The program development process is complex.

కార్యక్రమం అభివృద్ధి ప్రక్రియ సంక్లిష్టంగా ఉంటుంది.


Vectors are fundamental in linear algebra.

రేఖీయ బీజగణితంలో వెక్టర్లు ప్రాథమికమైనవి.


The algorithm transforms data efficiently.

అల్గారిథం సమర్థవంతంగా డేటాను మారుస్తుంది.


అతను ప్రెడికేట్ తర్కాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నాడు.


పుస్తకం రకం సిద్ధాంతాన్ని చర్చిస్తుంది.


Can you explain the concept of well-founded recursion?

బాగా స్థిరపడిన పునరావృతం యొక్క భావనను మీరు వివరించగలరా?


The system integrates programming and proof.

సిస్టమ్ ప్రోగ్రామింగ్ మరియు రుజువును అనుసంధానిస్తుంది.


This chapter introduces propositional logic.

ఈ అధ్యాయం ప్రతిపాదన తర్కాన్ని పరిచయం చేస్తుంది.


The article explores the Curry-Howard isomorphism.

వ్యాసం కర్రీ-హోవార్డ్ ఐసోమార్ఫిజమ్‌ను అన్వేషిస్తుంది.


The program must meet the specification.

ప్రోగ్రామ్ స్పెసిఫికేషన్‌ను తప్పనిసరిగా పాటించాలి.


ఈ రోజు వాతావరణం ఆహ్లాదకరంగా ఉంది.


నేను కిరాణా సామాగ్రి కొనాలి.


ఆమె ఒక పుస్తకం చదువుతోంది.


సమావేశం త్వరలో ప్రారంభమవుతుంది.


అతను మార్కెట్‌కు వెళ్ళాడు.


కంపెనీ కొత్త ప్రణాళికలను ప్రకటించింది.


The government is discussing new policies.

ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను చర్చిస్తోంది.


ఆర్థిక వ్యవస్థ స్థిరంగా వృద్ధి చెందుతోంది.


టీమ్ ఛాంపియన్‌షిప్ గెలిచింది.


దయచేసి మరిన్ని వివరాలను అందించండి.


The book is about type theory and functional programming.

పుస్తకం టైప్ సిద్ధాంతం మరియు ఫంక్షనల్ ప్రోగ్రామింగ్ గురించి ఉంది.


Type theory brings together logic and programming languages.

టైప్ సిద్ధాంతం తర్కం మరియు ప్రోగ్రామింగ్ భాషలను ఒకచోటకి చేరుస్తుంది.


Program development and verification can proceed within a single system.

ప్రోగ్రామ్ అభివృద్ధి మరియు ధృవీకరణ ఒకే వ్యవస్థలో కొనసాగించవచ్చు.


The book is suitable for final-year undergraduates.

ఈ పుస్తకం చివరి సంవత్సరం అండర్ గ్రాడ్యుయేట్ విద్యార్థులకు అనుకూలంగా ఉంటుంది.


We begin with introductory material on logic and functional programming.

మనం తర్కం మరియు ఫంక్షనల్ ప్రోగ్రామింగ్ పై పరిచయ విషయాలతో ప్రారంభిస్తాము.


టైప్ సిద్ధాంతం యొక్క వ్యవస్థ సంక్లిష్టమైనది.


We explore a number of different aspects of the theory.

మనం సిద్ధాంతం యొక్క అనేక విభిన్న అంశాలను అన్వేషిస్తాము.


Programs are terminating and evaluation is deterministic.

ప్రోగ్రామ్‌లు ముగుస్తాయి మరియు మూల్యాంకనం నిర్దిష్టంగా ఉంటుంది.


Chapter six covers a variety of examples and larger case studies.

ఆరవ అధ్యాయం వివిధ ఉదాహరణలు మరియు పెద్ద కేసు స్టడీస్‌ను కలిగి ఉంది.


We choose to stress the differences between the system and more traditional languages.

వ్యవస్థ మరియు సాంప్రదాయ భాషల మధ్య వ్యత్యాసాలను నొక్కి చెప్పడానికి మేము ఎంచుకున్నాము.


After a lengthy discussion of recursion, we look at the impact of the quantified types.

పునరావృతం గురించి సుదీర్ఘ చర్చ తరువాత, మేము పరిమాణాత్మక రకాల ప్రభావాన్ని పరిశీలిస్తాము.


We conclude with a survey of examples in the relevant literature.

సంబంధిత సాహిత్యంలో ఉదాహరణల సర్వేతో మేము ముగిస్తాము.


The combination of symbolic and natural language used by mathematicians is surprisingly suggestive.

గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఉపయోగించే సాంకేతిక మరియు సహజ భాషల కలయిక ఆశ్చర్యకరంగా సూచనాత్మకంగా ఉంటుంది.


The system is expressive, as witnessed by the previous chapter.

మునుపటి అధ్యాయం ద్వారా రుజువు చేయబడినట్లుగా, వ్యవస్థ వ్యక్తీకరణగా ఉంది.


There is a host of proposals of how to augment the system.

వ్యవస్థను ఎలా పెంచాలనే దానిపై అనేక ప్రతిపాదనలు ఉన్నాయి.


Crucial to them is the incorporation of a class of subset types.

వాటిలో ముఖ్యమైనది ఉపసమితి రకాల తరగతిని చేర్చడం.


Other proposals include quotient (or equivalence class) types.

ఇతర ప్రతిపాదనలలో కోటియంట్ (లేదా సమాన తరగతి) రకాలు ఉన్నాయి.


Chapter eight examines the foundations of the system.

ఎనిమిదవ అధ్యాయం వ్యవస్థ యొక్క పునాదులను పరిశీలిస్తుంది.


We end the book with a survey of related systems.

సంబంధిత వ్యవస్థల సర్వేతో మేము పుస్తకాన్ని ముగిస్తాము.


We have used standard terminology whenever were able.

