The MRDP theorem states that the problem is uncomputable.

MRDP ಪ್ರಮೇಯವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.


The Busy Beaver problem is also discussed.

ಬ್ಯುಸಿ ಬೀವರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.


The discovery of calculus by Newton and Leibnitz ushered a golden age of problem solving.

ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಟ್ಜ್ ಅವರಿಂದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಆವಿಷ್ಕಾರವು ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರದ ಸುವರ್ಣ ಯುಗಕ್ಕೆ ನಾಂದಿ ಹಾಡಿತು.


Many longstanding challenges succumbed to the new tools that were discovered.

ಅನೇಕ ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಸವಾಲುಗಳು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲ್ಪಟ್ಟ ಹೊಸ ಪರಿಕರಗಳಿಗೆ ಶರಣಾದವು.


Mathematicians manipulated infinitesimal quantities and infinite series cavalierly.

ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅಲ್ಪ ಪ್ರಮಾಣದ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಿದರು.


This led to a growing sense of unease in the foundations of the subject.

ಇದು ವಿಷಯದ ಅಡಿಪಾಯದಲ್ಲಿ ಅಸ್ವಸ್ಥತೆಯ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಜ್ಞೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು.


In the beginning of the 20th century, there was an effort to replicate this effort, in greater rigor, to all parts of mathematics.

20 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶ್ರದ್ಧೆಯಿಂದ ಈ ಪ್ರಯತ್ನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನವಿತ್ತು.


The hope was to show that all the true results of mathematics can be obtained by starting with a number of axioms.

ಗಣಿತದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಜವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧತೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಇದರ ಆಶಯವಾಗಿತ್ತು.


This effort was known as the Hilbert program, named after the influential mathematician David Hilbert.

ಈ ಪ್ರಯತ್ನವನ್ನು ಪ್ರಭಾವಿ ಗಣಿತಜ್ಞ ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು.


For every sound proof system for sufficiently rich mathematical statements, there is a mathematical statement that is true but is not provable in this system.

ಯಾವುದೇ ಸಾಕಷ್ಟು ಶ್ರೀಮಂತ ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ಧ್ವನಿ ಪುರಾವೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಯಿದೆ ಅದು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗುವುದಿಲ್ಲ.


At the highest level, a mathematical statement is simply a piece of text.

ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸರಳವಾಗಿ ಪಠ್ಯದ ತುಣುಕು.


Mathematical statements contain assertions whose truth does not depend on any empirical fact.

ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಗತಿಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.


For example, the following is a mathematical statement: “The number is prime”.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವು ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ: “ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ”.


Mathematical statements do not have to involve numbers.

ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.


They can assert properties of any other mathematical object including sets, strings, functions, graphs and yes, even programs.

ಇವು ಸೆಟ್‌ಗಳು, ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳು, ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಹೌದು, ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು.


A proof for a statement is another piece of text that certifies the truth of the statement asserted.

ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆಗಾಗಿ ಪುರಾವೆಯು ಹೇಳಿಕೆಯ ಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಪಠ್ಯವಾಗಿದೆ.


Given a statement and a proof, there is an algorithm to verify whether or not is a valid proof.

ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಮಾನ್ಯವಾದ ಪುರಾವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಒಂದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇದೆ.


If there is a valid proof for then is true.

ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾದ ಪುರಾವೆ ಇದ್ದರೆ ಆಗ ಅದು ನಿಜ.


These are quite minimal requirements for a proof system.

ಇವು ಪುರಾವೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳಾಗಿವೆ.


If there is no set of rules to check that a proof is valid then in what sense is it a proof system?

ಪುರಾವೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಯಾವುದೇ ನಿಯಮಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಯಾವ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ?


We formally define proof systems as an algorithm where holds if the string is a valid proof for the statement.

ನಾವು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಪುರಾವೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಹೇಳಿಕೆಗಾಗಿ ಮಾನ್ಯವಾದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದ್ದರೆ.


Even if is true, the string does not have to be a valid proof for it.

ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅದಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.


The shortest path problem is a fundamental concept in graph theory.

ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.


Graphs are widely used to model various real-world scenarios.

ವಿವಿಧ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಮಾದರಿಯಾಗಿಸಲು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


Finding the shortest path between two points is a common task.

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.


Dijkstra's algorithm is a well-known method for solving this problem.

ಡೈಕ್‌ಸ್ಟ್ರಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.


The maximum cut problem is another important problem in graph theory.

ಗರಿಷ್ಠ ಕಟ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.


Understanding these concepts is crucial for computer science students.

ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅತ್ಯಗತ್ಯ.


The algorithm's efficiency depends on the data structures used.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ದಕ್ಷತೆಯು ಬಳಸಿದ ಡೇಟಾ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ.


Graphs can represent relationships between different entities.

ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಘಟಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.


The traveling salesman problem is a classic optimization challenge.

ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಮಾರಾಟಗಾರರ ಸಮಸ್ಯೆ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸವಾಲಾಗಿದೆ.


Convexity plays a significant role in optimization problems.

ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪೀನತೆಯು ಮಹತ್ವದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ.


Linear programming provides a powerful tool for solving various problems.

ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಒಂದು ಶಕ್ತಿಯುತ ಸಾಧನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.


The minimum cut problem is related to network flow.

ಕನಿಷ್ಠ ಕಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್ ಹರಿವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.


We can use graphs to model social networks.

ಸಾಮಾಜಿಕ ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾದರಿಯಾಗಿಸಲು ನಾವು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.


The concept of running time is crucial in algorithm analysis.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ರನ್ನಿಂಗ್ ಟೈಮ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


The Ford-Fulkerson algorithm is used to compute maximum flow.

ಗರಿಷ್ಠ ಹರಿವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಫೋರ್ಡ್-ಫಲ್ಕರ್ಸನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


Understanding the properties of graphs is essential.

ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅತ್ಯಗತ್ಯ.


The SAT problem is a fundamental problem in computer science.

SAT ಸಮಸ್ಯೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.


2-SAT is a special case of the SAT problem.

2-SAT ಎಂಬುದು SAT ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.


The maximum flow min cut theorem is a key result.

ಗರಿಷ್ಠ ಹರಿವು ಕನಿಷ್ಠ ಕಟ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ.


Algorithms and data structures are core topics in computer science.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಡೇಟಾ ರಚನೆಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯಗಳಾಗಿವೆ.


Turing machines are a fundamental concept in computer science.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.


The extended Church-Turing thesis is a key idea in theoretical computer science.

ವಿಸ್ತೃತ ಚರ್ಚ್-ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಪ್ರಬಂಧವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಚಾರವಾಗಿದೆ.


Polynomial time algorithms are considered efficient.

ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


Exponential time algorithms become impractical for large inputs.

ದೊಡ್ಡ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ಘಾತೀಯ ಸಮಯದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಲ್ಲದವು.


RAM machines are closer to real-world computing architectures.

RAM ಯಂತ್ರಗಳು ನಿಜವಾದ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಆರ್ಕಿಟೆಕ್ಚರ್‌ಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ.


The difference between polynomial and exponential time is crucial.

ಬಹುಪದೀಯ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಸಮಯದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ.


Understanding the concept of time complexity is essential.

ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅತ್ಯಗತ್ಯ.


Turing machines can simulate RAM machines.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳು RAM ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸಬಹುದು.


The halting problem is undecidable for Turing machines.

ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳಿಗೆ ನಿಲುಗಡೆ ಸಮಸ್ಯೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.


Efficient algorithms are highly sought after in computer science.

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸಮರ್ಥ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ.


The extended Church-Turing thesis is still debated.

ವಿಸ್ತೃತ ಚರ್ಚ್-ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.


Quantum computers may challenge the extended Church-Turing thesis.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳು ವಿಸ್ತೃತ ಚರ್ಚ್-ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಶ್ನಿಸಬಹುದು.


The concept of P versus NP is a major unsolved problem.

P ವಿರುದ್ಧ NP ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.


NAND-RAM programs are used to model running time.

NAND-RAM ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಚಾಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಯವನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


The universal Turing machine is a fundamental concept.

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರವು ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.


The efficiency of an algorithm is a key consideration.

ಕ್ರಮಾವಳಿಯ ದಕ್ಷತೆಯು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಗಣನೆಯಾಗಿದೆ.


Many problems are in EXP but not known to be in P.

ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು EXP ನಲ್ಲಿವೆ ಆದರೆ P ನಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.


The choice of computational model matters for efficiency.

ದಕ್ಷತೆಗಾಗಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮಾದರಿಯ ಆಯ್ಕೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


ಪ್ರಮೇಯ 13.5 ರ ಪುರಾವೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ.


Understanding the limitations of computation is important.

ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್‌ನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


The algorithm efficiently solves the connectivity problem in directed graphs.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ.


Changing from two to three variables can significantly impact computational complexity.

ಎರಡರಿಂದ ಮೂರು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಗಣನೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ.


Despite considerable effort, a significantly better algorithm for 3SAT remains unknown.

ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಯತ್ನದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, 3SAT ಗಾಗಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.


The difference between two and three often highlights the difference between tractable and intractable problems.

ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಕಷ್ಟಕರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.


Solving linear equations is a frequently encountered problem.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಎದುರಾಗುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.


Gaussian elimination is a standard method for solving such equations.

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.


Linear programming can handle linear inequalities with some loss of precision.

ಕೆಲವು ನಿಖರತೆಯ ನಷ್ಟದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು.


Integer solutions make solving linear equations or inequalities an integer programming problem.

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


The input length corresponds to the number of bits needed to describe a number.

ಇನ್‌ಪುಟ್ ಉದ್ದವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.


There is a huge difference between having a billion dollars and nine dollars.

ಒಂದು ಬಿಲಿಯನ್ ಡಾಲರ್ ಮತ್ತು ಒಂಬತ್ತು ಡಾಲರ್ ಹೊಂದಿರುವ ನಡುವೆ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ.


Finding the prime factors of a given integer is a complex problem.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.


Solving quadratic equations in several variables is a classical problem.

ಅನೇಕ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.


The determinant of a matrix is an important quantity in linear algebra.

ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ.


