಂತಹ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಪೆನ್ ಮತ್ತು ಪೇಪರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಮಾನವನಿಂದ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು.


Second, there are a variety of ways to mechanize this computation.

ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಯಾಂತ್ರಿಕಗೊಳಿಸಲು ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.


We’ve already seen that we can write Python code that corresponds to following such a list of instructions.

ಅಂತಹ ಸೂಚನೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಪೈಥಾನ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.


But in fact we can directly implement operations such as AND, OR, and NOT defining computation.

ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನಾವು AND, OR ಮತ್ತು NOT ನಂತಹ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು.


This is how modern electronic computers operate.

ಆಧುನಿಕ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳು ಈ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ.


In the remainder of this chapter, and the rest of this book, we will begin to answer some of these questions.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದ ಉಳಿದ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಈ ಪುಸ್ತಕದ ಉಳಿದ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಲವು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.


We will see more examples of the power of simple operations to compute more complex operations.

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸರಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಶಕ್ತಿಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.


Boolean circuits provide a precise notion of “composing basic operations together”.

ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳು “ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ” ನಿಖರವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ.


A Boolean circuit is composed of gates and inputs that are connected by wires.

ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಗೇಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ತಂತಿಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ.


The wires carry a signal that represents either the value 0 or 1.

ತಂತಿಗಳು 0 ಅಥವಾ 1 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಾಗಿಸುತ್ತವೆ.


Each gate corresponds to either the OR, AND, or NOT operation.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗೇಟ್ OR, AND ಅಥವಾ NOT ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.


An OR gate has two incoming wires, and one or more outgoing wires.

ಒಂದು OR ಗೇಟ್ ಎರಡು ಒಳಬರುವ ತಂತಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹೊರಹೋಗುವ ತಂತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.


If these two incoming wires carry the signals a and b, then the signal on the outgoing wires will be OR(a, b).

ಈ ಎರಡು ಒಳಬರುವ ತಂತಿಗಳು a ಮತ್ತು b ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಸಾಗಿಸಿದರೆ, ಹೊರಹೋಗುವ ತಂತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಕೇತವು OR(a, b) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.


We evaluate an n-input Boolean circuit C on an input x by placing the bits of x on the inputs.

ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ x ನ ಬಿಟ್‌ಗಳನ್ನು ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇನ್‌ಪುಟ್ x ನಲ್ಲಿ n-ಇನ್‌ಪುಟ್ ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ C ಅನ್ನು ನಾವು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.


Boolean circuits are a mathematical model that does not necessarily correspond to a physical object.

ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಭೌತಿಕ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.


In physical implementations of circuits, the signal is often implemented by electric potential, or voltage, on a wire.

ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳ ಭೌತಿಕ ಅನುಷ್ಠಾನದಲ್ಲಿ, ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿದ್ಯುತ್ ವಿಭವ ಅಥವಾ ವೋಲ್ಟೇಜ್‌ನಿಂದ ತಂತಿಯ ಮೇಲೆ ಅಳವಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


The circuit's output is determined by the NAND operation.

ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಅನ್ನು NAND ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


We can use NAND gates to build other logical gates.

ಇತರ ತಾರ್ಕಿಕ ಗೇಟ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಾವು NAND ಗೇಟ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.


The book delves into the universality of NAND gates.

ಪುಸ್ತಕವು NAND ಗೇಟ್‌ಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ.


This is a special case of a broader phenomenon.

ಇದು ವಿಶಾಲ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.


The function IF(a, b, c) outputs b if a = 1 and c otherwise.

IF(a, b, c) ಕಾರ್ಯವು a = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ b ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ c ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ.


We can demonstrate universality using the IF, ZERO, ONE functions.

IF, ZERO, ONE ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು.


Confusing specification and implementation is a common mistake.

ವಿಶೇಷಣ ಮತ್ತು ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವುದು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪು.


An algorithm is a recipe for performing a computation.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎನ್ನುವುದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಒಂದು ಪಾಕವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.


The NAND operation is easily implementable in the physical world.

NAND ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಭೌತಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಬಹುದು.


We can use NAND to compute many other functions.

ಇತರ ಹಲವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು NAND ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.


The exercises cover examples of universal and non-universal gate sets.

ಅಭ್ಯಾಸಗಳು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಲ್ಲದ ಗೇಟ್ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ.


Distinguishing between specification and implementation is crucial.

ವಿಶೇಷಣ ಮತ್ತು ಅನುಷ್ಠಾನದ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


A function corresponds to the specification of a computational task.

ಕಾರ್ಯವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕಾರ್ಯದ ವಿವರಣೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.


A program corresponds to the implementation of how to compute the desired output.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಎಂದರೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಎಂಬುದರ ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.


Confusing functions and programs is a common mistake.

ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವುದು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪು.


The book introduces the theory of computation starting with Boolean circuits.

ಪುಸ್ತಕವು ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ.


We can compute the majority function using NAND gates.

NAND ಗೇಟ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಬಹುಮತದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.


Syntactic sugar simplifies the programming model.

ಸಿಂಟಾಕ್ಟಿಕ್ ಸಕ್ಕರೆ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.


Every finite function can be computed by a Boolean circuit.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.


We will explore gate complexity in more detail later.

ನಾವು ನಂತರ ಗೇಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ.


The function IF(condition, a, b) acts like a switch.

IF(ಷರತ್ತು, ಎ, ಬಿ) ಎಂಬ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವಿಚ್‌ನಂತೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.


If the condition is true, the output is a; otherwise, it's b.

ಷರತ್ತು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಎ ಆಗಿರುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಬಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.


We can implement conditionals using the IF function in NAND.

ನಾವು NAND ನಲ್ಲಿ IF ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು.


The IF function is also known as a multiplexing function.

IF ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೆಕ್ಸಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.


This allows us to replace 'if-then-else' statements.

ಇದು 'if-then-else' ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.


The code assigns 'blah' to variable 'foo' if the condition is met.

ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಕೋಡ್ 'blah' ಅನ್ನು 'foo' ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ.


ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, 'foo' ಅದರ ಹಳೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.


We can replace complex 'if' statements with IF functions.

ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ 'if' ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು IF ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.


This transformation allows us to prove a theorem.

ಈ ರೂಪಾಂತರವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.


The theorem concerns conditional statements as syntactic sugar.

ಪ್ರಮೇಯವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ಸಿಂಟಾಕ್ಟಿಕ್ ಸಕ್ಕರೆಯಾಗಿದೆ.


For every NAND-CIRC-IF program P, there exists a standard NAND-CIRC program P'.

ಪ್ರತಿ NAND-CIRC-IF ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ P ಗಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ P' ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.


The program P' computes the same function as P.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ P' ಯು P ಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


We can write the integer addition function using syntactic sugar.

ನಾವು ಸಿಂಟಾಕ್ಟಿಕ್ ಸಕ್ಕರೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.


The ADD function adds two n-bit integers.

ADD ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು n-ಬಿಟ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ.


ಫಲಿತಾಂಶವು n+1 ಬಿಟ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.


The code uses XOR, MAJ, and zero functions.

ಕೋಡ್ XOR, MAJ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.


The loop can be expanded by repeating the code n times.

ಕೋಡ್ ಅನ್ನು n ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೂಪ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.


This results in a standard NAND-CIRC program.

ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತ NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.


Addition can be implemented using NAND-CIRC programs.

NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು.


Multiplication can also be implemented using NAND-CIRC programs.

NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸಹ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು.


The algorithm efficiently sorts the data.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


She enjoys reading novels in her free time.

ಅವಳು ತನ್ನ ಬಿಡುವಿನ ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ ಕಾದಂಬರಿಗಳನ್ನು ಓದುವುದನ್ನು ಆನಂದಿಸುತ್ತಾಳೆ.


The company announced a new product launch.

ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನ ಬಿಡುಗಡೆಯನ್ನು ಘೋಷಿಸಿತು.


Could you please repeat that information?

ದಯವಿಟ್ಟು ಆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದೇ?


The research paper explores complex topics.

ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಬಂಧವು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


He is a highly skilled software engineer.

ಅವರು ಅತ್ಯಂತ ನುರಿತ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದಾರೆ.


The weather forecast predicts heavy rain tomorrow.

ನಾಳೆಯ ಹವಾಮಾನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಭಾರೀ ಮಳೆಯಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.