మేము వీలైనప్పుడల్లా ప్రామాణిక పరిభాషను ఉపయోగించాము.


The rule identifies certain functions which have the same behaviour.

ఈ నియమం ఒకే ప్రవర్తనను కలిగి ఉన్న కొన్ని ఫంక్షన్లను గుర్తిస్తుంది.


We generally consider η-reduction as an adjunct to β-reduction.

మేము సాధారణంగా η- తగ్గింపును β- తగ్గింపుకు అనుబంధంగా పరిగణిస్తాము.


The relations generate two convertibility relations.

సంబంధాలు రెండు మార్పిడి సంబంధాలను ఉత్పత్తి చేస్తాయి.


We can also ask the more general question of which expressions have the same computational behaviour.

ఏ వ్యక్తీకరణలకు ఒకే గణన ప్రవర్తన ఉంటుందనే మరింత సాధారణ ప్రశ్నను కూడా మేము అడగవచ్చు.


The untyped λ-calculus is a simple theory of pure functions.

అన్‌టైప్డ్ λ- కాలిక్యులస్ స్వచ్ఛమైన ఫంక్షన్ల యొక్క సాధారణ సిద్ధాంతం.


It is Turing-complete, exhibiting an equivalence with Turing computability.

ఇది ట్యూరింగ్-పూర్తి, ట్యూరింగ్ గణనతో సమానత్వాన్ని ప్రదర్శిస్తుంది.


One representation of the natural numbers is as the iterators.

సహజ సంఖ్యల యొక్క ఒక ప్రాతినిధ్యం పునరావృత్తులుగా ఉంది.


We need to be able to solve equations of the form f ≡ R f.

f ≡ R f రూపంలో సమీకరణాలను పరిష్కరించగలగాలి.


The disadvantage of this power is the fact that our programs can continually break the stipulations.

ఈ శక్తి యొక్క ప్రతికూలత ఏమిటంటే, మన ప్రోగ్రామ్‌లు నిరంతరం నిబంధనలను ఉల్లంఘించగలవు.


We now examine a number of typed λ-calculi of differing expressive strength.

మేము ఇప్పుడు విభిన్న వ్యక్తీకరణ బలం కలిగిన అనేక టైప్ చేయబడిన λ- కాలిక్యులస్‌లను పరిశీలిస్తాము.


We begin by defining a system with function types.

ఫంక్షన్ రకాలతో కూడిన సిస్టమ్‌ను నిర్వచించడం ద్వారా ప్రారంభిస్తాము.


In typed lambda calculi each λ-expression has a type.

టైప్ చేయబడిన లాంబ్డా కాలిక్యులస్‌లో ప్రతి λ- వ్యక్తీకరణకు ఒక రకం ఉంటుంది.


We specify the type of each defined λ-expression below.

దిగువ నిర్వచించబడిన ప్రతి λ- వ్యక్తీకరణ యొక్క రకాన్ని మేము పేర్కొంటాము.


Many notions defined in the untyped case carry over to here.

అన్‌టైప్డ్ సందర్భంలో నిర్వచించబడిన అనేక భావనలు ఇక్కడకు తీసుకురాబడతాయి.


These include the substitution mechanism, β- and η-reduction and convertibility.

వీటిలో ప్రత్యామ్నాయ విధానం, β- మరియు η- తగ్గింపు మరియు మార్పిడి ఉన్నాయి.


It is easy to see that convertible expressions must be of the same type.

మార్చగల వ్యక్తీకరణలు ఒకే రకానికి చెందినవని చూడటం సులభం.


The Church-Rosser theorems for β and βη-reduction have the same proofs.

β మరియు βη- తగ్గింపు కోసం చర్చ్-రోసర్ సిద్ధాంతాలకు ఒకే రుజువులు ఉన్నాయి.


We can present the calculus in a slightly different form.

మేము కాలిక్యులస్‌ను కొద్దిగా భిన్నమైన రూపంలో ప్రదర్శించవచ్చు.


We then assign types to expressions in the type context.

అప్పుడు మేము రకం సందర్భంలో వ్యక్తీకరణలకు రకాలను కేటాయిస్తాము.


The rule giving the type of an abstraction has one unusual aspect.

ఒక అమూర్తత యొక్క రకాన్ని ఇచ్చే నియమానికి ఒక అసాధారణ అంశం ఉంది.


The rule of conjunction introduction combines derivations of two halves of a conjunction.

సంయోగ పరిచయ నియమం రెండు సగం సంయోగాల ఉత్పన్నాలను కలుపుతుంది.


From proofs of A and B, we can infer A∧B by the rule of conjunction introduction.

A మరియు B యొక్క రుజువుల నుండి, సంయోగ పరిచయ నియమం ద్వారా మనం A∧Bని అనుభవించవచ్చు.


The assumptions upon which the proof of A∧B depends are those of the proofs of A and B combined.

A∧B యొక్క రుజువు ఆధారపడే ఊహలు A మరియు B యొక్క రుజువుల కలయిక.


A simple proof can be built from the two rules we have seen so far.

మనం ఇంతవరకు చూసిన రెండు నియమాల నుండి ఒక సాధారణ రుజువును నిర్మించవచ్చు.


Applying the introduction rule for conjunction three times, we have inferred the conjunction from its constituent parts.

సంయోగం కోసం పరిచయ నియమాన్ని మూడుసార్లు వర్తింపజేయడం ద్వారా, మనం దాని భాగాల నుండి సంయోగంను అనుభవించాము.


The rule above was called the ∧-introduction rule, since it shows how a formula whose top-level connective is a conjunction can be introduced.

పై నియమాన్ని ∧-పరిచయ నియమం అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే ఇది టాప్-లెవెల్ కనెక్టివ్ సంయోగంగా ఉన్న సూత్రాన్ని ఎలా పరిచయం చేయాలో చూపిస్తుంది.


Conversely, we have a rule which states what we can infer on the basis of a conjunction; in other words it tells us when we can eliminate a conjunction.