The determinant is non-zero if and only if the matrix has an inverse.

ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.


The determinant can be used to solve equations of the form Ax = b.

Ax = b ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.


The permanent of a matrix is defined similarly to the determinant.

ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.


The permanent of a matrix has applications in combinatorics and graph theory.

ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸಂಯೋಜಕತೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.


We can compute the permanent modulo 2 in polynomial time.

ನಾವು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 2 ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.


Finding a Nash equilibrium is a complex problem in game theory.

ನಾಶ್ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.


Determining whether a number is prime or composite is a classical problem.

ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಸಂಯುಕ್ತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.


The time complexity of the algorithm is O(n).

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ O(n) ಆಗಿದೆ.


Please provide the input data for the program.

ದಯವಿಟ್ಟು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗೆ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಡೇಟಾವನ್ನು ಒದಗಿಸಿ.


ಕಾರ್ಯವು ಬೂಲಿಯನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ.


The news reported a significant increase in the stock market.

ವಾರ್ತೆಗಳು ಷೇರು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಗಣನೀಯ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ವರದಿ ಮಾಡಿದೆ.


She is studying computer science at the university.

ಅವಳು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾಳೆ.


The company is developing new software applications.

ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತಿದೆ.


The algorithm efficiently sorts the data.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


The government announced new economic policies.

ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ಆರ್ಥಿಕ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಘೋಷಿಸಿತು.


The research paper explores the complexities of artificial intelligence.

ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಬಂಧವು ಕೃತಕ ಬುದ್ಧಿಮತ್ತೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


Despite the challenges, the team completed the project successfully.

ಸವಾಲುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ತಂಡವು ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿತು.


The implications of the new technology are far-reaching and complex.

ಹೊಸ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಪರಿಣಾಮಗಳು ದೂರಗಾಮಿ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ.


The study analyzes the impact of climate change on biodiversity.

ಅಧ್ಯಯನವು ಜೀವವೈವಿಧ್ಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಹವಾಮಾನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತದೆ.


The company's innovative approach revolutionized the industry.

ಕಂಪನಿಯ ನವೀನ ವಿಧಾನವು ಉದ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿತು.


The intricate details of the contract were carefully reviewed by the legal team.

ಒಪ್ಪಂದದ ಜಟಿಲ ವಿವರಗಳನ್ನು ಕಾನೂನು ತಂಡವು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಿತು.


The algorithm's efficiency is crucial for processing large datasets.

ದೊಡ್ಡ ಡೇಟಾಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ದಕ್ಷತೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ.


The economic forecast predicts a period of slow growth.

ಆರ್ಥಿಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ನಿಧಾನಗತಿಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಅವಧಿಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ.


The complex system requires specialized expertise for maintenance.

ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಿರ್ವಹಣೆಗಾಗಿ ವಿಶೇಷ ಪರಿಣತಿ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.


The artist's unique style is evident in every brushstroke.

ಕಲಾವಿದನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಶೈಲಿಯು ಪ್ರತಿ ಕುಂಚದ ಹೊಡೆತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.


The scientific community is debating the ethical implications of gene editing.

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯವು ಜೀನ್ ಎಡಿಟಿಂಗ್‌ನ ನೈತಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಿದೆ.


The project's success depended on effective collaboration among the team members.

ಯೋಜನೆಯ ಯಶಸ್ಸು ತಂಡದ ಸದಸ್ಯರ ನಡುವೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಹಯೋಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿತ್ತು.


She enjoys reading novels in her free time.

ಅವಳು ಬಿಡುವಿನ ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ ಕಾದಂಬರಿಗಳನ್ನು ಓದುವುದನ್ನು ಆನಂದಿಸುತ್ತಾಳೆ.


The company announced a new product launch.

ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನ ಬಿಡುಗಡೆಯನ್ನು ಘೋಷಿಸಿತು.


ದಯವಿಟ್ಟು ನನಗೆ ಉಪ್ಪು ಕೊಡುತ್ತೀರಾ?


The weather forecast predicts rain tomorrow.

ನಾಳೆಯ ಹವಾಮಾನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಮಳೆಯಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.


He is studying computer science at the university.

ಅವರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ.


The research paper explores the impact of climate change.

ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಬಂಧವು ಹವಾಮಾನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


She is a talented musician and plays the piano beautifully.

ಅವಳು ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಸಂಗೀತಗಾರಳು ಮತ್ತು ಪಿಯಾನೋವನ್ನು ಸುಂದರವಾಗಿ ನುಡಿಸುತ್ತಾಳೆ.


The government implemented new economic policies.

ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ಆರ್ಥಿಕ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತಂದಿದೆ.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

ಸವಾಲುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು.


The complex equation requires advanced mathematical techniques.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸುಧಾರಿತ ಗಣಿತ ತಂತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.


The philosophical debate centered on the nature of reality.

ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಚರ್ಚೆಯು ವಾಸ್ತವದ ಸ್ವರೂಪದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿತ್ತು.


The company's innovative approach revolutionized the industry.

ಕಂಪನಿಯ ನವೀನ ವಿಧಾನವು ಉದ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿತು.


The intricate details of the artwork captivated the audience.

ಕಲಾಕೃತಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿವರಗಳು ಪ್ರೇಕ್ಷಕರನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸಿದವು.


The implications of the new scientific discovery are far-reaching.

ಹೊಸ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ಪರಿಣಾಮಗಳು ದೂರಗಾಮಿ ಆಗಿವೆ.


The algorithm's time complexity is analyzed using Big O notation.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಬಿಗ್ ಓ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


The socio-economic factors significantly influenced the outcome.

ಸಾಮಾಜಿಕ-ಆರ್ಥಿಕ ಅಂಶಗಳು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿತು.


The quantum entanglement phenomenon remains a mystery to scientists.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಎಂಟ್ಯಾಂಗಲ್ಮೆಂಟ್ ವಿದ್ಯಮಾನವು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ ರಹಸ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ.


The intricate interplay of various factors led to the crisis.

ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಬಿಕ್ಕಟ್ಟಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು.


The ethical considerations surrounding artificial intelligence are paramount.

ಕೃತಕ ಬುದ್ಧಿಮತ್ತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನೈತಿಕ ಪರಿಗಣನೆಗಳು ಅತ್ಯುನ್ನತವಾಗಿವೆ.


ಇಂದು ಸೂರ್ಯ ಪ್ರಕಾಶಮಾನವಾಗಿ ಹೊಳೆಯುತ್ತಿದ್ದಾನೆ.


ದಯವಿಟ್ಟು ನನಗೆ ಉಪ್ಪು ಕೊಡುತ್ತೀರಾ?


I am going to the market to buy some vegetables.

ನಾನು ತರಕಾರಿಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.


The weather forecast predicts rain for tomorrow.

ನಾಳೆಯ ಹವಾಮಾನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಮಳೆಯಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.


ಅವಳು ತುಂಬಾ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಸಂಗೀತಗಾರಳು.


The company announced a new product launch.

ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡುವುದಾಗಿ ಘೋಷಿಸಿತು.


The research team is working on a new project.

ಸಂಶೋಧನಾ ತಂಡವು ಹೊಸ ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದೆ.


He is studying for his exams diligently.

ಅವನು ತನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗಾಗಿ ಶ್ರದ್ಧೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾನೆ.


The government is implementing new policies.

ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತರುತ್ತಿದೆ.


ವೈದ್ಯರು ಅವನಿಗೆ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಸಲಹೆ ನೀಡಿದರು.


The algorithm efficiently sorts the data.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


ಸವಾಲುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು.


The economic situation is improving gradually.

ಆರ್ಥಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಕ್ರಮೇಣ ಸುಧಾರಿಸುತ್ತಿದೆ.


The complex equation requires careful analysis.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


The philosophical debate explored the nature of reality.

ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಚರ್ಚೆಯು ವಾಸ್ತವದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸಿತು.


The implications of the new technology are far-reaching.

ಹೊಸ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಪರಿಣಾಮಗಳು ದೂರಗಾಮಿ ಆಗಿವೆ.


The intricate details of the plan were meticulously examined.

ಯೋಜನೆಯ ಜಟಿಲ ವಿವರಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಯಿತು.


The negotiations reached an impasse due to irreconcilable differences.

ಸಂಧಾನವು ಹೊಂದಾಣಿಸಲಾಗದ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯಗಳಿಂದಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತಗೊಂಡಿತು.


Quantum entanglement presents a profound challenge to our understanding of physics.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಎಂಟ್ಯಾಂಗಲ್ಮೆಂಟ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಮ್ಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸವಾಲನ್ನು ಒಡ್ಡುತ್ತದೆ.


The socio-economic factors significantly influenced the outcome of the election.

ಸಾಮಾಜಿಕ-ಆರ್ಥಿಕ ಅಂಶಗಳು ಚುನಾವಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿತು.


The algorithm efficiently solves the problem.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ.


Please provide more details about the project.

ಯೋಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ದಯವಿಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿ.


The news reported a significant increase in market prices.

ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ಬೆಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಣನೀಯ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಸುದ್ದಿ ವರದಿ ಮಾಡಿದೆ.


She enjoys reading novels and watching movies.

ಅವಳು ಕಾದಂಬರಿಗಳನ್ನು ಓದುವುದನ್ನು ಮತ್ತು ಚಲನಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದನ್ನು ಆನಂದಿಸುತ್ತಾಳೆ.


The company is developing new software applications.

ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತಿದೆ.


Despite the challenges, they completed the task on time.

ಸವಾಲುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು.


The research paper explores the impact of climate change.

ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಬಂಧವು ಹವಾಮಾನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


He is a highly skilled programmer with years of experience.

ಅವರು ವರ್ಷಗಳ ಅನುಭವ ಹೊಂದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ನುರಿತ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್ ಆಗಿದ್ದಾರೆ.


The government announced new policies to boost the economy.

ಆರ್ಥಿಕತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಸರ್ಕಾರ ಹೊಸ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಘೋಷಿಸಿತು.


She is passionate about environmental conservation.

ಅವಳು ಪರಿಸರ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ಸಾಹ ಹೊಂದಿದ್ದಾಳೆ.