ಅವಳು ಪಿಯಾನೋ ನುಡಿಸಲು ಕಲಿಯುತ್ತಿದ್ದಾಳೆ.


The project requires careful planning and execution.

ಯೋಜನೆಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


The government implemented new policies.

ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತಂದಿದೆ.


The data analysis revealed interesting insights.

ದತ್ತಾಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿತು.


He is passionate about environmental conservation.

ಅವರು ಪರಿಸರ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ಸಾಹ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ.


The conference brought together experts from various fields.

ಸಮ್ಮೇಳನವು ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ತಜ್ಞರನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿತು.


The complex equation needs to be simplified.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.


She is a talented artist with a unique style.

ಅವಳು ವಿಶಿಷ್ಟ ಶೈಲಿಯ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಕಲಾವಿದೆ.


The economic situation is improving gradually.

ಆರ್ಥಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಕ್ರಮೇಣ ಸುಧಾರಿಸುತ್ತಿದೆ.


The team worked diligently to meet the deadline.

ಅಂತಿಮ ದಿನಾಂಕವನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ತಂಡವು ಶ್ರದ್ಧೆಯಿಂದ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿತು.


The new technology has revolutionized the industry.

ಹೊಸ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವು ಉದ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿದೆ.


He is a well-respected leader in the community.

ಅವರು ಸಮುದಾಯದಲ್ಲಿ ಗೌರವಾನ್ವಿತ ನಾಯಕರಾಗಿದ್ದಾರೆ.


The study examined the impact of social media.

ಅಧ್ಯಯನವು ಸಾಮಾಜಿಕ ಮಾಧ್ಯಮದ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿತು.


ಕೋಡ್ NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


The function GET retrieves a value from Vartable.

GET ಕಾರ್ಯವು Vartable ನಿಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂಪಡೆಯುತ್ತದೆ.


The UPDATE function modifies the Vartable.

UPDATE ಕಾರ್ಯವು Vartable ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ.


The program uses a list of tuples representation.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಟ್ಯೂಪಲ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.


The XOR operation is tested with specific inputs.

XOR ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ.


The output of the XOR gate is calculated.

XOR ಗೇಟ್‌ನ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.


ನಾವು LOOKUP ಅನ್ನು O(s) ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.


The UPDATE function for arrays of length 2^ell is defined.

2^ell ಉದ್ದದ ಅರೇಗಳಿಗಾಗಿ UPDATE ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.


The EQUALS function checks if i is equal to j.

EQUALS ಕಾರ್ಯವು i, j ಗೆ ಸಮನಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ.


The IF function selects a value based on a condition.

IF ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


The total number of lines to compute UPDATE is O(s log s).

UPDATE ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಒಟ್ಟು ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ O(s log s) ಆಗಿದೆ.


The implementation involves careful bookkeeping.

ಅನುಷ್ಠಾನವು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ಲೆಕ್ಕಪತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


The total number of lines for computing EVAL is O(s^2 log s).

EVAL ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಒಟ್ಟು ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ O(s^2 log s) ಆಗಿದೆ.


NAND does not offer arrays with efficient random access.

NAND ದಕ್ಷ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರವೇಶದೊಂದಿಗೆ ಅರೇಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ.


It is possible to improve the bound of Theorem 5.10.

ಪ್ರಮೇಯ 5.10 ರ ಗಡಿಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.


Consider the description of NAND-CIRC programs as circuits.

NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ.


A universal NAND-CIRC program will correspond to a universal graph.

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ.


Efficient routing networks exist for embedding circuits.

ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಎಂಬೆಡ್ ಮಾಡಲು ದಕ್ಷ ರೂಟಿಂಗ್ ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್‌ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ.


We can translate every Python program into an equivalent NAND-CIRC program.

ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪೈಥಾನ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಸಮಾನವಾದ NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಆಗಿ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು.


Understanding how programs are transformed is fundamental to computer science.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ.


ಇಂದು ಹವಾಮಾನವು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿದೆ.


ದಯವಿಟ್ಟು ಈ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ನನಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದೇ?


I am going to the market to buy some groceries.

ನಾನು ಕೆಲವು ದಿನಸಿಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.


The company announced a new product launch.

ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನ ಬಿಡುಗಡೆಯನ್ನು ಘೋಷಿಸಿತು.


The algorithm efficiently sorts the data.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


ಅವಳು ತುಂಬಾ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಸಂಗೀತಗಾರಳು.


The government is implementing new policies.

ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತರುತ್ತಿದೆ.


The research paper explores the impact of climate change.

ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಬಂಧವು ಹವಾಮಾನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


He is a well-known author and has written many books.

ಅವರು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಲೇಖಕರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ.


The stock market experienced a significant downturn.

ಷೇರು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಕುಸಿತ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ.


The software update includes several bug fixes.

ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ನವೀಕರಣವು ಹಲವಾರು ದೋಷ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


ಸಮ್ಮೇಳನವು ಮುಂದಿನ ತಿಂಗಳು ನಡೆಯಲಿದೆ.


The team is working hard to achieve its goals.

ತಂಡವು ತನ್ನ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಶ್ರಮಿಸುತ್ತಿದೆ.


The complex equation requires advanced mathematical knowledge.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸುಧಾರಿತ ಗಣಿತ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

ಸವಾಲುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು.


The implications of the new discovery are far-reaching.

ಹೊಸ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ಪರಿಣಾಮಗಳು ದೂರಗಾಮಿ ಆಗಿವೆ.


The philosophical debate centered on the nature of reality.

ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಚರ್ಚೆಯು ವಾಸ್ತವದ ಸ್ವರೂಪದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿತ್ತು.


The economic forecast predicts a period of slow growth.

ಆರ್ಥಿಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ನಿಧಾನಗತಿಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಅವಧಿಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ.


The intricate design of the building is a marvel of engineering.

ಕಟ್ಟಡದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿನ್ಯಾಸವು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ನ ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ.


The artist's work reflects a deep understanding of human emotion.

ಕಲಾವಿದನ ಕೆಲಸವು ಮಾನವ ಭಾವನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಆಳವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ.


The number of functions that can be computed using small circuits is much smaller than the total number of functions.

ಸಣ್ಣ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.


A function mapping {0,1} to {0,1} can be identified with the list of its four values.

{0,1} ಗೆ {0,1} ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ನಾಲ್ಕು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.


The number of functions mapping {0,1} ^n to {0,1} is equal to the number of possible 2^n length lists of values.

{0,1} ^n ನಿಂದ {0,1} ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯ 2^n ಉದ್ದದ ಪಟ್ಟಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.


There is a constant δ > 0, such that for every sufficiently large n, there is a function f : {0,1} ^n -> {0,1}.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ n ಗಾಗಿ, ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕ δ > 0 ಇದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ f : {0,1} ^n -> {0,1} ಇದೆ.


ಪುರಾವೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ.


We have seen before that every function mapping {0,1} ^n to {0,1} can be computed by an O(2^n / n) line program.

{0,1} ^n ನಿಂದ {0,1} ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು O(2^n / n) ಲೈನ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.


Some functions f : {0,1} ^n -> {0,1} cannot be computed by a Boolean circuit using fewer than exponential (in n) number of gates.

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳು f : {0,1} ^n -> {0,1} ಎಕ್ಸ್‌ಪೋನೆನ್ಷಿಯಲ್ (n ನಲ್ಲಿ) ಗೇಟ್‌ಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬಳಸಿ ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.


Hence functions that can be computed in a small number of lines are the exception, rather than the rule.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿಯಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವಿನಾಯಿತಿಯಾಗಿದೆ.


The ASCII representation is not the shortest representation for NAND-CIRC programs.

ASCII ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳಿಗೆ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಲ್ಲ.


We prove Theorem 5.5 by coming up with a list of functions.

ಕಾರ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ತಯಾರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯ 5.5 ಅನ್ನು ರುಜುವಾತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.


By Theorem 4.15 the class SIZE n (10 ⋅ 2^n / n) contains all functions from {0,1} ^n to {0,1}.

ಪ್ರಮೇಯ 4.15 ರ ಪ್ರಕಾರ ವರ್ಗ SIZE n (10 ⋅ 2^n / n) {0,1} ^n ನಿಂದ {0,1} ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


In other words, for every sufficiently large n, SIZE n (0.1 2^n / n) ⊊ SIZE n (10 2^n / n).

ಇತರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ n ಗಾಗಿ, SIZE n (0.1 2^n / n) ⊊ SIZE n (10 2^n / n).