దీనికి విరుద్ధంగా, సంయోగం ఆధారంగా మనం ఏమి అనుభవించవచ్చో తెలిపే ఒక నియమం ఉంది; మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మనం ఎప్పుడు సంయోగంను తొలగించవచ్చో ఇది మనకు చెబుతుంది.


From a proof of A∧B we can infer both A and B by the rules of conjunction elimination.

A∧B యొక్క రుజువు నుండి, సంయోగ తొలగింపు నియమాల ద్వారా మనం A మరియు B రెండింటినీ అనుభవించవచ్చు.


We have another example which combines the use of the rules of introduction and elimination.

పరిచయం మరియు తొలగింపు నియమాల వినియోగాన్ని కలిపే మరొక ఉదాహరణ మనకు ఉంది.


This proof exhibits the associativity of the conjunction operation, a fact with which we are familiar.

ఈ రుజువు సంయోగ కార్యకలాపాల యొక్క సహసంబంధతను ప్రదర్శిస్తుంది, ఇది మనకు తెలిసిన ఒక వాస్తవం.


Note that the single assumption upon which the proof depends is the formula (A∧B)∧C, with the assumption appearing at three different points in the proof.

రుజువు ఆధారపడే ఏకైక ఊహ (A∧B)∧C సూత్రం అని గమనించండి, రుజువులో మూడు వేర్వేరు పాయింట్ల వద్ద ఊహ కనిపిస్తుంది.


There is another way in which we can read the elimination rules.

తొలగింపు నియమాలను మనం చదవడానికి మరొక మార్గం ఉంది.


In giving the rules for implication, ⇒, we first take an informal look at what the connective is meant to mean.

అనువర్తనం కోసం నియమాలను ఇస్తున్నప్పుడు, ⇒, కనెక్టివ్ యొక్క అర్థం ఏమిటో మొదట అనధికారికంగా చూద్దాం.


We think of A⇒B as expressing A implies B or that we can deduce B from A.

A⇒B అనేది A, Bని సూచిస్తుంది లేదా మనం A నుండి Bని తీసివేయగలమని మేము భావిస్తున్నాము.


In other words we would like to conclude A⇒B when we have a deduction of B assuming A.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, Aని ఊహిస్తూ Bని తీసివేసినప్పుడు మనం A⇒Bని ముగించాలనుకుంటున్నాము.


What are the assumptions upon which this new proof of A⇒B depends?

A⇒B యొక్క ఈ కొత్త రుజువు ఏ ఊహలపై ఆధారపడి ఉంది?


All those on which the proof of B depends, except the assumption A itself.

B యొక్క రుజువు ఆధారపడేవన్నీ, A ఊహ తప్ప.


The reason that we no longer depend upon A is that A has become the hypothesis in the formula A⇒B — this expresses through a formula of the logic that we can deduce B from A.

మనం ఇకపై Aపై ఆధారపడటానికి కారణం ఏమిటంటే, A అనేది A⇒B సూత్రంలో పరికల్పనగా మారింది — ఇది మనం A నుండి Bని తీసివేయగలమని తర్కం యొక్క సూత్రం ద్వారా వ్యక్తపరుస్తుంది.


This is reinforced by the elimination rule for ⇒ which states that given proofs of A and A⇒B, we can infer B.

A మరియు A⇒B యొక్క రుజువులు ఇచ్చినప్పుడు, మనం Bని అనుభవించగలమని తెలిపే ⇒ కోసం తొలగింపు నియమం ద్వారా ఇది బలపడుతుంది.


Now we can consider a more complicated example.

ఇప్పుడు మనం మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణను పరిగణించవచ్చు.


In other words, we need a proof for arbitrary x, which is exactly what the rule states.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మనకు ఇష్టానుసారంగా x కోసం రుజువు అవసరం, ఇది నియమం ఏమిటో సరిగ్గా అదే.


The rule for elimination of ∨ suggests the following for existential elimination: ∃x. A(x) [A(a)] . . . B [A(b)] . . . B. . . B

∨ని తొలగించే నియమం, అస్తిత్వ తొలగింపు కోసం కింది వాటిని సూచిస్తుంది: ∃x. A(x) [A(a)] . . . B [A(b)] . . . B. . . B


We obtain our rule by replacing all the individual proofs of B from A(a), A(b) and so forth by a proof from A(x) for an arbitrary x.

A(a), A(b) నుండి B యొక్క అన్ని వ్యక్తిగత రుజువులను, మొదలైన వాటిని, ఇష్టానుసారంగా x కోసం A(x) నుండి రుజువుతో భర్తీ చేయడం ద్వారా మేము మా నియమాన్ని పొందుతాము.


For the first example we assume θ≡ df ∀x.(P(x)⇒Q(x)) ∃x. P(x) and try to prove that ∃x. Q(x)

మొదటి ఉదాహరణ కోసం, మేము θ≡ df ∀x.(P(x)⇒Q(x)) ∃x. P(x) అని భావిస్తాము మరియు ∃x. Q(x) అని నిరూపించడానికి ప్రయత్నిస్తాము.


Informally the inference is clear, but what do we do in our system?

అనధికారికంగా, తీర్మానం స్పష్టంగా ఉంది, కానీ మన వ్యవస్థలో మనం ఏమి చేస్తాము?


We have a universal assumption, θ, and the rule of universal elimination tells us that we can use any instance P(x)⇒P(x) of θ in our proof.

మనకు సార్వత్రిక ఊహ ఉంది, θ, మరియు సార్వత్రిక తొలగింపు నియమం మన రుజువులో θ యొక్క ఏదైనా ఉదాహరణ P(x)⇒P(x)ని ఉపయోగించవచ్చని చెబుతుంది.


If we adopt a backwards reading of the rule of existential elimination, then we see how to use an existential assumption.

అస్తిత్వ తొలగింపు నియమాన్ని వెనుకకు చదివితే, అస్తిత్వ ఊహను ఎలా ఉపయోగించాలో మనం చూస్తాము.