The complex equation requires advanced mathematical knowledge.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸುಧಾರಿತ ಗಣಿತ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


The team collaborated effectively to achieve their goals.

ತಮ್ಮ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ತಂಡವು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಸಹಕರಿಸಿತು.


The study revealed a correlation between diet and health.

ಆಹಾರ ಮತ್ತು ಆರೋಗ್ಯದ ನಡುವೆ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂದು ಅಧ್ಯಯನವು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿದೆ.


The new technology has the potential to revolutionize the industry.

ಹೊಸ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವು ಉದ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.


The negotiations were prolonged and ultimately unsuccessful.

ಚರ್ಚೆಗಳು ದೀರ್ಘಕಾಲ ನಡೆದವು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಲಿಲ್ಲ.


The philosophical debate explored the nature of consciousness.

ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಚರ್ಚೆಯು ಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸಿತು.


The intricate design of the building was admired by all.

ಕಟ್ಟಡದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಎಲ್ಲರೂ ಮೆಚ್ಚಿಕೊಂಡರು.


The economic downturn affected businesses across the country.

ಆರ್ಥಿಕ ಹಿಂಜರಿತವು ದೇಶಾದ್ಯಂತದ ವ್ಯವಹಾರಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಿತು.


The scientist conducted experiments to test the hypothesis.

ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ವಿಜ್ಞಾನಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದರು.


The artist's unique style is evident in all of their works.

ಕಲಾವಿದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಶೈಲಿಯು ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.


The algorithm's time complexity is O(n).

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ O(n) ಆಗಿದೆ.


This chapter explores the consequences of an efficient algorithm for NP-complete problems.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯವು NP-ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮರ್ಥ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


If P=NP, then we can find the longest path in a graph in polynomial time.

P=NP ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಒಂದು ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿನ ದೀರ್ಘತಮ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.


Supervised learning is a classical optimization task.

ಮೇಲ್ವಿಚಾರಿತ ಕಲಿಕೆಯು ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.


The goal is to come up with a hypothesis that predicts the label.

ಗುರಿಯು ಲೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು.


Finding the key is treated as an instance of a supervised learning problem.

ಕೀಲಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮೇಲ್ವಿಚಾರಿತ ಕಲಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.


If P=NP then almost every cryptosystem can be efficiently broken.

P=NP ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬಹುತೇಕ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಸಮರ್ಥವಾಗಿ ಮುರಿಯಬಹುದು.


This would have consequences of the greatest importance.

ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಬೀರುತ್ತದೆ.


The question is how fast φ(n) grows for an optimal machine.

ಒಂದು ಸೂಕ್ತ ಯಂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ φ(n) ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ.


We can automate mathematics in the sense of finding proofs.

ನಾವು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಗಣಿತವನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು.


ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.


The proof system is used in mathematics for geometry and number theory.

ಪುರಾವೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


This means that for every reasonable proof system, the following function is in NP.

ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಂಜಸವಾದ ಪುರಾವೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವು NP ಯಲ್ಲಿದೆ.


The chapter discusses the undecidability of the Entscheidungsproblem.

ಅಧ್ಯಾಯವು ಎಂಟ್ಶೀಡುಂಗ್ಸ್‌ಪ್ರೊಬ್ಲೆಮ್‌ನ ನಿರ್ಧಾರಾರ್ಹತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.


We can consider more general statements.

ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.


ಗುರಿಯು ಕೀಲಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.


ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಹಳ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ.


ಸಮಸ್ಯೆ NP-ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.


ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ.


The function is computable in polynomial time.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.


We can make the loop corresponding to the variables long enough.

ನಾವು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಲೂಪ್ ಅನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿಸಬಹುದು.


But if we do that, then the only way if we are able to reach is if the paths we took corresponded to a satisfying assignment.

ಆದರೆ ನಾವು ಹಾಗೆ ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ತಲುಪಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಮಾರ್ಗಗಳು ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ನಿಯೋಜನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದ್ದರೆ.


We have shown that there are a number of functions for which we can prove a statement of the form “If F ∈ P then 3SAT ∈ P”.

ನಾವು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು “F ∈ P ಆಗಿದ್ದರೆ 3SAT ∈ P” ರೂಪದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.


Hence coming up with a polynomial-time algorithm for even one of these problems will entail a polynomial-time algorithm for 3SAT.

ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಬಹುಪದೀಯ-ಸಮಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬರುವುದು 3SAT ಗಾಗಿ ಬಹುಪದೀಯ-ಸಮಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.


In Chapter 15 we will show the inverse direction (“If 3SAT ∈ P then F ∈ P”) for these functions, hence allowing us to conclude that they have equivalent complexity to 3SAT.

ಅಧ್ಯಾಯ 15 ರಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ವಿಲೋಮ ದಿಕ್ಕನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ (“3SAT ∈ P ಆಗಿದ್ದರೆ F ∈ P”), ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳು 3SAT ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ.


The computational complexity of many seemingly unrelated computational problems can be related to one another through the use of reductions.

ಕಡಿತಗಳ ಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕ ಅನೇಕ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗಣಿತದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಬಹುದು.


So far we have shown that P ⊆ EXP and that several problems we care about such as 3SAT and MAXCUT are in EXP but it is not known whether or not they are in P.

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಾವು P ⊆ EXP ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು 3SAT ಮತ್ತು MAXCUT ನಂತಹ ನಾವು ಕಾಳಜಿವಹಿಸುವ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು EXP ನಲ್ಲಿವೆ ಆದರೆ ಅವು P ನಲ್ಲಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.


However, since 3SAT ≤ p MAXCUT we can rule out the possiblity that MAXCUT ∈ P but 3SAT ∉ P.

ಆದಾಗ್ಯೂ, 3SAT ≤ p MAXCUT ಆಗಿರುವುದರಿಂದ MAXCUT ∈ P ಆದರೆ 3SAT ∉ P ಎಂಬ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ತಳ್ಳಿಹಾಕಬಹುದು.


If F ≤ p G then a polynomial-time algorithm for G can be transformed into a polynomial-time algorithm for F.

F ≤ p G ಆಗಿದ್ದರೆ, G ಗಾಗಿ ಬಹುಪದೀಯ-ಸಮಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು F ಗಾಗಿ ಬಹುಪದೀಯ-ಸಮಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು.


Equivalently, if F ≤ p G and F does not have a polynomial-time algorithm then neither does G.

ಅದೇ ರೀತಿ, F ≤ p G ಮತ್ತು F ಬಹುಪದೀಯ-ಸಮಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, G ಕೂಡ ಹೊಂದಿಲ್ಲ.


We’ve developed many techniques to show that 3SAT ≤ p F for interesting functions F.

ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ 3SAT ≤ p F ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ನಾವು ಅನೇಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.


Sometimes we can do so by using transitivity of reductions: if 3SAT ≤ p G and G ≤ p F then 3SAT ≤ p F.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಕಡಿತಗಳ ಪರಿವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಹಾಗೆ ಮಾಡಬಹುದು: 3SAT ≤ p G ಮತ್ತು G ≤ p F ಆಗಿದ್ದರೆ 3SAT ≤ p F.


Several notions of reductions are defined in the literature.

ಕಡಿತಗಳ ಹಲವಾರು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.


The notion defined in Definition 14.1 is often known as a mapping reduction, many to one reduction or a Karp reduction.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 14.1 ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಕಡಿತ, ಒಂದರಿಂದ ಅನೇಕ ಕಡಿತ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಪ್ ಕಡಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.


The maximal (as opposed to maximum) independent set is the task of finding a “local maximum” of an independent set.

ಗರಿಷ್ಠ (ಗರಿಷ್ಠಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ) ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಎಂದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್‌ನ “ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ”ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.


Unlike finding a maximum independent set, finding a maximal independent set can be done efficiently by a greedy algorithm, but this local maximum can be much smaller than the global maximum.

ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕುವುದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು жадный ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನಿಂದ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠವು ಜಾಗತಿಕ ಗರಿಷ್ಠಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು.


We have mentioned that the line between reductions used for algorithm design and showing hardness is sometimes blurry.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಕಡಿತಗಳು ಮತ್ತು ಗಡಸುತನವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ನಡುವಿನ ರೇಖೆಯು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮಸುಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದೇವೆ.


In this field people use algorithms for SAT (that take exponential time in the worst case but often are much faster on many instances in practice) together with reductions of the form F ≤ p SAT to derive algorithms for other functions F of interest.

ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಜನರು SAT ಗಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ (ಇದು ಕೆಟ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯ ಸಮಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅನೇಕ ನಿದರ್ಶನಗಳಲ್ಲಿ ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಆಸಕ್ತಿಯ ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು F ≤ p SAT ರೂಪದ ಕಡಿತಗಳೊಂದಿಗೆ.


So far we have shown that 3SAT is no harder than Quadratic Equations, Independent Set, Maximum Cut, and Longest Path.

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಾವು 3SAT ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್, ಗರಿಷ್ಠ ಕಟ್ ಮತ್ತು ಉದ್ದವಾದ ಮಾರ್ಗಕ್ಕಿಂತ ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ.


But to show that these problems are computationally equivalent we need to give reductions in the other direction, reducing each one of these problems to 3SAT as well.

ಆದರೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಸಮಾನವೆಂದು ತೋರಿಸಲು ನಾವು ಇತರ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿತಗಳನ್ನು ನೀಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು 3SAT ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು.


Yet not a single polynomial-time algorithm for any of them has been found, supports that conjecture that indeed P ≠ NP.

ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದೀಯ-ಸಮಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಇನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿಲ್ಲ, ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ P ≠ NP ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ.


In fact, for many of these problems, we don’t even know of a 2^(n)-time algorithm!

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ನಮಗೆ 2^(n)-ಸಮಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕೂಡ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ!


However, to the frustration of computer scientists, we have not yet been able to prove that P ≠ NP or even rule out the existence of an O(n)-time algorithm for 3SAT.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಹತಾಶೆಗೆ, ನಾವು ಇನ್ನೂ P ≠ NP ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ ಅಥವಾ 3SAT ಗಾಗಿ O(n)-ಸಮಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಹ ತಳ್ಳಿಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ.