For every sufficiently large n and 10n < s < 0.1 ⋅ 2^n / n, SIZE n (s) ⊊ SIZE n (s+10n).

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ n ಮತ್ತು 10n < s < 0.1 ⋅ 2^n / n ಗಾಗಿ, SIZE n (s) ⊊ SIZE n (s+10n).


To prove the theorem we need to find a function f : {0,1} ^n -> {0,1} such that f can be computed by a circuit of s + 10n gates.

ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರುಜುವಾತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯ f : {0,1} ^n -> {0,1} ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಇದರಿಂದ f ಅನ್ನು s + 10n ಗೇಟ್‌ಗಳ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.


We define the functions f0, f1, ..., f2^n mapping {0,1} ^n to {0,1} as follows.

ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು f0, f1, ..., f2^n ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ {0,1} ^n ನಿಂದ {0,1} ಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.


The function f0 is simply the constant zero function, while the function f2^n is equal to f*.

ಕಾರ್ಯ f0 ಸರಳವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯ f2^n f* ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.


Moreover, for every i ∈ [2^n], the functions fi and fi+1 differ on at most one input.

ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿ i ∈ [2^n] ಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಗಳು fi ಮತ್ತು fi+1 ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.


Let 10n < s < 0.1 ⋅ 2^n / n, and let i be the first index such that fi ∉ SIZE n (s).

10n < s < 0.1 ⋅ 2^n / n ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು fi ∉ SIZE n (s) ಆಗಿರುವ ಮೊದಲ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು i ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ.


Since f2^n = f* ∉ SIZE n (0.1 ⋅ 2^n / n) there must exist such an index i, and moreover i > 0 since the constant zero function is a member of SIZE n (10n).

f2^n = f* ∉ SIZE n (0.1 ⋅ 2^n / n) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅಂತಹ ಸೂಚ್ಯಂಕ i ಇರಬೇಕು, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯವು SIZE n (10n) ನ ಸದಸ್ಯನಾಗಿರುವುದರಿಂದ i > 0.


To complete the proof, we need to show that fi ∈ SIZE n (s + 10n).

ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ನಾವು fi ∈ SIZE n (s + 10n) ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.


The algorithm checks if 'e' matches the empty string.

'e' ಖಾಲಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ.


If e is empty or belongs to the alphabet, return 0.

e ಖಾಲಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ವರ್ಣಮಾಲೆಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, 0 ಅನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿ.


ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿಲ್ಲ.


For example, given an expression involving concatenation or the “star” operation and a string of length n, it can make n recursive calls.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜೋಡಣೆ ಅಥವಾ “ಸ್ಟಾರ್” ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಮತ್ತು ಉದ್ದ n ನ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಇದು n ಮರುಕಳಿಸುವ ಕರೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.


Fortunately, it turns out that there is a much more efficient algorithm.

ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ.


We will see a formal definition of time complexity in Chapter 13.

ನಾವು ಅಧ್ಯಾಯ 13 ರಲ್ಲಿ ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.


e ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿರಲಿ.


Then there is an O(n) time algorithm that computes Φe.

ನಂತರ Φe ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ O(n) ಸಮಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇದೆ.


This makes sense since in practice we often want to compute Φe(x) for a small regular expression e and a large document x.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ e ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಡಾಕ್ಯುಮೆಂಟ್ x ಗಾಗಿ Φe(x) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಯಸುವುದರಿಂದ ಇದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.


We prove Theorem 6.12 by obtaining a more efficient recursive algorithm.

ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮರುಕಳಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮೇಯ 6.12 ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.


The idea is that for every regular expression e and symbol σ in its alphabet, it is possible to define a regular expression e[σ] such that e[σ] matches a string x if and only if e matches the string xσ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ e ಮತ್ತು ಅದರ ವರ್ಣಮಾಲೆಯಲ್ಲಿನ ಚಿಹ್ನೆ σ ಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ e[σ] ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದರಿಂದ e[σ] ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ x ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, e ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ xσ ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಮಾತ್ರ.


Algorithm 6.13 computes the restriction e[σ] given a regular expression e and an alphabet symbol σ.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ 6.13 ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ e ಮತ್ತು ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಚಿಹ್ನೆ σ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ನಿರ್ಬಂಧ e[σ] ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


It always terminates, since the recursive calls it makes are always on expressions smaller than the input expression.

ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮಾಡುವ ಮರುಕಳಿಸುವ ಕರೆಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ.


Using this notion of restriction, we can define the following recursive algorithm for regular expression matching.

ನಿರ್ಬಂಧದ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಾಗಿ ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಮರುಕಳಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.


By the definition of a restriction, for every σ ∈ Σ and x' ∈ Σ*, the expression e matches x'σ if and only if e[σ] matches x'.

ನಿರ್ಬಂಧದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ σ ∈ Σ ಮತ್ತು x' ∈ Σ* ಗಾಗಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ e, x'σ ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, e[σ] x' ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಮಾತ್ರ.


The only remaining task is to analyze its running time.

ಏಕೈಕ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ಅದರ ಚಾಲನೆಯ ಸಮಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು.


For simplicity, let us restrict our attention to the case that the alphabet Σ is equal to {0,1}.

ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ವರ್ಣಮಾಲೆ Σ {0,1} ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ನಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸೋಣ.


Define C(ℓ) to be the maximum number of operations that Algorithm 6.13 takes when given as input a regular expression e over {0,1} of at most ℓ symbols.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ 6.13 ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು C(ℓ) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ℓ ಚಿಹ್ನೆಗಳ {0,1} ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ e ಅನ್ನು ಇನ್‌ಪುಟ್ ಆಗಿ ನೀಡಿದಾಗ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.


Algorithm 6.14 is a recursive algorithm that input an expression e and a string x ∈ {0,1}n, does computation of at most C(|e|) steps and then calls itself with input some expression e' and a string x' of length n - 1.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ 6.14 ಒಂದು ಮರುಕಳಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ e ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ x ∈ {0,1}n ಅನ್ನು ಇನ್‌ಪುಟ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಗರಿಷ್ಠ C(|e|) ಹಂತಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ e' ಮತ್ತು ಉದ್ದ n - 1 ರ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ x' ನೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಃ ಕರೆಯುತ್ತದೆ.


This solves to O(n) where the implicit constant in the O notation can (and will) depend on e but crucially, not on the length of the input x.

ಇದು O(n) ಗೆ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ O ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿನ ಸೂಚ್ಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು e ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿ, ಇನ್‌ಪುಟ್ x ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ.


The length n, denoted as F n, is the finite function f : {0,1} n -> {0,1} such that f(x) = F(x) for every x ∈ {0,1} n.

n ಉದ್ದ, F n ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯ f : {0,1} n -> {0,1} ಆಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು x ∈ {0,1} n ಗಾಗಿ f(x) = F(x) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.


That is, F n is the finite function that is only defined on inputs in {0,1} n, but agrees with F on those inputs.

ಅಂದರೆ, F n ಎಂಬುದು ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, {0,1} n ನಲ್ಲಿನ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಆದರೆ ಆ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ F ನೊಂದಿಗೆ ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ.


Since F n is a finite function, it can be computed by a Boolean circuit, implying the following theorem: Theorem 6.1— Circuit collection for every infinite function.

F n ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: ಪ್ರಮೇಯ 6.1— ಪ್ರತಿ ಅನಂತ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಸಂಗ್ರಹ.


Let F : {0,1} * -> {0,1}. Then there is a collection {C n } n∈{1,2,...} of circuits such that for every n > 0, C n computes the restriction F n of F to inputs of length n.

F : {0,1} * -> {0,1} ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಿದೆ {C n } n∈{1,2,...} ಪ್ರತಿ n > 0 ಗಾಗಿ, C n ಉದ್ದ n ನ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಗಳಿಗೆ F ನ ನಿರ್ಬಂಧ F n ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


Proof. This is an immediate corollary of the universality of Boolean circuits.

ಪುರಾವೆ. ಇದು ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಕ್ಷಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.


Indeed, since F n maps {0,1} n to {0,1}, Theorem 4.15 implies that there exists a Boolean circuit C n to compute it.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, F n {0,1} n ಅನ್ನು {0,1} ಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 4.15 ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ C n ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.


In fact, the size of this circuit is at most c ⋅ 2 n / n gates for some constant c ≤ 10.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನ ಗಾತ್ರವು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕ c ≤ 10 ಗಾಗಿ ಗೇಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ c ⋅ 2 n / n ಆಗಿದೆ.