To use an existential assumption ∃x. P(x) , use the instance P(x) and finally discharge this using the rule (∃E).

అస్తిత్వ ఊహ ∃xని ఉపయోగించడానికి. P(x) , ఉదాహరణ P(x)ని ఉపయోగించండి మరియు చివరకు ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి విడుదల చేయండి (∃E).


Proceeding thus we have P(x) ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) From this we can infer ∃x. Q(x) (even though x is free in one of the assumptions — there are no restrictions on the rule (∃I)), and finally by existential elimination we have: ∃x. P(x) [P(x)] 1 ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) ∃x. Q(x) (∃I) ∃x. Q(x) (∃E) 1

ఈ విధంగా కొనసాగితే మనకు P(x) ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) ఉంది. దీని నుండి మనం ∃xని అనుమానించవచ్చు. Q(x) (x ఊహలలో ఒకదానిలో ఉచితంగా ఉన్నప్పటికీ — నియమంపై ఎటువంటి పరిమితులు లేవు (∃I)), మరియు చివరకు అస్తిత్వ తొలగింపు ద్వారా మనకు ఉంది: ∃x. P(x) [P(x)] 1 ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) ∃x. Q(x) (∃I) ∃x. Q(x) (∃E) 1


For our second example, suppose we make the assumption that every object is either an apple or a banana: ∀x.(A(x)∨B(x)) and that both apples and bananas are tasty: ∀x.(A(x)⇒T(x)) ∀x.(B(x)⇒T(x))

రెండవ ఉదాహరణ కోసం, ప్రతి వస్తువు ఒక ఆపిల్ లేదా అరటిపండు అని మనం భావిస్తాము: ∀x.(A(x)∨B(x)) మరియు ఆపిల్స్ మరియు అరటిపండ్లు రెండూ రుచికరమైనవి: ∀x.(A(x)⇒T(x)) ∀x.(B(x)⇒T(x))


We will show that everything is tasty, ∀x. T(x).

అన్నీ రుచికరమైనవని మేము చూపిస్తాము, ∀x. T(x).


Applying the universal elimination rule three times we have (A(y)∨B(y)) (A(y)⇒T(y)) (B(y)⇒T(y))

సార్వత్రిక తొలగింపు నియమాన్ని మూడుసార్లు వర్తింపజేస్తే మనకు (A(y)∨B(y)) (A(y)⇒T(y)) (B(y)⇒T(y)) వస్తుంది.


and then we can infer T(y) on the basis of the second of these and the assumption A(y), using (⇒E).

మరియు అప్పుడు మనం వీటిలో రెండవది మరియు ఊహ A(y) ఆధారంగా T(y)ని అనుమానించవచ్చు, (⇒E)ని ఉపయోగించి.


We can similarly infer T(y) from B(y) and the universal statement, and are then in a position to apply (∨E).

అదేవిధంగా మనం B(y) మరియు సార్వత్రిక ప్రకటన నుండి T(y)ని అనుమానించవచ్చు మరియు అప్పుడు (∨E)ని వర్తింపజేసే స్థితిలో ఉంటాము.


Our final example concerns the proof of ∃y.∀x. A(x, y)⇒∀x.∃y. A(x, y)

చివరి ఉదాహరణ ∃y.∀x. A(x, y)⇒∀x.∃y. A(x, y) యొక్క రుజువుకు సంబంధించినది.


The reader might like to refer back to the discussion on page 18 above.

రీడర్ పైన 18వ పేజీలో చర్చను తిరిగి చూడవచ్చు.


Remembering the rule of implication introduction, it is sufficient to prove ∀x.∃y. A(x, y) on the assumption of ∃y.∀x. A(x, y)

అనువర్తన పరిచయం యొక్క నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటే, ∃y.∀x. A(x, y) ఊహతో ∀x.∃y. A(x, y)ని నిరూపించడం సరిపోతుంది.


We have an existential assumption, so stripping off the quantifier we can by the rule (∃E) use instead the assumption ∀x. A(x, y)

మనకు అస్తిత్వ ఊహ ఉంది, కాబట్టి పరిమాణాన్ని తీసివేస్తే మనం నియమం (∃E) ద్వారా ఊహ ∀xని ఉపయోగించవచ్చు. A(x, y)


Using (∀E) we have ∀x. A(x, y) A(x, y) (∀E)

(∀E)ని ఉపయోగించి మనకు ∀x ఉంది. A(x, y) A(x, y) (∀E)


Now, we can deduce . . . ∀x.∃y. A(x, y) (∀I) using (∀I), since x is not free in the assumptions (and therefore arbitrary).

ఇప్పుడు, మనం తీసివేయవచ్చు . . . ∀x.∃y. A(x, y) (∀I) (∀I)ని ఉపయోగించి, x ఊహలలో ఉచితంగా లేనందున (మరియు అందువల్ల ఇష్టానుసారం).


ఈ రోజు వాతావరణం ఆహ్లాదకరంగా ఉంది.


దయచేసి నాకు ఉప్పు ఇవ్వగలరా?


I am going to the market to buy some groceries.

నేను కొన్ని కిరాణా సామాగ్రి కొనడానికి మార్కెట్‌కి వెళ్తున్నాను.


The company announced its quarterly profits.

కంపెనీ తన త్రైమాసిక లాభాలను ప్రకటించింది.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం సమర్థవంతంగా డేటాను క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


అతను చాలా ప్రతిభావంతుడైన సంగీత విద్వాంసుడు.


The government is implementing new policies.

ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేస్తోంది.


Please submit your application by Friday.

దయచేసి శుక్రవారం లోపు మీ దరఖాస్తును సమర్పించండి.


The research team is conducting experiments.

పరిశోధనా బృందం ప్రయోగాలు నిర్వహిస్తోంది.


She enjoys reading novels in her free time.

ఆమె ఖాళీ సమయంలో నవలలు చదవడానికి ఇష్టపడుతుంది.