Resolving whether or not P = NP is known as the P vs NP problem.

P = NP ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು P ವಿರುದ್ಧ NP ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.


A million-dollar prize has been offered for the solution of this problem.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಮಿಲಿಯನ್ ಡಾಲರ್ ಬಹುಮಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.


One of the mysteries of computation is that people have observed a certain empirical “zero-one law” or “dichotomy” in the computational complexity of natural problems.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ರಹಸ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಎಂದರೆ ಜನರು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ “ಶೂನ್ಯ-ಒಂದು ಕಾನೂನು” ಅಥವಾ “ದ್ವಿಭಜನೆ” ಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದಾರೆ.


This is related to the fact that for most natural problems, the best known algorithm is either exponential or polynomial.

ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ತಿಳಿದಿರುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಘಾತೀಯ ಅಥವಾ ಬಹುಪದೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.


However, it is believed that there exist problems in NP that are neither in P nor are NP-complete.

ಆದಾಗ್ಯೂ, P ನಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಮತ್ತು NP-ಸಂಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ NP ನಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ.


We will now prove the Cook-Levin Theorem, which is the underpinning to a great web of reductions from 3SAT to thousands of problems across many great fields.

ನಾವು ಈಗ ಕುಕ್-ಲೆವಿನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು 3SAT ನಿಂದ ಅನೇಕ ದೊಡ್ಡ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಾವಿರಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿತಗಳ ದೊಡ್ಡ ಜಾಲಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.


Some problems that have been shown to be NP-complete include: minimum-energy protein folding, minimum surface-area foam configuration, map coloring, optimal Nash equilibrium, quantum state entanglement, minimum supersequence of a genome, minimum codeword problem, shortest vector in a lattice, minimum genus knots, positive Diophantine equations, integer programming, and many many more.

NP-ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸೇರಿವೆ: ಕನಿಷ್ಠ-ಶಕ್ತಿಯ ಪ್ರೋಟೀನ್ ಮಡಿಸುವಿಕೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈ-ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಫೋಮ್ ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್, ನಕ್ಷೆ ಬಣ್ಣ, ಸೂಕ್ತವಾದ ನಾಶ್ ಸಮತೋಲನ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿ ಹೆಣೆದುಕೊಂಡಿರುವಿಕೆ, ಜೀನೋಮ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಸೂಪರ್‌ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್, ಕನಿಷ್ಠ ಕೋಡ್ವರ್ಡ್ ಸಮಸ್ಯೆ, ಲ್ಯಾಟಿಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ವೆಕ್ಟರ್, ಕನಿಷ್ಠ ಕುಲ ಗಂಟುಗಳು, ಧನಾತ್ಮಕ ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹಲವು.


The worst-case complexity of all these problems is (up to polynomial factors) equivalent to that of 3SAT, and through the Cook-Levin Theorem, to all problems in NP.

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಕೆಟ್ಟ-ಸನ್ನಿವೇಶದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು (ಬಹುಪದೀಯ ಅಂಶಗಳವರೆಗೆ) 3SAT ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕುಕ್-ಲೆವಿನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ, NP ಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.


To prove Theorem 15.6 we need to show that F ≤ p 3SAT for every F ∈ NP.

ಪ್ರಮೇಯ 15.6 ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರತಿ F ∈ NP ಗಾಗಿ F ≤ p 3SAT ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.


ನಾವು ಇದನ್ನು ಮೂರು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.


We define two intermediate problems: NANDSAT and 3NAND.

ನಾವು ಎರಡು ಮಧ್ಯಂತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ: NANDSAT ಮತ್ತು 3NAND.


We will shortly show the definitions of these two problems, but Theorem 15.6 will follow from combining the following three results:

ನಾವು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಈ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಮೇಯ 15.6 ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:


NANDSAT NP-ಹಾರ್ಡ್ ಆಗಿದೆ (ಪ್ರಮೇಯ 15.8).


By the transitivity of reductions, it will follow that for every F ∈ NP, F ≤ p NANDSAT ≤ p 3NAND ≤ p 3SAT hence establishing Theorem 15.6.

ಕಡಿತಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆಯಿಂದ, ಪ್ರತಿ F ∈ NP ಗಾಗಿ, F ≤ p NANDSAT ≤ p 3NAND ≤ p 3SAT ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯ 15.6 ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ.


We will prove these three results Lemma 15.8, Lemma 15.9 and Lemma 15.10 one by one, providing the requisite definitions as we go along.

ನಾವು ಈ ಮೂರು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯ 15.8, ಪ್ರಮೇಯ 15.9 ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ 15.10 ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಹೋಗುವಾಗ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ.


NAND-CIRC programs are equivalent to Boolean circuits.

NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಮ್‌ಗಳು ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.


The search problem corresponds to the circuit minimization problem.

ಹುಡುಕಾಟದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.


ನೀವು ವಿಭಾಗ 16.4.1 ಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಹೋಗಬಹುದು.


Another example involves levels of quantifiers.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯು ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್‌ಗಳ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


Check if there is a strategy that guarantees White wins within steps.

ಬಿಳಿಯರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳಲ್ಲಿ ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ತಂತ್ರವಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.


If P=NP then we can solve these kinds of problems as well.

P=NP ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಈ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.


Theorem 16.6— Polynomial hierarchy collapse.

ಪ್ರಮೇಯ 16.6— ಬಹುಪದ ಶ್ರೇಣಿಯ ಕುಸಿತ.


If P=NP then for every a ∈ ℕ, polynomial p ∶ ℕ → ℕ and polynomial-time algorithm V.

P=NP ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ a ∈ ℕ, ಬಹುಪದ p ∶ ℕ → ℕ ಮತ್ತು ಬಹುಪದ-ಸಮಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ V.


We assume that all the strings we quantify over have the same length.

ನಾವು ಪರಿಮಾಣಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.


To understand the idea behind the proof, consider the special case.

ಪುರಾವೆಯ ಹಿಂದಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.


Consider the function F such that F(xy) = 1 if there exists z.

F(xy) = 1 ಆಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ z ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.


V ಬಹುಪದ-ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವುದರಿಂದ F ∈ NP.


Now we can see that the original statement we consider is true.

ಈಗ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು.


The algorithm of Theorem 16.6 can also solve the search problem as well.

ಪ್ರಮೇಯ 16.6 ರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಹುಡುಕಾಟ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.


We note that while this algorithm is in polynomial time, the exponent blows up quite fast.

ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿರುವಾಗ, ಘಾತವು ಬಹಳ ವೇಗವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.


Application: self improving algorithm for 3SAT.

ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್: 3SAT ಗಾಗಿ ಸ್ವಯಂ ಸುಧಾರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.


Suppose that we found a polynomial-time algorithm A for 3SAT.

ನಾವು 3SAT ಗಾಗಿ ಬಹುಪದೀಯ-ಸಮಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ A ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.


The idea is that we can phrase the question of whether there exists a size s circuit.

ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ಗಾತ್ರ s ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸಬಹುದು.


Given a Boolean circuit C, if P=NP then we can find an input x.

ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ C ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, P=NP ಆಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ಇನ್‌ಪುಟ್ x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.


But what if there is more than one x like that?

ಆದರೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು x ಇದ್ದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?


Randomized algorithms are often used when deterministic algorithms are too complex or inefficient.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ತುಂಬಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಥವಾ ಅಸಮರ್ಥವಾಗಿದ್ದಾಗ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


The chapter will explore examples of randomized algorithms and their applications.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


We will discuss how randomness can be a resource for computation.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯು ಹೇಗೆ ಗಣನೆಗೆ ಒಂದು ಸಂಪನ್ಮೂಲವಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.


The Monte Carlo method is a class of computational algorithms that rely on repeated random sampling to obtain numerical results.

ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೋ ವಿಧಾನವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


One application of randomized algorithms is in approximating the maximum cut problem.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಒಂದು ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ಗರಿಷ್ಠ ಕಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು.


The algorithm chooses a random cut in a graph.

ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಟ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.


Each edge is cut with a probability of 1/2.

ಪ್ರತಿ ಅಂಚನ್ನು 1/2 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


The expected number of cut edges is m/2.

ಕತ್ತರಿಸಿದ ಅಂಚುಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆ m/2 ಆಗಿದೆ.


Randomized algorithms work in the worst case, guaranteeing a certain performance for every input graph.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಕೆಟ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ.


Success amplification is a technique to improve the probability of success.

ಯಶಸ್ಸಿನ ವರ್ಧನೆಯು ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವ ಒಂದು ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ.


By repeating the algorithm multiple times, we can amplify the probability of finding a good cut.

ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಉತ್ತಮ ಕಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು.


The probability of success can be amplified exponentially.

ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು.


Two-sided amplification is used when the algorithm can have errors in both directions.

ಎರಡು ಬದಿಯ ವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


The WalkSAT algorithm is used for solving the 3SAT problem.

ವಾಕ್ಸಾಟ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು 3SAT ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


The algorithm starts with a random assignment and iteratively improves it.

ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ.


The bipartite matching problem can be solved using randomized algorithms.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದ್ವಿಪಕ್ಷೀಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.


The algorithm uses a polynomial to determine if a perfect matching exists.

ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ಬಹುಪದೀಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.


The determinant of a matrix is used in the algorithm.

ಕ್ರಮಾವಳಿಯಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


Randomized algorithms offer a different approach to solving the bipartite matching problem.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ದ್ವಿಪಕ್ಷೀಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.


The zero testing problem for polynomials is a key concept.

ಬಹುಪದೀಯಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.


The algorithm efficiently sorts the data.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ.


She enjoys reading novels in her free time.

ಅವಳು ಬಿಡುವಿನ ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ ಕಾದಂಬರಿಗಳನ್ನು ಓದುವುದನ್ನು ಆನಂದಿಸುತ್ತಾಳೆ.


The company announced a new product launch.

ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನ ಬಿಡುಗಡೆಯನ್ನು ಘೋಷಿಸಿತು.


ದಯವಿಟ್ಟು ನನಗೆ ಉಪ್ಪು ಕೊಡುತ್ತೀರಾ?