In particular, Theorem 6.1 implies that there exists such a circuit collection {C n } even for the TWINP function we described before, even though we do not know of any program to compute it.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಮೇಯ 6.1 ನಾವು ಹಿಂದೆ ವಿವರಿಸಿದ TWINP ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸಹ ಅಂತಹ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಸಂಗ್ರಹ {C n } ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.


Indeed, this is not that surprising: for every particular n ∈ ℕ, TWINP n is either the constant zero function or the constant one function, both of which 222 introduction to theoretical computer science can be computed by very simple Boolean circuits.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಅಷ್ಟು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಲ್ಲ: ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ n ∈ ℕ ಗಾಗಿ, TWINP n ಸ್ಥಿರ ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇವೆರಡನ್ನೂ 222 ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನವು ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.


Hence a collection of circuits {C n } that computes TWINP certainly exists.

ಆದ್ದರಿಂದ TWINP ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳ ಸಂಗ್ರಹ {C n } ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.


The difficulty in computing TWINP using Python or any other programming lan- guage arises from the fact that we do not know for each particular n what is the circuit C n in this collection.

ಪೈಥಾನ್ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು TWINP ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿನ ತೊಂದರೆಯು ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ n ಗಾಗಿ ಈ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ C n ಯಾವುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.


6.2 DETERMINISTIC FINITE AUTOMATA (OPTIONAL) All our computational models so far - Boolean circuits and straight- line programs - were only applicable for finite functions.

6.2 ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸೀಮಿತ ಆಟೊಮಾಟಾ (ಐಚ್ಛಿಕ) ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗಿನ ನಮ್ಮ ಎಲ್ಲಾ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮಾದರಿಗಳು - ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ-ಸಾಲಿನ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು - ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.


In Chapter 7, we will present Turing machines, which are the central models of computation for unbounded input length functions.

ಅಧ್ಯಾಯ 7 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇವು ಅನಿಯಮಿತ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್‌ನ ಕೇಂದ್ರ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿವೆ.


However, in this section we present the more basic model of deterministic finite automata (DFA).

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸೀಮಿತ ಆಟೊಮಾಟಾ (DFA) ನ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಭೂತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.


Automata can serve as a good stepping-stone for Turing machines, though they will not be used much in later parts of this book, and so the reader can feel free to skip ahead to Chapter 7.

ಆಟೊಮಾಟಾ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಲ್ಲಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಪುಸ್ತಕದ ನಂತರದ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಓದುಗರು ಅಧ್ಯಾಯ 7 ಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಲು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಭಾವಿಸಬಹುದು.


DFAs turn out to be equivalent in power to regular expressions: a powerful mechanism to specify patterns, which is widely used in practice.

DFA ಗಳು ನಿಯಮಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ: ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಒಂದು ಶಕ್ತಿಯುತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


Our treatment of automata is relatively brief.

ಆಟೊಮಾಟಾದ ನಮ್ಮ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿದೆ.


There are plenty of resources that help you get more comfortable with DFAs.

DFA ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಆರಾಮದಾಯಕವಾಗಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳಿವೆ.


In particular, Chapter 1 of Sipser’s book [ Sip97] contains an excellent exposition of this material.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಿಪ್ಸರ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕದ ಅಧ್ಯಾಯ 1 [Sip97] ಈ ವಸ್ತುವಿನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


There are also many websites with online simulators for automata, as well as translators from regular expressions to automata and vice versa (see for example hereandhere).

ಆಟೊಮಾಟಾಗಾಗಿ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸಿಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನೇಕ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ಗಳು ಇವೆ, ಜೊತೆಗೆ ನಿಯಮಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಆಟೊಮಾಟಾಗೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಅನುವಾದಕರು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ನೋಡಿ).


ಇಂದು ಸೂರ್ಯ ಪ್ರಕಾಶಮಾನವಾಗಿ ಹೊಳೆಯುತ್ತಿದ್ದಾನೆ.


ದಯವಿಟ್ಟು ನನಗೆ ಉಪ್ಪು ನೀಡುತ್ತೀರಾ?


I am going to the market to buy some vegetables.

ನಾನು ತರಕಾರಿಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.


The company announced a new product launch next month.

ಕಂಪನಿಯು ಮುಂದಿನ ತಿಂಗಳು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡುವುದಾಗಿ ಘೋಷಿಸಿತು.


She is a very talented musician and plays the piano beautifully.

ಅವಳು ತುಂಬಾ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಸಂಗೀತಗಾರಳು ಮತ್ತು ಪಿಯಾನೋವನ್ನು ಸುಂದರವಾಗಿ ನುಡಿಸುತ್ತಾಳೆ.


The research team is working on a new algorithm to improve efficiency.

ಸಂಶೋಧನಾ ತಂಡವು ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಹೊಸ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದೆ.


Despite the challenges, they managed to complete the project on time.

ಸವಾಲುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು.


The government is implementing new policies to boost the economy.

ಆರ್ಥಿಕತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತರುತ್ತಿದೆ.


The doctor advised him to take rest and avoid strenuous activities.

ವೈದ್ಯರು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತು ಶ್ರಮದಾಯಕ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಿದರು.


The software update includes several bug fixes and performance enhancements.

ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ನವೀಕರಣವು ಹಲವಾರು ದೋಷ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆ ವರ್ಧನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


The ancient ruins are a testament to the civilization's rich history.

ಪ್ರಾಚೀನ ಅವಶೇಷಗಳು ನಾಗರಿಕತೆಯ ಶ್ರೀಮಂತ ಇತಿಹಾಸಕ್ಕೆ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ.


He is fluent in three languages: English, French, and Spanish.

ಅವರು ಮೂರು ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರರ್ಗಳವಾಗಿ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ: ಇಂಗ್ಲಿಷ್, ಫ್ರೆಂಚ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪ್ಯಾನಿಷ್.


The company's stock price has been steadily increasing over the past year.

ಕಳೆದ ಒಂದು ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಕಂಪನಿಯ ಷೇರು ಬೆಲೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಏರಿಕೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.


The complex mathematical equation required several iterations to solve.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವಾರು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಬೇಕಾಗಿದ್ದವು.


The artist's unique style is characterized by bold colors and abstract forms.

ಕಲಾವಿದನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಶೈಲಿಯು ದಪ್ಪ ಬಣ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಮೂರ್ತ ರೂಪಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.


The new regulations aim to improve workplace safety and reduce accidents.

ಹೊಸ ನಿಯಮಗಳು ಕೆಲಸದ ಸ್ಥಳದ ಸುರಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅಪಘಾತಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.


The scientific community is still debating the implications of the new findings.

ಹೊಸ ಸಂಶೋಧನೆಗಳ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯವು ಇನ್ನೂ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಿದೆ.


The economic forecast predicts a period of slow growth in the coming months.

ಆರ್ಥಿಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಮುಂಬರುವ ತಿಂಗಳುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಧಾನಗತಿಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಅವಧಿಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ.


The intricate design of the building showcases the architect's creativity.

ಕಟ್ಟಡದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿನ್ಯಾಸವು ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪಿಯ ಸೃಜನಶೀಲತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.


The algorithm efficiently sorts the data using a divide-and-conquer approach.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ವಿಭಜನೆ ಮತ್ತು ವಿಜಯದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


The Turing machine starts in the START state and moves right.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವು ಪ್ರಾರಂಭ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.


If it finds ∅ before it hits such a symbol then it moves to the OUTPUT_1 state.

ಇದು ಅಂತಹ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಮೊದಲು ∅ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ, ಅದು OUTPUT_1 ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.


Once푀 finds such a symbol 푏 ∈ {0,1}, 푀 deletes 푏 from the tape.

ಒಮ್ಮೆ 푀 ಅಂತಹ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ 푏 ∈ {0,1}, 푀 ಟೇಪ್‌ನಿಂದ 푏 ಅನ್ನು ಅಳಿಸುತ್ತದೆ.


The RETURN state means that 푀 goes back to the beginning.

RETURN ಸ್ಥಿತಿಯ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ 푀 ಪ್ರಾರಂಭಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ.


The OUTPUT_푏 states mean that 푀 will eventually output the value 푏.

OUTPUT_푏 ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅಂದರೆ 푀 ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯ 푏 ಅನ್ನು ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


This table is known as the transition function of the Turing machine.

ಈ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರದ ಪರಿವರ್ತನೆ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.