The economic situation is improving gradually.

ఆర్థిక పరిస్థితి క్రమంగా మెరుగుపడుతోంది.


సాఫ్ట్‌వేర్‌కు తరచుగా నవీకరణలు అవసరం.


సమావేశం వచ్చే నెలలో జరుగుతుంది.


The impact of climate change is significant.

వాతావరణ మార్పుల ప్రభావం చాలా ఎక్కువ.


సిస్టమ్ ఆర్కిటెక్చర్ సంక్లిష్టంగా ఉంది.


He is a renowned professor in the field.

అతను ఆ రంగంలో పేరుగాంచిన ప్రొఫెసర్.


చర్చలు కొనసాగుతున్నాయి.


కోడ్ పనితీరు కోసం ఆప్టిమైజ్ చేయబడింది.


ఆమె అంకితభావం కలిగిన స్వచ్ఛంద కార్యకర్త.


The company is facing financial challenges.

కంపెనీ ఆర్థిక సవాళ్లను ఎదుర్కొంటోంది.


We need to add a collection of constants, one for each product type.

ప్రతి ఉత్పత్తి రకానికి ఒకటి చొప్పున స్థిరమైన సేకరణను మనం జోడించాలి.


Common practice is to omit the type subscripts from these constants.

ఈ స్థిరరాశుల నుండి రకం సబ్‌స్క్రిప్ట్‌లను వదిలివేయడం సాధారణ పద్ధతి.


This is the idea of polymorphism which we mentioned in our introduction to functional programming.

ఇది ఫంక్షనల్ ప్రోగ్రామింగ్‌కు మా పరిచయంలో మేము పేర్కొన్న బహురూపత యొక్క ఆలోచన.


We need to strengthen the type system to allow polymorphic types.

బహురూప రకాలను అనుమతించడానికి మనం రకం వ్యవస్థను బలోపేతం చేయాలి.


The literature on polymorphism is extensive.

బహురూపతపై సాహిత్యం విస్తృతమైనది.


We shall call rules of the first sort computation rules.

మొదటి రకం నియమాలను మనం గణన నియమాలు అని పిలుస్తాము.


The computation rules relate objects of arbitrary type.

గణన నియమాలు ఏకపక్ష రకం యొక్క వస్తువులను సంబంధిస్తాయి.


The equivalence rules relate elements of restricted type.

సమానత్వ నియమాలు పరిమిత రకం యొక్క మూలకాలను సంబంధిస్తాయి.


Computations are usually performed over concrete types.

గణనలు సాధారణంగా నిర్దిష్ట రకాలపై నిర్వహించబడతాయి.


We add the type N to our set of base types.

బేస్ రకాల సమితికి మనం N రకాన్ని జోడిస్తాము.


We can also define equivalence rules for P rec.

మనం P rec కోసం సమానత్వ నియమాలను కూడా నిర్వచించవచ్చు.


Computations are usually performed over concrete types, such as numbers, booleans, characters and so forth.

గణనలు సాధారణంగా సంఖ్యలు, బూలియన్లు, అక్షరాలు మొదలైన నిర్దిష్ట రకాలపై నిర్వహించబడతాయి.


We can extend the strong normalisation result of section 2.7 to a system containing product types and a base type of natural numbers.

ఉత్పత్తి రకాలు మరియు సహజ సంఖ్యల యొక్క బేస్ రకాన్ని కలిగి ఉన్న సిస్టమ్‌కు విభాగం 2.7 యొక్క బలమైన సాధారణీకరణ ఫలితాన్ని మనం పొడిగించవచ్చు.


A further step is to add an operator R for general recursion.

సాధారణ పునరావృతం కోసం R అనే ఆపరేటర్‌ను జోడించడం ఒక తదుపరి దశ.


This is a much stronger notion than primitive recursion.

ఇది ఆదిమ పునరావృతం కంటే చాలా బలమైన భావన.


The semantic explanation of general recursion has lead to the development of denotational semantics.

సాధారణ పునరావృతం యొక్క అర్థ వివరణ డెనోటేషనల్ అర్థశాస్త్రం అభివృద్ధికి దారితీసింది.


In type theory we adopt a different approach.

రకం సిద్ధాంతంలో మనం భిన్నమైన విధానాన్ని అవలంబిస్తాము.


We would therefore argue that the values which we seek as final results of programs are non- functional.

అందువల్ల, ప్రోగ్రామ్‌ల తుది ఫలితాలుగా మనం కోరుకునే విలువలు ఫంక్షనల్ కానివి అని మేము వాదిస్తాము.


The terms we evaluate are not only zeroth-order, i.e. of ground type, they also have the second property of being closed.

మనం మూల్యాంకనం చేసే పదాలు సున్నా-ఆర్డర్ మాత్రమే కాదు, అంటే గ్రౌండ్ రకం, అవి మూసివేయబడే రెండవ ఆస్తిని కూడా కలిగి ఉంటాయి.


We therefore feel justified in making the distinction between the two kinds of rule which we called computation and equivalence rules above.

అందువల్ల, మనం పైన గణన మరియు సమానత్వ నియమాలు అని పిలిచే రెండు రకాల నియమాల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని గుర్తించడంలో మేము సమర్థించబడ్డామని భావిస్తున్నాము.


The system defines a duality between propositions and types.

ప్రతిపాదనలు మరియు రకాలు మధ్య ద్వంద్వత్వాన్ని ఈ వ్యవస్థ నిర్వచిస్తుంది.


A proof of a proposition can be seen as a member of the type.

ఒక ప్రతిపాదన యొక్క రుజువును రకం సభ్యునిగా చూడవచ్చు.


Ideas from one side can be re-interpreted on the other.

ఒక వైపు నుండి వచ్చిన ఆలోచనలను మరొకటిగా తిరిగి అర్థం చేసుకోవచ్చు.


We first present type theory as a logical system.

మొదట, మేము టైప్ సిద్ధాంతాన్ని తార్కిక వ్యవస్థగా అందిస్తున్నాము.