The weather forecast predicts rain tomorrow.

ನಾಳೆಯ ಹವಾಮಾನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಮಳೆಯಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.


He is a highly skilled software engineer.

ಅವರು ಅತ್ಯಂತ ನುರಿತ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದಾರೆ.


The government implemented new policies to boost the economy.

ಆರ್ಥಿಕತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತಂದಿದೆ.


She is fluent in multiple foreign languages.

ಅವಳು ಅನೇಕ ವಿದೇಶಿ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರರ್ಗಳವಾಗಿ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾಳೆ.


The research team conducted a thorough investigation.

ಸಂಶೋಧನಾ ತಂಡವು ಸಂಪೂರ್ಣ ತನಿಖೆ ನಡೆಸಿತು.


The complex problem required a creative solution.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸೃಜನಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರದ ಅಗತ್ಯವಿತ್ತು.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

ಸವಾಲುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು.


The intricate design of the building was admired by all.

ಕಟ್ಟಡದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಎಲ್ಲರೂ ಮೆಚ್ಚಿಕೊಂಡರು.


The philosophical debate explored the nature of reality.

ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಚರ್ಚೆಯು ವಾಸ್ತವದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸಿತು.


The algorithm's efficiency is crucial for large datasets.

ದೊಡ್ಡ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ದಕ್ಷತೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ.


The economic impact of the policy was widely debated.

ನೀತಿಯ ಆರ್ಥಿಕ ಪರಿಣಾಮದ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಯಿತು.


The implications of the discovery were far-reaching.

ಶೋಧನೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳು ದೂರಗಾಮಿ ಆಗಿದ್ದವು.


The company's strategic decisions significantly impacted its market share.

ಕಂಪನಿಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ನಿರ್ಧಾರಗಳು ಅದರ ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ಪಾಲನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಪ್ರಭಾವಿಸಿದವು.


The intricate details of the experiment were meticulously documented.

ಪ್ರಯೋಗದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿವರಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ.


The judge's ruling set a precedent for future cases.

ನ್ಯಾಯಾಧೀಶರ ತೀರ್ಪು ಭವಿಷ್ಯದ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿತು.


The theoretical framework provided a new perspective on the problem.

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಚೌಕಟ್ಟಿನು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಹೊಸ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಒದಗಿಸಿತು.


Theory 101 “God doesn’t play dice with the universe”, Albert Einstein

ಸಿದ್ಧಾಂತ 101 “ದೇವರು ವಿಶ್ವದೊಂದಿಗೆ ದಾಳವನ್ನು ಆಡುವುದಿಲ್ಲ”, ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್


Einstein was doubly wrong ... not only does God definitely play dice, but He sometimes confuses us by throwing them where they can’t be seen.”, Stephen Hawking

ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್ ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಪ್ಪು ಮಾಡಿದರು ... ದೇವರು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ದಾಳವನ್ನು ಆಡುತ್ತಾನೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಡಲಾಗದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯುವ ಮೂಲಕ ನಮ್ಮನ್ನು ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡುಮಾಡುತ್ತಾನೆ.”, ಸ್ಟೀಫನ್ ಹಾಕಿಂಗ್


The probability of winning a battle has no place in our theory because it does not belong to any [random experiment].

ಯುದ್ಧವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ನಮ್ಮ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಯಾವುದೇ [ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗ]ಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ.


Probability cannot be applied to this problem any more than the physical concept of work can be applied to the ’work’ done by an actor reciting his part.”, Richard Von Mises, 1928 (paraphrased)

ಕೆಲಸದ ಭೌತಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಟ ತನ್ನ ಭಾಗವನ್ನು ಪಠಿಸುವ 'ಕೆಲಸ'ಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.”, ರಿಚರ್ಡ್ ವಾನ್ ಮಿಸೆಸ್, 1928 (ಸಾರಾಂಶ)


I am unable to see why ‘objectivity’ requires us to interpret every probability as a frequency in some random experiment.

ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಆವರ್ತನವೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲು 'ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತ' ಏಕೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾನು ನೋಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.


Before we show how to use randomness in algorithms, let us do a quick review of some basic notions in probability theory.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಮೊದಲು, ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ತ್ವರಿತ ವಿಮರ್ಶೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ.


This is not meant to replace a course on probability theory, and if you have not seen this material before, I highly recommend you look at additional resources to get up to speed.

ಇದು ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನೀವು ಈ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹಿಂದೆಂದೂ ನೋಡಿರದಿದ್ದರೆ, ವೇಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇನೆ.


Fortunately, we will not need many of the advanced notions of probability theory, but, as we will see, even the so-called “simple” setting of tossing푛coins can lead to very subtle and interesting issues.

ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ನಮಗೆ ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನೇಕ ಸುಧಾರಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ, ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎಸೆಯುವ “ಸರಳ” ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಸಹ ಬಹಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮತ್ತು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು.


This chapter: A non-mathy overview This chapter contains an overview of the basics of probability theory, as needed for understanding randomized computa- tion.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯ: ಗಣಿತೇತರ ಅವಲೋಕನ ಈ ಅಧ್ಯಾಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗಣನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.


The main topics covered are the notions of: 1. Asample space, which for us will almost always consist of the set of all possible outcomes of the experiment of tossing a finite number of independent coins.

ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳು: 1. ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳ, ಇದು ನಮಗೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಪ್ರಯೋಗದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.


2. Anevent, which is simply a subset of the sample space, with the probability of the event happening being the fraction of outcomes that are in this subset.

2. ಘಟನೆ, ಇದು ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಈ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಭಾಗವಾಗಿ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ.


3. Arandom variable, which is a way to assign some number or statistic to an outcome of the sample space.

3. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್, ಇದು ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳದ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.


4. The notion ofconditioning, which corresponds to how the value of a random variable (or the probability of an event) changes if we restrict attention to outcomes for which the value of another variable is known (or for which some other event has happened).

4. ಕಂಡೀಷನಿಂಗ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯ (ಅಥವಾ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ) ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಗಮನವನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದರೆ (ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಇತರ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿದೆ).


Random variables and events that have no impact on one another are calledindependent.

ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.


5. Expectation, which is the average of a random variable, andconcentration boundswhich quantify the probability that a random variable can “stray too far” from its ex- pected value.

5. ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸರಾಸರಿ, ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮಿತಿಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ “ತುಂಬಾ ದೂರ ಹೋಗಬಹುದು” ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.


These concepts are at once both basic and subtle.

ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿವೆ.


While we will not need many “fancy” topics covered in statistics courses, including special distributions (e.g., gemoetric, Poisson, exponential, Gaussian, etc.), nor topics such as hy- pothesis testing or regression, this doesn’t mean that the probability we use is “trivial”.

ನಾವು ಅಂಕಿಅಂಶ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನೇಕ “ಫ್ಯಾನ್ಸಿ” ವಿಷಯಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ವಿಶೇಷ ವಿತರಣೆಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್, ಪಾಯ್ಸನ್, ಘಾತೀಯ, ಗೌಸಿಯನ್, ಇತ್ಯಾದಿ) ಸೇರಿದಂತೆ, ಅಥವಾ ಊಹಾತ್ಮಕ ಪರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಹಿಂಜರಿಕೆ ಮುಂತಾದ ವಿಷಯಗಳು, ನಾವು ಬಳಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು “ಸರಳ” ಎಂದರ್ಥವಲ್ಲ.


The human brain has not evolved to do probabilistic reasoning very well, and notions such as conditioning and independence can be quite subtle and confusing even in the basic setting of tossing a random coin.

ಮಾನವ ಮೆದುಳು ಸಂಭವನೀಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ವಿಕಸನಗೊಂಡಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕಂಡೀಷನಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಮೂಲಭೂತ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಬಹಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮತ್ತು ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಬಹುದು.


However, this is all the more reason that studying these notions in this basic setting is useful not just for following this book, but also as a strong foundation for “fancier topics”.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಮೂಲಭೂತ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಈ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ “ಫ್ಯಾನ್ಸಿಯರ್ ವಿಷಯಗಳಿಗಾಗಿ” ಬಲವಾದ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.


The nature of randomness and probability is a topic of great philosophical, scientific and mathematical depth.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ವರೂಪವು ದೊಡ್ಡ ತಾತ್ವಿಕ, ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಆಳದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.


The algorithm's efficiency is not hard to see.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ನೋಡುವುದು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ.


Randomized algorithms can be simulated in exponential time.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಘಾತೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅನುಕರಿಸಬಹುದು.


The proof readily follows by enumerating over all choices.

ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.


ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಔಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ.


A function in BPP can be handled differently.

BPP ಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು.


ಇದೇ ವಿಷಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಜವಲ್ಲ.


The algorithm outputs the correct answer.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.


The standard BPP guarantee is in the middle figure.

ಪ್ರಮಾಣಿತ BPP ಖಾತರಿಯು ಮಧ್ಯದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿದೆ.


The algorithm is only guaranteed to output the correct answer.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲು ಮಾತ್ರ ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ.


The offline BPP case is also considered.

ಆಫ್‌ಲೈನ್ BPP ಪ್ರಕರಣವನ್ನೂ ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.


Randomness does not help for non-uniform computation.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.


We can amplify the success of a BPP algorithm.

ನಾವು BPP ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ವರ್ಧಿಸಬಹುದು.


There exists a single fixed choice of favorable coins.

ಅನುಕೂಲಕರ ನಾಣ್ಯಗಳ ಒಂದೇ ಸ್ಥಿರ ಆಯ್ಕೆ ಇದೆ.


ನಾವು RNAND-TM ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು.


F, BPP ಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.


ನಾವು ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ವರ್ಧಿಸಬಹುದು.


'ಕೆಟ್ಟ' ಘಟನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ.


By the union bound we see that the probability is at most 0.1.

ಯೂನಿಯನ್ ಬೌಂಡ್‌ನಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಗರಿಷ್ಠ 0.1 ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.


This means that there exists a particular r*.

ಅಂದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ r* ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.


ನಾವು ಹೊಸ NAND-CIRC ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.