A Turing machine has access to a tape of unbounded length.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವು ಅನಿಯಮಿತ ಉದ್ದದ ಟೇಪ್‌ಗೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.


At each point in the execution, the machine can read a single symbol of the tape.

ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಯಂತ್ರವು ಟೇಪ್‌ನ ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಓದಬಹುದು.


The formal definition of Turing machines is as follows:

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:


A (one tape) Turing machine 푀 with 푘 states and alphabet Σ ⊇ {0,1,▷,∅} is represented by a transition function.

푘 ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಣಮಾಲೆ Σ ⊇ {0,1,▷,∅} ಹೊಂದಿರುವ (ಒಂದು ಟೇಪ್) ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರ 푀 ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತನೆ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


For every 푥 ∈ {0,1} ∗ , the output of 푀 on input 푥, denoted by 푀(푥), is the result of the following process:

ಪ್ರತಿ 푥 ∈ {0,1} ∗ ಗೆ, ಇನ್‌ಪುಟ್ 푥 ನಲ್ಲಿ 푀 ಯ ಔಟ್‌ಪುಟ್, 푀(푥) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ:


We initialize 푇 to be the sequence ▷, 푥₀, 푥₁, ..., 푥ₙ₋₁, ∅, ∅, ...

ನಾವು 푇 ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮ ▷, 푥₀, 푥₁, ..., 푥ₙ₋₁, ∅, ∅, ... ಎಂದು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.


ನಾವು 푖 = 0 ಮತ್ತು 푠 = 0 ಅನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.


ನಂತರ ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ:


ಲೆಟ್ (푠′, 휎′, 퐷) = 훿 푀 (푠, 푇[푖]).


If 퐷 = R then set 푖 → 푖+1, if 퐷 = L then set 푖 → max{푖−1,0}.

퐷 = R ಆಗಿದ್ದರೆ 푖 → 푖+1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ, 퐷 = L ಆಗಿದ್ದರೆ 푖 → max{푖−1,0} ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ.


If the process above halts, then 푀’s output, denoted by 푀(푥), is the string 푦 ∈ {0,1} ∗.

ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನಿಲ್ಲಿಸಿದರೆ, 푀 ಯ ಔಟ್‌ಪುಟ್, 푀(푥) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ 푦 ∈ {0,1} ∗ ಆಗಿದೆ.


If the Turing machine does not halt then we denote 푀(푥) = ⊥.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವು ನಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನಾವು 푀(푥) = ⊥ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.


We can precisely define what it means for a function to be computable by any possible algorithm.

ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟ್ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.


A Turing machine (or program) 푀 can compute some function 퐹, but it is not the same as 퐹.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರ (ಅಥವಾ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ) 푀 ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು 퐹 ಅನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದು 퐹 ಯಂತೆಯೇ ಅಲ್ಲ.


Using the fact that every function can be computed by a NAND-CIRC program, we will be able to compute the transition function.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪರಿವರ್ತನೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.


ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.


Given a program that uses array variables and scalar variables, we will create a Turing machine.

ಅರೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲರ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ.


The Turing machine simulates each iteration of the program by updating its state and tape accordingly.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವು ಅದರ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಟೇಪ್ ಅನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನವೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅನುಕರಿಸುತ್ತದೆ.


ನಾವು “ಇಫ್” ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.


Namely we show that given a Turing machine, we can find a NAND-TM program.

ಅಂದರೆ, ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು NAND-TM ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.


Since our goal is just to show such a program exists, we don’t need to write out the full code.

ನಮ್ಮ ಗುರಿಯು ಅಂತಹ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.


The key observation is that by Theorem 4.12 we can compute every finite function using a NAND-CIRC program.

ಪ್ರಮುಖ ವೀಕ್ಷಣೆಯೆಂದರೆ ಪ್ರಮೇಯ 4.12 ರ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.


We can encode its components as follows:

ನಾವು ಅದರ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಎನ್‌ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು:


ನಾವು ಮತ್ತು ಬಳಸಿ ಎನ್‌ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.


ನಾವು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ ಎನ್‌ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.


ನಾವು ಎನ್‌ಕೋಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.


ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.


By Theorem 4.12 there exists a finite length NAND-CIRC program that computes this function.

ಪ್ರಮೇಯ 4.12 ರ ಪ್ರಕಾರ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೀಮಿತ ಉದ್ದದ NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.


The idea behind the NAND-TM program to simulate is to:

ಅನುಕರಿಸಲು NAND-TM ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ ಹಿಂದಿನ ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ:


ನ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಎನ್‌ಕೋಡ್ ಮಾಡಲು ಬಳಸಿ.


ನ ಟೇಪ್ ಅನ್ನು ಎನ್‌ಕೋಡ್ ಮಾಡಲು ಅರೇಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ.


Use the fact that transition is finite and computable by NAND-CIRC program.

ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿ.


Every step of the main loop of the above program perfectly mimics the computation of the Turing machine.

ಮೇಲಿನ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ ಮುಖ್ಯ ಲೂಪ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತವು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನುಕರಿಸುತ್ತದೆ.


For the other direction, suppose that is a NAND-TM program.

ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಒಂದು NAND-TM ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.


The concept of Turing completeness is fundamental in computer science.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ.


RAM machines are closer to the architecture of modern computers.

RAM ಯಂತ್ರಗಳು ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿವೆ.


Turing machines can only access one location of their tape at a time.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳು ತಮ್ಮ ಟೇಪ್‌ನ ಒಂದು ಸ್ಥಳವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದು.


We can encode an element of Σ using a binary string.

ನಾವು ಬೈನರಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಬಳಸಿ Σ ನ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಎನ್‌ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು.


The Church-Turing Thesis is a widely believed claim.

ಚರ್ಚ್-ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಪ್ರಬಂಧವು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ನಂಬಲಾದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ.


All general-purpose programming languages are Turing complete.

ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದ್ದೇಶದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ.


This chapter discusses the equivalence between different computational models.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯವು ವಿಭಿನ್ನ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮಾದರಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.


NAND-RAM programs are equivalent to Turing machines.

NAND-RAM ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.


We will show that all general-purpose programming languages are Turing Complete.

ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದ್ದೇಶದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.


RAM machines capture the architecture of modern computers more closely.

RAM ಯಂತ್ರಗಳು ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಕಟವಾಗಿ ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತವೆ.


The running time of an algorithm on a RAM machine is correlated with its practical efficiency.

RAM ಯಂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಚಾಲನೆಯ ಸಮಯವು ಅದರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದಕ್ಷತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.


We can simulate indexed access in NAND-TM.

ನಾವು NAND-TM ನಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಅನುಕರಿಸಬಹುದು.


The concept of recursion can be implemented using a stack data structure.

ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಟಾಕ್ ಡೇಟಾ ರಚನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಳವಡಿಸಬಹುದು.


Actual microprocessors have a fixed word size.

ನಿಜವಾದ ಮೈಕ್ರೊಪ್ರೊಸೆಸರ್‌ಗಳು ಸ್ಥಿರ ಪದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.


The main difference between RAM machines and microprocessors is the word size.

RAM ಯಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಮೈಕ್ರೊಪ್ರೊಸೆಸರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಪದದ ಗಾತ್ರ.


We can choose the model of our convenience for the task at hand.

ನಾವು ಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಮ್ಮ ಅನುಕೂಲಕರ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು.


This is a powerful principle that underlies the vast reach of Computer Science.

ಇದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ವಿಸ್ತಾರವಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಪ್ರಬಲ ತತ್ವವಾಗಿದೆ.


The techniques we develop allow us to show that all general-purpose programming languages are Turing Complete.

ನಾವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದ್ದೇಶದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ.


The memory of a RAM machine is an array of unbounded size.

RAM ಯಂತ್ರದ ಮೆಮೊರಿಯು ಅನಿಯಮಿತ ಗಾತ್ರದ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ.


We can transform every Turing machine into a NAND-TM program.

ನಾವು ಪ್ರತಿ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವನ್ನು NAND-TM ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು.


The algorithm efficiently sorts the data.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


Please provide more details about the project.

ಯೋಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ದಯವಿಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿ.


The company announced a new product launch.

ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನ ಬಿಡುಗಡೆಯನ್ನು ಘೋಷಿಸಿತು.


ನೀವು ಈ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ನನಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದೇ?


The weather forecast predicts rain tomorrow.

ನಾಳೆಯ ಹವಾಮಾನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಮಳೆಯಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.