The chapter begins with an informal examination of proofs.

అధ్యాయం రుజువుల యొక్క అనధికారిక పరీక్షతో ప్రారంభమవుతుంది.


We look at the general form that the rules will take.

నిబంధనలు తీసుకునే సాధారణ రూపాన్ని మేము పరిశీలిస్తాము.


With each connective we associate four kinds of rule.

ప్రతి కనెక్టివ్‌తో మేము నాలుగు రకాల నియమాలను అనుసంధానిస్తాము.


The familiar rules of introduction and elimination describe how propositions can be proved.

పరిచయం మరియు తొలగింపు యొక్క సాధారణ నియమాలు ప్రతిపాదనలను ఎలా నిరూపించవచ్చో వివరిస్తాయి.


From the programming point of view they assert the existence of certain objects.

ప్రోగ్రామింగ్ కోణం నుండి, అవి కొన్ని వస్తువుల ఉనికిని నొక్కి చెబుతాయి.


The computation rules explain how to evaluate or run programs.

గణన నియమాలు ప్రోగ్రామ్‌లను ఎలా మూల్యాంకనం చేయాలో లేదా అమలు చేయాలో వివరిస్తాయి.


We also give a formation rule which embodies the syntax.

మేము సింటాక్స్‌ను కలిగి ఉన్న ఒక నిర్మాణ నియమాన్ని కూడా ఇస్తాము.


The formal presentation of the logical rules is followed by examples.

తార్కిక నియమాల యొక్క అధికారిక సమర్పణకు ఉదాహరణలు అనుసరిస్తాయి.


We introduce the logical notions of universal and existential quantifiers.

మేము సార్వత్రిక మరియు ఉనికి పరిమాణాల యొక్క తార్కిక భావనలను పరిచయం చేస్తాము.


Programming is dependent on the presence of data types.

డేటా రకాల ఉనికిపై ప్రోగ్రామింగ్ ఆధారపడి ఉంటుంది.


Infinite data types are characterized by principles of definition.

అనంతమైన డేటా రకాలు నిర్వచన సూత్రాల ద్వారా వర్గీకరించబడతాయి.


రెండు పద్ధతులు చేతితో చేయి కలిపి వెళ్తాయి.


This recursive characterisation carries over to other types.

ఈ పునరావృత లక్షణం ఇతర రకాలకు కూడా వర్తిస్తుంది.


The assertion of the identity of two values forms a proposition.

రెండు విలువల గుర్తింపును నొక్కి చెప్పడం ఒక ప్రతిపాదనను ఏర్పరుస్తుంది.


There is another relation linking items, generated by '→'.

'→' ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన అంశాలను అనుసంధానించే మరొక సంబంధం ఉంది.


We can prove a program correct in the same system.

ఒకే వ్యవస్థలో మనం ఒక ప్రోగ్రామ్‌ను సరిగ్గా నిరూపించవచ్చు.


The function returns a function of type (P⇒Q) which expects an argument of type P.

ఈ ఫంక్షన్ (P⇒Q) రకం యొక్క ఫంక్షన్‌ను అందిస్తుంది, ఇది P రకం యొక్క వాదనను ఆశిస్తుంది.


We often call the first representation the uncurried form, in contrast to the latter.

మొదటి ప్రాతినిధ్యాన్ని తరచుగా అన్‌కరీడ్ రూపం అని పిలుస్తాము, తరువాతి రూపానికి విరుద్ధంగా.


The pair of functions we derived above can be seen to map from one function representation to another.

మేము పైన పొందిన ఫంక్షన్ల జత ఒక ఫంక్షన్ ప్రాతినిధ్యం నుండి మరొకదానికి మ్యాప్ చేయగలదని చూడవచ్చు.


Consider the case in which we want to return one of two results conditional on some property.

కొన్ని లక్షణంపై ఆధారపడి రెండు ఫలితాలలో ఒకదాన్ని తిరిగి ఇవ్వాలనుకునే సందర్భాన్ని పరిగణించండి.


We call this the type bool of boolean values and for the sake of tradition call the two values True and False.

దీనిని బూలియన్ విలువల రకం bool అని పిలుస్తాము మరియు సాంప్రదాయం కోసం రెండు విలువలను True మరియు False అని పిలుస్తాము.


The type bool is simply a finite type containing two values.

రకం bool అనేది రెండు విలువలను కలిగి ఉన్న ఒక పరిమిత రకం.


The value of if b then e else f is e if b evaluates to True, otherwise it is f.

b విలువ True అయితే, if b then e else f యొక్క విలువ e, లేకపోతే అది f.


Readers may be familiar with similar distinctions between boolean values and propositions from program verification.

ప్రోగ్రామ్ ధృవీకరణ నుండి బూలియన్ విలువలు మరియు ప్రతిపాదనల మధ్య ఇలాంటి వ్యత్యాసాలతో పాఠకులు సుపరిచితులు కావచ్చు.


We eliminate a boolean value by a two-way case switch, conventionally called a conditional expression.

సాంప్రదాయకంగా షరతులతో కూడిన వ్యక్తీకరణ అని పిలువబడే రెండు-మార్గం కేసు స్విచ్ ద్వారా మేము బూలియన్ విలువను తొలగిస్తాము.


This is stronger than the conventional case switch, as the type of the result can depend upon the value of the boolean.

ఫలితం యొక్క రకం బూలియన్ విలువపై ఆధారపడి ఉండవచ్చు కాబట్టి, ఇది సాంప్రదాయ కేసు స్విచ్ కంటే బలంగా ఉంది.


We embody the case switching mechanism in the following rules.

మేము క్రింది నియమాలలో కేసు స్విచింగ్ విధానాన్ని పొందుపరుస్తాము.


The ‘then’ or ‘else’ case is selected, according to the value of the boolean.

బూలియన్ విలువ ప్రకారం ‘అప్పుడు’ లేదా ‘లేకపోతే’ కేసు ఎంపిక చేయబడుతుంది.