At the end of the day, it simply says that if X and Y are random variables that depend on two disjoint sets S and T of coins, then they are independent.

ದಿನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, X ಮತ್ತು Y ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ನಾಣ್ಯಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾದ S ಮತ್ತು T ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಇದು ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ.


Proof of Lemma 18.6. Let a, b ∈ ℝ, and let A = {x ∈ {0,1} k ∶ F(x) = a} and B = {x ∈ {0,1} m ∶ G(x) = b}.

ಪ್ರಮೇಯ 18.6 ರ ಪುರಾವೆ. a, b ∈ ℝ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು A = {x ∈ {0,1} k ∶ F(x) = a} ಮತ್ತು B = {x ∈ {0,1} m ∶ G(x) = b} ಆಗಿರಲಿ.


Since S and T are disjoint, we can reorder the indices so that S = {0,...,k−1} and T = {k,...,k+m−1} without affecting any of the probabilities.

S ಮತ್ತು T ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಮರುಕ್ರಮಗೊಳಿಸಬಹುದು ಆದ್ದರಿಂದ S = {0,...,k−1} ಮತ್ತು T = {k,...,k+m−1} ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರದಂತೆ.


Hence we can write Pr[X = a ∧ Y = b] = |C|/2 n where C = {x 0 ,...,x n−1 ∶ (x 0 ,...,x k−1 ) ∈ A ∧ (x k ,...,x k+m−1 ) ∈ B}.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು Pr[X = a ∧ Y = b] = |C|/2 n ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ C = {x 0 ,...,x n−1 ∶ (x 0 ,...,x k−1 ) ∈ A ∧ (x k ,...,x k+m−1 ) ∈ B}.


Another way to write this using string concatenation is that C = {xy z ∶ x ∈ A, y ∈ B, z ∈ {0,1} n−k−m }, and hence |C| = |A||B|2 n−k−m , which means that |C| 2 n = |A| 2 k |B| 2 m 2 n−k−m 2 n−k−m =Pr[X = a]Pr[Y = b].

ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ C = {xy z ∶ x ∈ A, y ∈ B, z ∈ {0,1} n−k−m }, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ |C| = |A||B|2 n−k−m, ಅಂದರೆ |C| 2 n = |A| 2 k |B| 2 m 2 n−k−m 2 n−k−m =Pr[X = a]Pr[Y = b].


If X and Y are independent random variables then (letting S X , S Y denote the sets of all numbers that have positive probability of being the output of X and Y, respectively):

X ಮತ್ತು Y ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ (S X , S Y ಕ್ರಮವಾಗಿ X ಮತ್ತು Y ನ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಆಗಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ):


Pr[XY] = ∑ a∈S X ,b∈S Y Pr[X = a∧Y = b]⋅ab = (1) ∑ a∈S X ,b∈S Y Pr[X = a]Pr[Y = b]⋅ab = (2) ( ∑ a∈S X Pr[X = a]⋅a)(∑ b∈S Y Pr[Y = b]⋅b) = (3) 피[X]피[Y] where the first equality (= (1) ) follows from the independence of X and Y, the second equality (= (2) ) follows by “opening the paren- theses” of the right-hand side, and the third equality (= (3) ) follows from the definition of expectation.

Pr[XY] = ∑ a∈S X ,b∈S Y Pr[X = a∧Y = b]⋅ab = (1) ∑ a∈S X ,b∈S Y Pr[X = a]Pr[Y = b]⋅ab = (2) ( ∑ a∈S X Pr[X = a]⋅a)(∑ b∈S Y Pr[Y = b]⋅b) = (3) 피[X]피[Y] ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಮಾನತೆ (= (1) ) X ಮತ್ತು Y ನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯ ಸಮಾನತೆ (= (2) ) ಬಲಗೈ ಭಾಗದ “ಪೇರೆನ್-ಥೆಸಿಸ್” ಅನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯ ಸಮಾನತೆ (= (3) ) ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.


Another useful fact is that if X and Y are independent random variables, then so are F(X) and G(Y) for all functions F,G ∶ ℝ → ℝ.

X ಮತ್ತು Y ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ F(X) ಮತ್ತು G(Y) ಸಹ ಹಾಗೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ F,G ∶ ℝ → ℝ.


This is intuitively true since learning F(X) can only provide us with less information than does learning X itself.

F(X) ಅನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು X ಅನ್ನು ಕಲಿಯುವುದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒದಗಿಸುವುದರಿಂದ ಇದು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ನಿಜವಾಗಿದೆ.


Hence, if learning X does not teach us anything about Y (and so also about G(Y)) then neither will learning F(X).

ಆದ್ದರಿಂದ, X ಅನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು Y ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಕಲಿಸದಿದ್ದರೆ (ಮತ್ತು G(Y) ಬಗ್ಗೆಯೂ ಸಹ) ನಂತರ F(X) ಅನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು ಸಹ ಏನನ್ನೂ ಕಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ.


Indeed, to prove this we can write for every a,b ∈ ℝ: probability theory 101 537 Pr[F(X) = a∧G(Y) = b] =∑ x s.t. F(x)=a,y s.t. G(y)=b Pr[X = x∧Y = y] = ∑ x s.t. F(x)=a,y s.t. G(y)=b Pr[X = x]Pr[Y = y] = ⎛ ⎜ ⎝ ∑ x s.t. F(x)=a Pr[X = x] ⎞ ⎟ ⎠ ⋅ ⎛ ⎜ ⎝ ∑ y s.t. G(y)=b Pr[Y = y] ⎞ ⎟ ⎠ = Pr[F(X) = a]Pr[G(Y) = b].

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರತಿ a,b ∈ ℝ ಗಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು: ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ 101 537 Pr[F(X) = a∧G(Y) = b] =∑ x s.t. F(x)=a,y s.t. G(y)=b Pr[X = x∧Y = y] = ∑ x s.t. F(x)=a,y s.t. G(y)=b Pr[X = x]Pr[Y = y] = ⎛ ⎜ ⎝ ∑ x s.t. F(x)=a Pr[X = x] ⎞ ⎟ ⎠ ⋅ ⎛ ⎜ ⎝ ∑ y s.t. G(y)=b Pr[Y = y] ⎞ ⎟ ⎠ = Pr[F(X) = a]Pr[G(Y) = b].


18.2.2 Collections of independent random variables We can extend the notions of independence to more than two random variables: we say that the random variables X 0 ,...,X n−1 are mutually independent if for every a 0 ,...,a n−1 ∈ ℝ, Pr[X 0 = a 0 ∧⋯∧X n−1 = a n−1 ] =Pr[X 0 = a 0 ]⋯Pr[X n−1 = a n−1 ].

18.2.2 ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ನಾವು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು: ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು X 0 ,...,X n−1 ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಪ್ರತಿ a 0 ,...,a n−1 ∈ ℝ ಗಾಗಿ, Pr[X 0 = a 0 ∧⋯∧X n−1 = a n−1 ] =Pr[X 0 = a 0 ]⋯Pr[X n−1 = a n−1 ].


And similarly, we have that Lemma 18.7— Expectation of product of independent random variables. If X 0 ,...,X n−1 are mutually independent then 피[ ∏ n−1 i=0 X i ] = ∏ n−1 i=0 피[X i ].

ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ, ನಾವು ಲೆಮ್ಮಾ 18.7 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ— ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರೀಕ್ಷೆ. X 0 ,...,X n−1 ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ನಂತರ 피[ ∏ n−1 i=0 X i ] = ∏ n−1 i=0 피[X i ].


Lemma 18.8— Functions preserve independence. If X 0 ,...,X n−1 are mu- tually independent, and Y 0 ,...,Y n−1 are defined as Y i = F i (X i )for some functions F 0 ,...,F n−1 ∶ ℝ → ℝ, then Y 0 ,...,Y n−1 are mutually independent as well.

ಲೆಮ್ಮಾ 18.8— ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ. X 0 ,...,X n−1 ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು Y 0 ,...,Y n−1 ಅನ್ನು Y i = F i (X i )for ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ F 0 ,...,F n−1 ∶ ℝ → ℝ, ನಂತರ Y 0 ,...,Y n−1 ಸಹ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ.


We leave provingLemma 18.7andLemma 18.8as Exercise 18.6andExercise 18.7.

ನಾವು ಲೆಮ್ಮಾ 18.7 ಮತ್ತು ಲೆಮ್ಮಾ 18.8 ಅನ್ನು ವ್ಯಾಯಾಮ 18.6 ಮತ್ತು ವ್ಯಾಯಾಮ 18.7 ರಂತೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ.


It is a good idea for you stop now and do these exercises to make sure you are comfortable with the notion of independence, as we will use it heavily later on in this course.

ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಆರಾಮದಾಯಕವಾಗಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಈಗ ನಿಲ್ಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಈ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನಂತರ ಬಹಳವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.


18.3 CONCENTRATION AND TAIL BOUNDS The name “expectation” is somewhat misleading.

18.3 ಕೇಂದ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಟೈಲ್ ಬೌಂಡ್ಸ್ “ನಿರೀಕ್ಷೆ” ಎಂಬ ಹೆಸರು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ದಾರಿ ತಪ್ಪಿಸುವಂತಿದೆ.


For example, suppose that you and I place a bet on the outcome of 10 coin tosses, where if they all come out to be 1 ’s then I pay you 100,000 dollars and other- wise you pay me 10 dollars.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಮತ್ತು ನಾನು 10 ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಪಣತೊಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ಅವೆಲ್ಲವೂ 1 ಗಳಾಗಿ ಬಂದರೆ ನಾನು ನಿಮಗೆ 100,000 ಡಾಲರ್‌ಗಳನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನೀವು ನನಗೆ 10 ಡಾಲರ್‌ಗಳನ್ನು ಪಾವತಿಸುತ್ತೀರಿ.


If we let X ∶ {0,1} 10 → ℝbe the random variable denoting your gain, then we see that 피[X] = 2 −10 ⋅100000−(1−2 −10 )10 ∼ 90.

ನಾವು X ∶ {0,1} 10 → ℝ ನಿಮ್ಮ ಲಾಭವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ 피[X] = 2 −10 ⋅100000−(1−2 −10 )10 ∼ 90.