ಅವರು ತುಂಬಾ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಸಂಗೀತಗಾರ.


The research paper explores various aspects of the topic.

ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಬಂಧವು ವಿಷಯದ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


Despite the challenges, they succeeded in their mission.

ಸವಾಲುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ತಮ್ಮ ಗುರಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರು.


The government implemented new policies to boost the economy.

ಆರ್ಥಿಕತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತಂದಿತು.


I am looking forward to our meeting next week.

ನಾವು ಮುಂದಿನ ವಾರ ಭೇಟಿಯಾಗಲು ಎದುರು ನೋಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.


The complex equation requires careful analysis.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


The artist's work reflects a deep understanding of human emotions.

ಕಲಾವಿದನ ಕೆಲಸವು ಮಾನವ ಭಾವನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಆಳವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ.


The implications of the new technology are far-reaching.

ಹೊಸ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಪರಿಣಾಮಗಳು ದೂರಗಾಮಿ ಆಗಿವೆ.


The negotiations were protracted and ultimately unsuccessful.

ಚರ್ಚೆಗಳು ದೀರ್ಘಕಾಲ ನಡೆದವು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಲಿಲ್ಲ.


Understanding the nuances of the situation is crucial for making informed decisions.

ಮಾಹಿತಿಯುಕ್ತ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


The philosophical debate explored the nature of consciousness and reality.

ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಚರ್ಚೆಯು ಪ್ರಜ್ಞೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸಿತು.


The company's strategic plan involves significant restructuring.

ಕಂಪನಿಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಯೋಜನೆಯು ಗಮನಾರ್ಹ ಪುನರ್ರಚನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


The scientific community is divided on the validity of the hypothesis.

ಊಹೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯವು ವಿಭಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.


The intricate design of the system required advanced engineering skills.

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸುಧಾರಿತ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಬೇಕಾಗಿದ್ದವು.


Despite facing adversity, the team demonstrated remarkable resilience and determination.

ಪ್ರತಿಕೂಲ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಎದುರಿಸಿದರೂ, ತಂಡವು ಗಮನಾರ್ಹ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಮತ್ತು ದೃಢತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿತು.


The concept of a universal machine is fundamental to computer science.

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಯಂತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ.


Turing machines can simulate any other computational model.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳು ಯಾವುದೇ ಇತರ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಕರಿಸಬಹುದು.


A universal Turing machine can execute any program.

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು.


The halting problem is a classic example of an uncomputable function.

ನಿಲುಗಡೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಣಿಸಲಾಗದ ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.


Reductions are used to prove the uncomputability of certain problems.

ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಕಡಿತಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


The existence of a universal machine revolutionized information technology.

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಯಂತ್ರದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಮಾಹಿತಿ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿತು.


Software allows a universal machine to perform arbitrary computations.

ಯಾವುದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಯಂತ್ರವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.


A program can be represented as a string and input to a universal machine.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಯಂತ್ರಕ್ಕೆ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಮಾಡಬಹುದು.


Uncomputable functions challenge the intuitions of mathematicians.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಗಣಿತಜ್ಞರ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಪ್ರಶ್ನಿಸುತ್ತವೆ.


The universal Turing machine is an interpreter for Turing machines.

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಇಂಟರ್ಪ್ರಿಟರ್ ಆಗಿದೆ.


The machine simulates the execution of another machine.

ಯಂತ್ರವು ಮತ್ತೊಂದು ಯಂತ್ರದ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಅನುಕರಿಸುತ್ತದೆ.


Self-reference leads to counter-intuitive phenomena in computing.

ಸ್ವಯಂ ಉಲ್ಲೇಖವು ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಲ್ಲದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.


The universal machine can evaluate itself.

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಯಂತ್ರವು ತನ್ನನ್ನು ತಾನೇ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು.


The theorem proves the existence of a universal Turing machine.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.


The machine halts on an input and outputs a result.

ಯಂತ್ರವು ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.


If the machine does not halt, the universal machine also does not halt.

ಯಂತ್ರವು ನಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಯಂತ್ರವೂ ಸಹ ನಿಲ್ಲುವುದಿಲ್ಲ.


The proof idea is not that hard once you understand the theorem.

ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ ಪುರಾವೆ ಕಲ್ಪನೆ ಅಷ್ಟು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ.


The universal machine is an interpreter.

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಯಂತ್ರವು ಒಂದು ಇಂಟರ್ಪ್ರಿಟರ್ ಆಗಿದೆ.


The machine gets a representation of the machine and the input.

ಯಂತ್ರವು ಯಂತ್ರ ಮತ್ತು ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.


Think of how you would code the universal machine.

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಯಂತ್ರವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಿ.


Solution: λy.x is the function that on input y ignores its input and outputs x.

ಪರಿಹಾರ: λy.x ಎಂಬುದು y ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವ ಮತ್ತು x ಅನ್ನು ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.


Hence (λx.(λy.x))2 yields the function y ↦ 2 (or, using λ notation, the function λy.2).

ಆದ್ದರಿಂದ (λx.(λy.x))2 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ y ↦ 2 (ಅಥವಾ, λ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕಾರ್ಯ λy.2).


Generally, we can use the λ expression λx.(λy.f(x,y)) to simulate the effect of a two argument function (x,y) ↦ f(x,y).

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡು ವಾದಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು λ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ λx.(λy.f(x,y)) ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (x,y) ↦ f(x,y).


ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಕರಿಯಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.


We will use the shorthand λx,y.e for λx.(λy.e).

ನಾವು λx.(λy.e) ಗಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ λx,y.e ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.


If f = λx.(λy.e) then (f a)b corresponds to applying fa and then invoking the resulting function on b, obtaining the result of replacing in e the occurrences of x with a and occurrences of b with y.

f = λx.(λy.e) ಆಗಿದ್ದರೆ (f a)b, fa ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ b ನಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯುವುದು, e ನಲ್ಲಿ x ನ ಘಟನೆಗಳನ್ನು a ಮತ್ತು b ನ ಘಟನೆಗಳನ್ನು y ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು.


We now provide a formal description of the λ calculus.

ನಾವು ಈಗ λ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಔಪಚಾರಿಕ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ.


Formally λ expressions are defined as follows:

ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ λ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:


ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 8.12— λ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ.


A λ expression is either a single variable identifier or an expression e of the one of the following forms:

λ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಒಂದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ:


Application: e = (e′ e′′), where e′ and e′′ are λ expressions.

ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್: e = (e′ e′′), ಇಲ್ಲಿ e′ ಮತ್ತು e′′ λ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ.


Abstraction: e = λx.(e′) where e′ is a λ expression.

ಅಮೂರ್ತತೆ: e = λx.(e′) ಇಲ್ಲಿ e′ ಒಂದು λ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ.


Definition 8.12 is a recursive definition since we defined the concept of λ expressions in terms of itself.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 8.12 ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು λ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅದರ ಸ್ವಂತ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ.


Consider how we define an arithmetic expression: it is an expression that is either just a number, or has one of the forms (e+e′), (e−e′), (e×e′), or (e÷e′), where e and e′ are other arithmetic expressions.

ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಇದು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ (e+e′), (e−e′), (e×e′), ಅಥವಾ (e÷e′) ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ e ಮತ್ತು e′ ಇತರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ.


Variables in a λ expression can either be free or bound to a λ operator.

λ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು λ ಆಪರೇಟರ್‌ಗೆ ಉಚಿತ ಅಥವಾ ಬಂಧಿತವಾಗಿರಬಹುದು.


In an abstraction expression e = λvar.(e′), all free occurrences of var in e′ are bound to the λ operator of e.

ಅಮೂರ್ತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ e = λvar.(e′), e′ ನಲ್ಲಿ var ನ ಎಲ್ಲಾ ಉಚಿತ ಘಟನೆಗಳು e ನ λ ಆಪರೇಟರ್‌ಗೆ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.


Function application associates from left to right, and so fgh is the same as (fg)h.

ಕಾರ್ಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ fgh (fg)h ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.


As mentioned in Section 8.5.2, we also use the shorthand λx,y.e for λx.(λy.e) and the shorthand f(x,y) for (f x) y.

ವಿಭಾಗ 8.5.2 ರಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದಂತೆ, ನಾವು λx.(λy.e) ಗಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ λx,y.e ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು (f x) y ಗಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ f(x,y) ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.