Consider the example if tr then False else True.

ఉదాహరణను పరిగణించండి if tr then False else True.


This has the type bool if we assume that tr:bool.

tr:bool అని మనం భావిస్తే దీనికి రకం bool ఉంటుంది.


Define functions which behave as the disjunction (‘or’) and material implication (‘implies’) operations over the boolean type.

బూలియన్ రకంపై డిస్‌జంక్షన్ (‘లేదా’) మరియు మెటీరియల్ ఇంప్లికేషన్ (‘అర్థం’) కార్యకలాపాలుగా పనిచేసే ఫంక్షన్లను నిర్వచించండి.


Define the function equiv:bool⇒bool⇒bool so that equiv b1 b2 is True if and only if b1 and b2 are equal.

equiv b1 b2 అనేది b1 మరియు b2 సమానంగా ఉంటేనే True అయ్యేలా equiv:bool⇒bool⇒bool ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించండి.


For n a natural number, the type Nn has n elements, 1n, 2n, . . . , nn the subscript showing the type from which the element comes.

n సహజ సంఖ్య అయితే, Nn రకం n మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది, 1n, 2n, . . . , nn సబ్‌స్క్రిప్ట్ మూలకం వచ్చిన రకాన్ని చూపుతుంది.


We have already seen a two element type, where we identify 12 with True and 22 with False.

మనం ఇప్పటికే రెండు మూలకాల రకాన్ని చూశాము, ఇక్కడ మనం 12ని Trueతో మరియు 22ని Falseతో గుర్తిస్తాము.


We eliminate an element of an n element type by an n-way case switch.

n-మార్గం కేసు స్విచ్ ద్వారా n మూలకాల రకం యొక్క మూలకాన్ని తొలగిస్తాము.


Explain how to define the equality function equal n :N n ⇒N n ⇒bool

సమానత్వ ఫంక్షన్ equal n :N n ⇒N n ⇒boolని ఎలా నిర్వచించాలో వివరించండి


The rules generating the formulas are mixed up with the rules for derivations.

సూత్రాలను ఉత్పత్తి చేసే నియమాలు ఉత్పన్నమయ్యే నియమాలతో కలిసి ఉంటాయి.


This means that the rules generating the formulas are inextricably mixed up with the rules for derivations.

అంటే సూత్రాలను ఉత్పత్తి చేసే నియమాలు ఉత్పన్నమయ్యే నియమాలతో విడదీయరాని విధంగా కలిసిపోతాయి.


The rule of I-formation breaks this rule.

I-రూపకల్పన నియమం ఈ నియమాన్ని ఉల్లంఘిస్తుంది.


వస్తువు a తనతో సమానంగా ఉంటుంది.


We can derive rules which look stronger than this.

దీని కంటే బలమైన నియమాలను మనం పొందవచ్చు.


ఈ వస్తువుకు అంతర్గత నిర్మాణం లేదు.


The essence of equality is that equals can be substituted for equals.

సమానత్వం యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే సమానమైన వాటిని సమానమైన వాటితో భర్తీ చేయవచ్చు.


Suppose that we have some proof p of a proposition P involving a.

a ను కలిగి ఉన్న ఒక ప్రతిపాదన P యొక్క రుజువు p మన వద్ద ఉందని అనుకుందాం.


We should be able to infer the proposition P' resulting from us replacing some of the occurrences of a in P by b.

P లోని a యొక్క కొన్ని ఉనికిని b ద్వారా భర్తీ చేయడం ద్వారా ఫలితంగా వచ్చే ప్రతిపాదన P' ని మనం ఊహించగలగాలి.


We can of course replace all the occurrences of a by making sure that x is not free in C.

వాస్తవానికి, C లో x ఉచితం కాదని నిర్ధారించుకోవడం ద్వారా a యొక్క అన్ని ఉనికిని మనం భర్తీ చేయవచ్చు.


There is one extra refinement in our rule.

మన నియమంలో ఒక అదనపు శుద్ధీకరణ ఉంది.


I కోసం తొలగింపు నియమం.


Theorem 4.4 Leibnitz’s law is derivable.

теорема 4.4 లైబ్నిజ్ నియమం ఉద్భవించింది.


J ఆపరేటర్‌ను మనం ఎలా తొలగిస్తాము?


If we eliminate an r(a) we simply return the object d.

ఒక r(a)ని తొలగిస్తే, మనం d వస్తువును తిరిగి ఇస్తాము.


The introduction rule means that equality is reflexive.

ప్రవేశపెట్టే నియమం అంటే సమానత్వం ప్రతిబింబిస్తుంది.


సమానత్వం సౌష్టవం.


Finally we show that it is transitive, making it an equivalence relation.

చివరగా, ఇది సంక్రమణం అని చూపిస్తాము, ఇది సమానత్వ సంబంధాన్ని కలిగిస్తుంది.


When we first talked about the different sorts of rule, we observed that it was the elimination rules which specified that all the elements of a type had the form introduced by the introduction rules.

వివిధ రకాల నియమాల గురించి మనం మొదట మాట్లాడినప్పుడు, ప్రవేశపెట్టే నియమాల ద్వారా ప్రవేశపెట్టబడిన రూపాన్ని ఒక రకానికి చెందిన అన్ని మూలకాలు కలిగి ఉంటాయని తొలగింపు నియమాలు పేర్కొన్నాయని మేము గమనించాము.


In order to make the system non-trivial we can add an axiom to the effect that ax:¬(True = False).

సిస్టమ్‌ను సామాన్యేతరంగా చేయడానికి, ax:¬(True = False) అనే ప్రభావాన్ని కలిగించే ఒక సిద్ధాంతాన్ని మనం జోడించవచ్చు.


The system uses four different notions of equality.

ఈ వ్యవస్థ నాలుగు వేర్వేరు సమానత్వ భావనలను ఉపయోగిస్తుంది.