The algorithm is used to solve complex problems.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


She enjoys reading books in the evening.

ಅವಳು ಸಂಜೆ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಓದುವುದನ್ನು ಆನಂದಿಸುತ್ತಾಳೆ.


The company announced a new product launch.

ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನ ಬಿಡುಗಡೆಯನ್ನು ಘೋಷಿಸಿತು.


Despite the challenges, they succeeded in their mission.

ಸವಾಲುಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ತಮ್ಮ ಗುರಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರು.


Could you please repeat that information?

ದಯವಿಟ್ಟು ಆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದೇ?


The research paper explores various aspects of climate change.

ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಬಂಧವು ಹವಾಮಾನ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ.


He is a highly skilled software engineer.

ಅವರು ಅತ್ಯಂತ ನುರಿತ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದಾರೆ.


The government implemented new policies to boost the economy.

ಆರ್ಥಿಕತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತಂದಿತು.


ಅವಳು ಪಿಯಾನೋ ನುಡಿಸಲು ಕಲಿಯುತ್ತಿದ್ದಾಳೆ.


The meeting was adjourned due to lack of quorum.

ಕೋರಂ ಕೊರತೆಯಿಂದಾಗಿ ಸಭೆಯನ್ನು ಮುಂದೂಡಲಾಯಿತು.


The data analysis revealed interesting patterns.

ದತ್ತಾಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿತು.


He is passionate about environmental conservation.

ಅವರು ಪರಿಸರ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ಸಾಹ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ.


The project requires careful planning and execution.

ಯೋಜನೆಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಅನುಷ್ಠಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


The artist's work is known for its vibrant colors.

ಕಲಾವಿದನ ಕೆಲಸವು ಅದರ ರೋಮಾಂಚಕ ಬಣ್ಣಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿದೆ.


The company is facing stiff competition in the market.

ಕಂಪನಿಯು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಸ್ಪರ್ಧೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಿದೆ.


She decided to pursue a career in medicine.

ಅವಳು ವೈದ್ಯಕೀಯ ವೃತ್ತಿಜೀವನವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದಳು.


The scientific community is constantly making new discoveries.

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಹೊಸ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದೆ.


The team worked diligently to meet the deadline.

ಅಂತಿಮ ದಿನಾಂಕವನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ತಂಡವು ಶ್ರದ್ಧೆಯಿಂದ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿತು.


The economic forecast predicts a period of growth.

ಆರ್ಥಿಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಅವಧಿಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ.


He is a renowned expert in the field of astrophysics.

ಅವರು ಖಗೋಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಸರಾಂತ ತಜ್ಞರಾಗಿದ್ದಾರೆ.


ನಕ್ಷೆಯು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.


The ciphertext length is always at least the plaintext length.

ಸಂಖ್ಯಾ ಪಠ್ಯದ ಉದ್ದವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠ ಪಠ್ಯದ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ.


Defining security is not a trivial matter.

ಭದ್ರತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಒಂದು ಸುಲಭದ ವಿಷಯವಲ್ಲ.


ಸಿಸ್ಟಮ್ ರಹಸ್ಯವನ್ನು ಬಯಸಬಾರದು.


A cryptosystem should be secure even if everything about the system, except the key, is public knowledge.

ಕೀಲಿಯ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎಲ್ಲವೂ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಜ್ಞಾನವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಸಿಸ್ಟಮ್ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿರಬೇಕು.


ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆ ಇಲ್ಲದೆ ಯಾವುದೇ ರಹಸ್ಯವಿಲ್ಲ.


At the heart of every cryptographic scheme there is a secret key.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಯೋಜನೆಯ ಹೃದಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರಹಸ್ಯ ಕೀಲಿ ಇದೆ.


Choosing the secrets for cryptography requires generating randomness.

ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಗಾಗಿ ರಹಸ್ಯಗಳನ್ನು ಆರಿಸುವುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.


Randomness generators often turn out to be the Achilles heel of secure systems.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆ ಜನರೇಟರ್‌ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸುರಕ್ಷಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಕಿಲ್ಸ್ ಹಿಮ್ಮಡಿಯಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ.


Breaking the procedure to generate randomness can lead to a complete break of the system.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಮುರಿಯುವುದು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ವೈಫಲ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು.


An encryption scheme is secure if it is not possible to recover the key.

ಕೀಲಿಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ.


The whole point of an encryption is to protect the confidentiality of the plaintext.

ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉದ್ದೇಶವೆಂದರೆ ಪಠ್ಯದ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ರಕ್ಷಿಸುವುದು.


An encryption scheme reveals absolutely nothing about the message.

ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಸಂದೇಶದ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಏನನ್ನೂ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.


Perfect secrecy is an extremely strong condition.

ಪರಿಪೂರ್ಣ ರಹಸ್ಯವು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಬಲ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ.


ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು.


The one-time pad is efficient, and gives perfect secrecy.

ಒಂದು-ಬಾರಿ ಪ್ಯಾಡ್ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ರಹಸ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.


To communicate bits you need to store a key of length.

ಬಿಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಂವಹನ ಮಾಡಲು ನೀವು ಉದ್ದದ ಕೀಲಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.


Imagine that we all needed to use the one time pad.

ನಾವು ಎಲ್ಲರೂ ಒಂದು ಸಮಯದ ಪ್ಯಾಡ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕೆಂದು ಊಹಿಸಿ.


The Soviets have used the one-time pad for their confidential communication.

ಸೋವಿಯೆಟ್‌ಗಳು ತಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯ ಸಂವಹನಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು-ಬಾರಿ ಪ್ಯಾಡ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ.


ಪರಿಪೂರ್ಣ ರಹಸ್ಯಕ್ಕೆ ಉದ್ದವಾದ ಕೀಲಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.


ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡಲು ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


She could not even imagine the possibilities.

ಅವಳು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ.


The company announced a new product launch.

ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡುವುದಾಗಿ ಘೋಷಿಸಿತು.


ಡೀಕ್ರಿಪ್ಶನ್‌ಗಾಗಿ ದಯವಿಟ್ಟು ನಿಮ್ಮ ಕೀಲಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿ.


The security of the system is paramount.

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಸುರಕ್ಷತೆಯು ಅತ್ಯುನ್ನತವಾಗಿದೆ.


The government is implementing new policies.

ಸರ್ಕಾರವು ಹೊಸ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತರುತ್ತಿದೆ.


ಅವನು ತನ್ನ ರಹಸ್ಯವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಲು ಹಿಂಜರಿದನು.


ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಕೀಲಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.


The adversary attempted to break the code.

ವಿರೋಧಿಯು ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಮುರಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದನು.


The complexity of the problem is significant.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ.


The researchers are working on a new cryptographic protocol.

ಸಂಶೋಧಕರು ಹೊಸ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರೋಟೋಕಾಲ್ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ.


The security implications of the attack are severe.

ದಾಳಿಯ ಸುರಕ್ಷತಾ ಪರಿಣಾಮಗಳು ತೀವ್ರವಾಗಿವೆ.


The algorithm's efficiency is crucial for practical applications.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ದಕ್ಷತೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ.


The Diffie-Hellman key exchange is a fundamental concept in cryptography.

ಡಿಫಿ-ಹೆಲ್ಮನ್ ಕೀ ವಿನಿಮಯವು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.


Understanding the nuances of public key encryption is essential.

ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಕೀ ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್‌ನ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅತ್ಯಗತ್ಯ.


The computational hardness of a problem is a key factor in its security.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ಗಡಸುತನವು ಅದರ ಸುರಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.


The implications of quantum computing on current cryptographic systems are being studied.

ಪ್ರಸ್ತುತ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್‌ನ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ.


The security parameter determines the strength of the encryption.

ಸುರಕ್ಷತಾ ನಿಯತಾಂಕವು ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್‌ನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.


The adversary's goal was to compromise the system's integrity.

ವಿರೋಧಿಯ ಗುರಿಯು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ರಾಜಿ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು.


The evolution of cryptographic techniques has been rapid in recent years.

ಇತ್ತೀಚಿನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ತಂತ್ರಗಳ ವಿಕಸನವು ವೇಗವಾಗಿದೆ.


The study of quantum mechanics is essential for understanding the behavior of matter at the atomic and subatomic levels.

ಅಣು ಮತ್ತು ಉಪಅಣು ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಅಧ್ಯಯನವು ಅತ್ಯಗತ್ಯ.


Quantum computing utilizes the principles of quantum mechanics to perform complex calculations.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.


The double-slit experiment demonstrates the wave-particle duality of matter.

ಡಬಲ್-ಸ್ಲಿಟ್ ಪ್ರಯೋಗವು ವಸ್ತುವಿನ ತರಂಗ-ಕಣ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.


Photons exhibit both wave-like and particle-like properties.

ಫೋಟಾನ್‌ಗಳು ತರಂಗ ಮತ್ತು ಕಣದಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ.


Quantum entanglement allows for instantaneous correlation between particles.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಎಂಟ್ಯಾಂಗಲ್ಮೆಂಟ್ ಕಣಗಳ ನಡುವೆ ತತ್ಕ್ಷಣದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.


Shor's algorithm is a quantum algorithm for factoring large numbers.

ಶೋರ್‌ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸಲು ಒಂದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ.


Quantum computers could potentially break many current encryption methods.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳು ಪ್ರಸ್ತುತ ಅನೇಕ ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮುರಿಯಬಹುದು.


The concept of superposition is fundamental to quantum mechanics.

ಸೂಪರ್‌ಪೊಸಿಷನ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ.


Quantum mechanics challenges our classical understanding of the universe.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ವಿಶ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ನಮ್ಮ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಸವಾಲು ಹಾಕುತ್ತದೆ.


The uncertainty principle states that certain pairs of physical properties cannot be known with arbitrary precision.

ಅನಿಶ್ಚಿತ ತತ್ವವು ಭೌತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕೆಲವು ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.


Researchers are actively working on building practical quantum computers.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಂಶೋಧಕರು ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ.


Quantum cryptography offers secure communication based on the laws of physics.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸುರಕ್ಷಿತ ಸಂವಹನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.


The development of quantum technologies is rapidly advancing.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ವೇಗವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಿದೆ.