This plays nicely with the “Currying” transformation of simulating multi-input functions using λ expressions.

λ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹು-ಇನ್‌ಪುಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವ “ಕರಿಯಿಂಗ್” ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.


You can use an array or a dictionary to encode the transition function.

ನೀವು ಪರಿವರ್ತನೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎನ್‌ಕೋಡ್ ಮಾಡಲು ಅರೇ ಅಥವಾ ಡಿಕ್ಷನರಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.


The interpreter will continue the simulation until the machine halts.

ಯಂತ್ರವು ನಿಲ್ಲುವವರೆಗೆ ಇಂಟರ್ಪ್ರಿಟರ್ ಅನುಕರಣೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತದೆ.


This is a concept that has a long history in computer science.

ಇದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.


We need to fix some representation for Turing machines as strings.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ನಾವು ಕೆಲವು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.


We can represent every Turing machine as a string.

ನಾವು ಪ್ರತಿ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವನ್ನು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.


Given the string representation of a Turing machine and an input, we can simulate its execution.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಮತ್ತು ಇನ್‌ಪುಟ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಅದರ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಅನುಕರಿಸಬಹುದು.


We can easily write a Python program that evaluates a Turing machine.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಪೈಥಾನ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.


With enough effort, we can translate this Python code line by line to a Turing machine.

ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಯತ್ನದಿಂದ, ನಾವು ಈ ಪೈಥಾನ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಸಾಲು ಸಾಲಾಗಿ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು.


We can represent a dictionary as simply a list of pairs.

ನಾವು ನಿಘಂಟನ್ನು ಜೋಡಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.


The details of the representation scheme of Turing machines as strings are immaterial.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಯೋಜನೆಯ ವಿವರಗಳು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ.


The argument in the proof is a very inefficient way to implement the dictionary data structure.

ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿನ ವಾದವು ನಿಘಂಟು ಡೇಟಾ ರಚನೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಬಹಳ ಅಸಮರ್ಥ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.


Researchers have attempted to find the smallest possible universal Turing machines.

ಸಂಶೋಧಕರು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದಾರೆ.


The existence of even a single such machine is extremely fundamental.

ಅಂತಹ ಒಂದೇ ಯಂತ್ರದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ.


Theorem 9.1 immediately implies there exists a universal NAND-TM program.

ಪ್ರಮೇಯ 9.1 ತಕ್ಷಣವೇ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ NAND-TM ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.


Compilers for programming languages are often used to compile themselves.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳಿಗಾಗಿ ಕಂಪೈಲರ್‌ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತಮ್ಮನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


There are universal Turing machines known that require a very small number of states.

ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ.


We saw that NAND-CIRC programs can compute every finite function.

NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.


There exists a function that is uncomputable.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ.


The notion of an uncomputable function seems to be a contradiction.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ.


We will show that the uncomputability of F* implies the uncomputability of HALT.

F* ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯು HALT ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.


The algorithm efficiently computes whether a string can be derived from a grammar.

ಒಂದು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಕರಣದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದೇ ಎಂದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


Context-free grammars are more powerful than regular expressions.

ಸಂದರ್ಭ-ಮುಕ್ತ ವ್ಯಾಕರಣಗಳು ನಿಯಮಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಶಕ್ತಿಯುತವಾಗಿವೆ.


The parser transforms the source code into a parse tree.

ಪಾರ್ಸರ್ ಮೂಲ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಪಾರ್ಸ್ ಮರಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.


This tree is known as the parse tree of the string.

ಈ ಮರವನ್ನು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ನ ಪಾರ್ಸ್ ಮರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.


Context-free grammars can capture every regular expression.

ಸಂದರ್ಭ-ಮುಕ್ತ ವ್ಯಾಕರಣಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಯಮಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯಬಹುದು.


We can define grammars to compute the function.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ವ್ಯಾಕರಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.


The grammar generates exactly the strings.

ವ್ಯಾಕರಣವು ನಿಖರವಾಗಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ.


Prove that there is a context free grammar that computes NPAL.

NPAL ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಂದರ್ಭ-ಮುಕ್ತ ವ್ಯಾಕರಣವಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.


Even though context-free grammars are more powerful, there are limitations.

ಸಂದರ್ಭ-ಮುಕ್ತ ವ್ಯಾಕರಣಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಶಕ್ತಿಯುತವಾಗಿದ್ದರೂ, ಮಿತಿಗಳಿವೆ.


The context-free pumping lemma is a useful tool.

ಸಂದರ್ಭ-ಮುಕ್ತ ಪಂಪಿಂಗ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಒಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ.


If a long enough string is matched by a grammar, there must be a variable that is repeated.

ಒಂದು ವ್ಯಾಕರಣದಿಂದ ಸಾಕಷ್ಟು ಉದ್ದವಾದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗುವ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಇರಬೇಕು.


ಕಾರ್ಯವು ಸಂದರ್ಭ ಮುಕ್ತವಲ್ಲ.


CFG ಗಳಿಗಾಗಿ ಶೂನ್ಯತೆಯು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.


The proof is easier to see if we transform the grammar.

ನಾವು ವ್ಯಾಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.


The equivalence problem for context free grammars is uncomputable.

ಸಂದರ್ಭ ಮುಕ್ತ ವ್ಯಾಕರಣಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.


CFG ಗಳ ಪೂರ್ಣತೆಯು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.


We can often trade expressiveness for amenability to analysis.

ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.


Regular expressions are a restricted model of computation.

ನಿಯಮಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಒಂದು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ.


Context free grammars is a stronger model of computation.

ಸಂದರ್ಭ ಮುಕ್ತ ವ್ಯಾಕರಣಗಳು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಒಂದು ಬಲವಾದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ.


The halting problem for context free grammars is computable.

ಸಂದರ್ಭ ಮುಕ್ತ ವ್ಯಾಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ ನಿಲುಗಡೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.


If we know that HALT is uncomputable, and we want to show that some other function BLAH is uncomputable, then we can do so via a contrapositive argument.

HALT ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯ BLAH ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ನಾವು ಬಯಸಿದರೆ, ನಾವು ಇದನ್ನು ವಿರೋಧಾತ್ಮಕ ವಾದದ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು.


That is, we show that if there exists a Turing machine that computes BLAH then there exists a Turing machine that computes HALT.

ಅಂದರೆ, BLAH ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವಿದ್ದರೆ, HALT ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.


For example, to prove that BLAH is uncomputable, we could show that there is a computable function R such that for every pair M and x, HALT(M,x) = BLAH(R(M,x)).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, BLAH ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ M ಮತ್ತು x ಗಾಗಿ HALT(M,x) = BLAH(R(M,x)) ಆಗಿರುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯ R ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬಹುದು.


The confusing part about reductions is that we are assuming something we believe is false to derive something that we know is false.

ಕಡಿತಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಗೊಂದಲಮಯ ಭಾಗವೆಂದರೆ ನಾವು ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ನಂಬುವದನ್ನು ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.


A reduction-based proof has two components.

ಕಡಿತ-ಆಧಾರಿತ ಪುರಾವೆ ಎರಡು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.


For starters, since we need R to be computable, we should describe the algorithm to compute it.

ಪ್ರಾರಂಭಿಕರಿಗಾಗಿ, R ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಬೇಕು.


The algorithm to compute R is known as a reduction since the transformation R modifies an input to HALT to an input to BLAH.

R ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕಡಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ರೂಪಾಂತರ R, HALT ಗೆ ಇನ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು BLAH ಗೆ ಇನ್ಪುಟ್ಗೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ.


The second component of a reduction-based proof is the analysis of the algorithm R: namely a proof that R does indeed satisfy the desired properties.

ಕಡಿತ-ಆಧಾರಿತ ಪುರಾವೆಯ ಎರಡನೇ ಘಟಕವೆಂದರೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ R ನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ: ಅಂದರೆ R ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ.


A reduction is an algorithm, which means that, as discussed in Remark 0.3, a reduction has three components.

ಕಡಿತವು ಒಂದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಟಿಪ್ಪಣಿ 0.3 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ, ಕಡಿತವು ಮೂರು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.


Specification (what): In the case of a reduction from HALT to BLAH, the specification is that function R should satisfy that HALT(M,x) = BLAH(R(M,x)) for every Turing machine M and input x.

ವಿವರಣೆ (ಏನು): HALT ನಿಂದ BLAH ಗೆ ಕಡಿತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರ M ಮತ್ತು ಇನ್ಪುಟ್ x ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯ R, HALT(M,x) = BLAH(R(M,x)) ಅನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು.