Understanding quantum phenomena requires a shift in perspective.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


Quantum information theory explores the processing and transmission of information using quantum systems.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತದೆ.


The potential of quantum computing is vast and transformative.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್‌ನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಿಯಾಗಿದೆ.


Quantum mechanics has revolutionized our understanding of the physical world.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಪಂಚದ ಬಗ್ಗೆ ನಮ್ಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಕ್ರಾಂತಿಗೊಳಿಸಿದೆ.


The study of quantum entanglement is a fascinating area of research.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಎಂಟ್ಯಾಂಗಲ್ಮೆಂಟ್ ಅಧ್ಯಯನವು ಸಂಶೋಧನೆಯ ಒಂದು ಅದ್ಭುತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ.


Quantum sensors are being developed for various applications.

ವಿವಿಧ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂವೇದಕಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.


ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್‌ನ ಭವಿಷ್ಯವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಆಗಿರಬಹುದು.


If you are confused by quantum mechanics, you are not alone.

ನೀವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಒಬ್ಬಂಟಿಯಾಗಿಲ್ಲ.


Quantum computing is a fascinating field of study.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಒಂದು ಅದ್ಭುತ ಅಧ್ಯಯನ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ.


Scientists are still trying to understand the underlying principles.

ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಇನ್ನೂ ಮೂಲ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ.


The concept of entanglement is quite strange.

ಎಂಟ್ಯಾಂಗಲ್‌ಮೆಂಟ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ತುಂಬಾ ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ.


Quantum computers could revolutionize various industries.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳು ವಿವಿಧ ಕೈಗಾರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಬಹುದು.


The potential applications are vast and diverse.

ಸಂಭಾವ್ಯ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿವೆ.


Many researchers are working on this technology.

ಅನೇಕ ಸಂಶೋಧಕರು ಈ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ.


It is a complex topic, but worth exploring.

ಇದು ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಷಯ, ಆದರೆ ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.


Understanding quantum mechanics requires a strong foundation in mathematics.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಲವಾದ ಅಡಿಪಾಯದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.


The development of quantum computers faces many challenges.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಅನೇಕ ಸವಾಲುಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಿದೆ.


Quantum entanglement allows for instantaneous communication.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಎಂಟ್ಯಾಂಗಲ್‌ಮೆಂಟ್ ತತ್‌ಕ್ಷಣದ ಸಂವಹನಕ್ಕೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ.


Shor's algorithm is a significant breakthrough in quantum computing.

ಶೋರ್‌ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಹತ್ವದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ.


The implications of quantum computing are far-reaching.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್‌ನ ಪರಿಣಾಮಗಳು ದೂರಗಾಮಿ ಆಗಿವೆ.


Classical computers are based on bits, while quantum computers use qubits.

ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳು ಬಿಟ್‌ಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ, ಆದರೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳು ಕ್ವಿಬಿಟ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.


The potential for faster calculations is a key advantage.

ವೇಗವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಯೋಜನವಾಗಿದೆ.


Quantum computing could break current encryption methods.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಪ್ರಸ್ತುತ ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮುರಿಯಬಹುದು.


ಕ್ಷೇತ್ರವು ವೇಗವಾಗಿ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತಿದೆ.


Many scientists are optimistic about the future of quantum computing.

ಅನೇಕ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್‌ನ ಭವಿಷ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಆಶಾವಾದಿಗಳಾಗಿದ್ದಾರೆ.


The development of quantum computers is a long-term project.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ.


Essential Discrete Mathematics for Computer Science is a book.

ಗಣಕ ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಗಣಿತ ಒಂದು ಪುಸ್ತಕವಾಗಿದೆ.


This paper discusses combinatorial lower bound arguments.

ಈ ಪ್ರಬಂಧವು ಸಂಯೋಜಕ ಕೆಳಮಟ್ಟದ ವಾದಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.


The nature of computation is a complex topic.

ಗಣನೆಯ ಸ್ವರೂಪವು ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.


A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity was presented.

ನರ ಚಟುವಟಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ವಿಚಾರಗಳ ತಾರ್ಕಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮಂಡಿಸಲಾಯಿತು.


Randomized algorithms are an important area of study.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಅಧ್ಯಯನದ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ.


Probability and computing involves randomization.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.


The EDVAC report was a significant document.

EDVAC ವರದಿ ಒಂದು ಮಹತ್ವದ ದಾಖಲೆಯಾಗಿತ್ತು.


Building a modern computer from first principles is a challenge.

ಮೊದಲ ತತ್ವಗಳಿಂದ ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಒಂದು ಸವಾಲಾಗಿದೆ.


PageRank ವೆಬ್‌ಗೆ ಕ್ರಮವನ್ನು ತಂದಿತು.


Types and programming languages are related.

ಟೈಪ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.


Classes of recursively enumerable sets and their decision problems were studied.

ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಿರ್ಧಾರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು.


Small universal Turing machines are interesting.

ಸಣ್ಣ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿವೆ.


Discrete mathematics and its applications are important.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ.


Finite automata and their decision problems were analyzed.

ಸೀಮಿತ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಿರ್ಧಾರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಯಿತು.


Models of computation are essential for understanding.

ಗಣನೆಯ ಮಾದರಿಗಳು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅತ್ಯಗತ್ಯ.


The history of combinatorial optimization is vast.

ಸಂಯೋಜಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್‌ನ ಇತಿಹಾಸವು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿದೆ.


A symbolic analysis of relay and switching circuits was performed.

ರಿಲೇ ಮತ್ತು ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳ ಸಾಂಕೇತಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು.


Factoring numbers efficiently is a challenge.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಅಂಶೀಕರಿಸುವುದು ಒಂದು ಸವಾಲಾಗಿದೆ.


ತಾರ್ಕಿಕ ಕನಸುಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನನಸಾಗುತ್ತವೆ.


Boolean algebras have important applications.

ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.


The qubit's state can be represented as a superposition of 0 and 1.

ಕ್ಯೂಬಿಟ್‌ನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ಸೂಪರ್‌ಪೊಸಿಷನ್‌ನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.


Quantum computers utilize qubits to perform calculations.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಕ್ಯೂಬಿಟ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.


Alice and Bob are entangled in a quantum state.

ಆಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಬಾಬ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಣೆದುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ.


The probability of agreement is cos squared of pi over eight.

ಒಪ್ಪಂದದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಪೈ ಓವರ್ ಎಂಟರ ಕಾಸ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ.


After rotation, Bob's qubit will be in a different state.

ತಿರುಗಿಸಿದ ನಂತರ, ಬಾಬ್‌ನ ಕ್ಯೂಬಿಟ್ ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.


The analysis for Case 3 is analogous to Case 2.

ಮೂರನೇ ಪ್ರಕರಣದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.


Alice and Bob will agree with a certain probability.

ಆಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಬಾಬ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಪ್ಪುತ್ತಾರೆ.


The overall probability of winning the game is at least 0.8.

ಆಟವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಒಟ್ಟಾರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಕನಿಷ್ಠ 0.8 ಆಗಿದೆ.


Quantum mechanics enabled a gain in Bell's Inequality.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಬೆಲ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಲಾಭವನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿತು.


Consider the probabilistic strategy for Alice and Bob.

ಆಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಬಾಬ್‌ಗಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.


The quantum strategy can be thought of as a variant.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ತಂತ್ರವನ್ನು ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.


In the quantum world, we can use negative probabilities.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.


Quantum computation is modeled by a sequence of basic operations.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ.


We define the class P to consist of all infinite functions.

ನಾವು ವರ್ಗ P ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಅನಂತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.


Quantum circuits are analogous to Boolean circuits.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳು ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ.


The output degree of every vertex in a quantum circuit is at most one.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗದ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಪದವಿಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ.


We cannot reuse quantum states without measuring them.

ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಳೆಯದೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಮರುಬಳಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.


Quantum circuits use unitary matrices to express operations.

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳು ಏಕೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.


The No Cloning Theorem is a crucial concept.

ನೋ ಕ್ಲೋನಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.


Shor's algorithm provides an exponential speedup.

ಶೋರ್‌ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಘಾತೀಯ ವೇಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.


The algorithm recovers the factorization of M from the periods of functions.

ಆಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಧಿಗಳಿಂದ ಎಂ ನ ಅಂಶೀಕರಣವನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುತ್ತದೆ.


Shor's Algorithm is used to find the prime factorization of a number.

ಶೋರ್‌ನ ಆಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


The algorithm repeats a process a certain number of times.

ಆಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಒಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.


A random number A is chosen from a set of numbers.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ A ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.


The Quantum Fourier Transform is a key component of the algorithm.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಈ ಆಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿದೆ.


The algorithm uses the Quantum Fourier Transform to create a quantum state.

ಆಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.


Measuring the quantum state yields a pair of strings.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅಳೆಯುವುದರಿಂದ ಜೋಡಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ.


The least common multiple of certain values is likely the period of a function.

ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅವಧಿಯಾಗಿರಬಹುದು.


Classical number theory is used to obtain a non-trivial prime factor.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.


The algorithm can be run again with a smaller input.

ಸಣ್ಣ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಆಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ರನ್ ಮಾಡಬಹುದು.


Reducing factoring to order finding can be done in polynomial time.

ಅಂಶೀಕರಣವನ್ನು ಆರ್ಡರ್ ಹುಡುಕುವಿಕೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು.


The Quantum Fourier Transform is a crucial part of Shor's algorithm.

ಶೋರ್‌ನ ಆಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವೆಂದರೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್.


The Quantum Fourier Transform does not directly compute the Fourier Transform.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.


ಇದು ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.


The algorithm recovers the period of a function.

ಆಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುತ್ತದೆ.


Understanding the Fourier Transform is key to understanding the Quantum Fourier Transform.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.


The Fourier transform applies to functions over any commutative group.

ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಯಾವುದೇ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.


A finite group can be thought of as a set of elements with an operation.

ಸೀಮಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಒಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.


ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.


The Fourier expansion is also known as the Fourier transform.

ಫೋರಿಯರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.