In general, to reduce a function F to G, the reduction should satisfy F(w) = G(R(w)) for every input w to F.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯ F ಅನ್ನು G ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ಕಡಿತವು F ನ ಪ್ರತಿ ಇನ್ಪುಟ್ w ಗಾಗಿ F(w) = G(R(w)) ಅನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು.


Implementation (how): The algorithm’s description: the precise instructions how to transform an input w to the output y = R(w).

ಅನುಷ್ಠಾನ (ಹೇಗೆ): ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ವಿವರಣೆ: ಇನ್ಪುಟ್ w ಅನ್ನು ಔಟ್‌ಪುಟ್ y = R(w) ಗೆ ಹೇಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ನಿಖರ ಸೂಚನೆಗಳು.


Analysis (why): A proof that the algorithm meets the specification.

ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (ಏಕೆ): ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ.


In particular, in a reduction from F to G this is a proof that for every input w, the output y = R(w) of the algorithm satisfies that F(w) = G(y).

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, F ನಿಂದ G ಗೆ ಕಡಿತದಲ್ಲಿ ಇದು ಪ್ರತಿ ಇನ್ಪುಟ್ w ಗಾಗಿ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಔಟ್‌ಪುಟ್ y = R(w), F(w) = G(y) ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ.


Here is a concrete example for a proof by reduction.

ಇಲ್ಲಿ ಕಡಿತದ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆ ಇದೆ.


We define the function HALTONZERO : {0,1}* -> {0,1} as follows.

ನಾವು ಕಾರ್ಯ HALTONZERO : {0,1}* -> {0,1} ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.


Given any string M, HALTONZERO(M) = 1 if and only if M describes a Turing machine that halts when it is given the string 0 as input.

ಯಾವುದೇ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ M ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, M ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಇನ್ಪುಟ್ ಆಗಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ 0 ಅನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ನಿಲ್ಲಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ HALTONZERO(M) = 1.


A priori HALTONZERO seems like a potentially easier function to compute than the full-fledged HALT function, and so we could perhaps hope that it is not uncomputable.

ಪೂರ್ವಾನುಭವದ ಪ್ರಕಾರ HALTONZERO ಸಂಪೂರ್ಣ HALT ಕಾರ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾದ ಕಾರ್ಯದಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಬಹುಶಃ ಭಾವಿಸಬಹುದು.


The proof of Theorem 9.9 is below, but before reading it you might want to pause for a couple of minutes and think how you would prove it yourself.

ಪ್ರಮೇಯ 9.9 ರ ಪುರಾವೆ ಕೆಳಗೆ ಇದೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಓದುವ ಮೊದಲು ನೀವು ಕೆಲವು ನಿಮಿಷಗಳ ಕಾಲ ವಿರಾಮಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ನೀವೇ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಲು ಬಯಸಬಹುದು.


In particular, try to think of what a reduction from HALT to HALTONZERO would look like.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, HALT ನಿಂದ HALTONZERO ಗೆ ಕಡಿತವು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಯೋಚಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.


We saw a few examples of elements in the latter set that are not in the former.

ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರದ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.


Unlike in the case of finite computation, the input to the program can be a machine that has more states than itself.

ಸೀಮಿತ ಗಣನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗೆ ಇನ್ಪುಟ್ ತನ್ನದೇ ಆದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಯಂತ್ರವಾಗಿರಬಹುದು.


These include not only some “degenerate” or “esoteric” functions but also functions that people have deeply cared about.

ಇವು ಕೆಲವು “ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ” ಅಥವಾ “ಗುಪ್ತ” ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಜನರು ಆಳವಾಗಿ ಕಾಳಜಿ ವಹಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿವೆ.


If the Church-Turing thesis holds then a function that is uncomputable according to our definition cannot be computed by any means in our physical world.

ಚರ್ಚ್-ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಪ್ರಬಂಧವು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಮ್ಮ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಮ್ಮ ಭೌತಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.


NANDRAMHALT ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.


TIMEDHALT ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.


SPACEHALT ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.


Suppose that F and G are computable functions.

ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.


Prove that the following function FINITE is uncomputable.

ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯ FINITE ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.


EQ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.


For each of the following two functions, say whether it is computable or not.

ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂದು ಹೇಳಿ.


ಎಫ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.


Define a function F to be recursively enumerable.

ಕಾರ್ಯ F ಅನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ.


Prove that every computable F is also recursively enumerable.

ಪ್ರತಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಎಫ್ ಸಹ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.


Prove that there exists F that is not computable but is recursively enumerable.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದ ಆದರೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಎಫ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.


Prove that for every Turing machine M, if we define F M to be the function such that F M(x) = 1 if and only if x belongs to L(M) then F M is recursively enumerable.

ಪ್ರತಿ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರ ಎಂ ಗಾಗಿ, ನಾವು ಎಫ್ ಎಂ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಎಫ್ ಎಂ(ಎಕ್ಸ್) = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಎಕ್ಸ್ ಎಲ್(ಎಂ) ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ ಎಫ್ ಎಂ ಅನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.


We can use restricted computational models to bypass limitations such as uncomputability of the Halting problem and Rice’s Theorem.

ನಾವು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಾಲ್ಟಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಸಾಧ್ಯತೆ ಮತ್ತು ರೈಸ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದಂತಹ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬೈಪಾಸ್ ಮಾಡಬಹುದು.


Turing completeness is not always a good thing, as it means that such formalisms can give rise to arbitrarily complex behavior.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಳ್ಳೆಯದಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಔಪಚಾರಿಕತೆಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಡವಳಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು.


The idea was to create a smart contract that would create an autonomously run decentralized venture capital fund, without human managers.

ಮಾನವ ವ್ಯವಸ್ಥಾಪಕರಿಲ್ಲದೆ, ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ವಿಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಸಾಹಸೋದ್ಯಮ ಬಂಡವಾಳ ನಿಧಿಯನ್ನು ರಚಿಸುವ ಸ್ಮಾರ್ಟ್ ಒಪ್ಪಂದವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿತ್ತು.


A context free grammar (CFG) is a formal way of specifying such conditions.

ಸಂದರ್ಭ ಮುಕ್ತ ವ್ಯಾಕರಣ (CFG) ಅಂತಹ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಔಪಚಾರಿಕ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.


The theorem is potentially easier to prove than the previous one.

ಪ್ರಮೇಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.


A quantified mixed statement's uncomputability is a key concept.

ಒಂದು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮಿಶ್ರ ಹೇಳಿಕೆಯ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.


The proof uses a reduction from the Halting problem.

ಈ ಪುರಾವೆಯು ಹಾಲ್ಟಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಕಡಿತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.


We can encode a configuration as a binary string.

ನಾವು ಒಂದು ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಬೈನರಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿ ಎನ್‌ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು.


A program halts on input if a sequence of configurations exists.

ಸಂರಚನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ.


The proof is obtained by a reduction from the Halting problem.

ಹಾಲ್ಟಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಕಡಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.


For every Turing machine, there is a finite alphabet.

ಪ್ರತಿ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಕ್ಕೆ, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ವರ್ಣಮಾಲೆ ಇದೆ.


A configuration encodes the state of the program.

ಸಂರಚನೆಯು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಎನ್‌ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


i ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಸೂಚ್ಯಂಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ.


We can define a quantified mixed predicate.

ನಾವು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮಿಶ್ರ ಮುನ್ಸೂಚಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.


The uncomputability of QMS implies the uncomputability of QIS.

QMS ನ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯು QIS ನ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.


This reduces computing HALTONZERO to computing QMS.

ಇದು HALTONZERO ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು QMS ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


We will use the notion of a configuration of a Turing machine.

ನಾವು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರದ ಸಂರಚನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.


The proof of Theorem 11.9 all boils down to finding the right encoding.

ಪ್ರಮೇಯ 11.9 ರ ಪುರಾವೆಯು ಸರಿಯಾದ ಎನ್‌ಕೋಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬರುತ್ತದೆ.


We can express it using logical operations.

ನಾವು ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.


FINDPROOF ಕಾರ್ಯವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.


The input can be thought of as a finite collection.

ಇನ್‌ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಗ್ರಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.


We can define an axiomatic proof system.

ನಾವು ಒಂದು ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತ ಪುರಾವೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.