Definitional equality is as close as we get to literal identity.

నిర్వచన సమానత్వం అనేది మనం అక్షర గుర్తింపుకు చేరువగా ఉన్నాము.


Convertibility is external to the system.

మార్పిడి వ్యవస్థకు వెలుపల ఉంది.


There are equality functions, which return values in the type bool.

సమానత్వ విధులు ఉన్నాయి, ఇవి బూల్ రకంలో విలువలను అందిస్తాయి.


మేము ఈ విభిన్న సంబంధాలను పోల్చుకుంటాము.


A truly extensional equality can be added to the system.

నిజంగా విస్తరణ సమానత్వాన్ని వ్యవస్థకు జోడించవచ్చు.


The system can be augmented in a number of ways.

వ్యవస్థను అనేక విధాలుగా పెంచవచ్చు.


The notion of a type of types is inconsistent.

రకాల రకం యొక్క భావన స్థిరంగా లేదు.


We show how a sequence of ‘universes’ of types can be added.

రకాల ‘విశ్వాల’ శ్రేణిని ఎలా జోడించవచ్చో మేము చూపిస్తాము.


We give the general mechanism by which well-founded types are defined.

బాగా స్థిరపడిన రకాలు నిర్వచించబడే సాధారణ విధానాన్ని మేము అందిస్తున్నాము.


జాబితాల నియమాలు కూడా ఇవ్వబడ్డాయి.


We conclude the chapter with a second look at the Curry Howard isomorphism.

క్యూరీ హోవర్డ్ ఐసోమార్ఫిజంపై రెండవసారి చూస్తూ అధ్యాయాన్ని ముగిస్తాము.


Derivations depend upon collections of assumptions.

ఉత్పన్నాలు ఊహల సేకరణలపై ఆధారపడి ఉంటాయి.


We look at the precise form that these collections take.

ఈ సేకరణలు తీసుకునే ఖచ్చితమైన రూపాన్ని మేము పరిశీలిస్తాము.


A useful exercise is to make an implementation of it.

దీనిని అమలు చేయడం ఉపయోగకరమైన వ్యాయామం.


Mathematical notation is a powerful tool.

గణిత సంజ్ఞామానం ఒక శక్తివంతమైన సాధనం.


Assumptions do not appear at the leaves of a derivation.

ఊహలు ఉత్పన్నం యొక్క ఆకులలో కనిపించవు.


There is an ordering of dependency between them.

వాటి మధ్య ఆధారపడటం యొక్క క్రమం ఉంది.


We might reconsider the proof of the symmetry of equality.

సమానత్వం యొక్క సౌష్టవం యొక్క రుజువును మనం పునఃపరిశీలించవచ్చు.


A ఒక రకం అని మనం ఉత్పన్నం చేసామని అనుకుందాం.


ఈ రోజు వాతావరణం ఆహ్లాదకరంగా ఉంది.


దయచేసి నాకు ఉప్పు ఇవ్వగలరా?


I am going to the market to buy some vegetables.

నేను కూరగాయలు కొనడానికి మార్కెట్‌కి వెళ్తున్నాను.


The company announced a new product launch.

కంపెనీ కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రారంభించినట్లు ప్రకటించింది.


అతను చాలా ప్రతిభావంతుడైన సంగీత విద్వాంసుడు.


సమావేశం వచ్చే వారం జరుగుతుంది.


ఆమె పరీక్షల కోసం చదువుతోంది.


The government is implementing new policies.

ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేస్తోంది.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం డేటాను సమర్ధవంతంగా క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


The research paper explores the impact of climate change.

పరిశోధనా పత్రం వాతావరణ మార్పుల ప్రభావాన్ని వివరిస్తుంది.


The economic forecast predicts a recession.

ఆర్థిక సూచన మాంద్యాన్ని అంచనా వేస్తుంది.


The software update includes several bug fixes.

సాఫ్ట్‌వేర్ అప్‌డేట్‌లో అనేక బగ్ పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.


The artist's work is displayed in a prestigious gallery.

కళాకారుడి పని ప్రతిష్టాత్మకమైన గ్యాలరీలో ప్రదర్శించబడుతుంది.


The complex equation requires advanced mathematical knowledge.

సంక్లిష్ట సమీకరణానికి అధునాతన గణిత పరిజ్ఞానం అవసరం.


The philosophical debate centered on the nature of reality.

తత్వశాస్త్ర చర్చ వాస్తవికత స్వభావంపై కేంద్రీకరించబడింది.


The implications of the new law are far-reaching.

కొత్త చట్టం యొక్క పరిణామాలు చాలా దూరం వరకు ఉంటాయి.


The intricate design of the machine fascinated the engineers.

యంత్రం యొక్క సంక్లిష్టమైన రూపకల్పన ఇంజనీర్లను ఆకర్షించింది.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

సవాళ్లు ఎదురైనా, వారు పట్టుదలతో విజయం సాధించారు.


The company's strategic plan involves significant restructuring.

కంపెనీ వ్యూహాత్మక ప్రణాళికలో గణనీయమైన పునర్నిర్మాణం ఉంది.


The subtle nuances of the language were lost in translation.

భాష యొక్క సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు అనువాదంలో కోల్పోయాయి.


సిస్టమ్ బలంగా సాధారణీకరించబడుతోంది.


We only change the definition of the relation ‘→’.

మేము సంబంధం యొక్క నిర్వచనాన్ని మాత్రమే మారుస్తాము ‘→’.


The proof proceeds by induction over the derivation of a:A.

a:A యొక్క ఉత్పన్నంపై ప్రేరణ ద్వారా రుజువు కొనసాగుతుంది.


In a practical system based on type theory, we would expect to separate these concerns as much as possible.

రకం సిద్ధాంతం ఆధారంగా ఒక ఆచరణాత్మక వ్యవస్థలో, మేము ఈ సమస్యలను వీలైనంత వరకు వేరు చేయాలని ఆశిస్తాము.


Can we expect this to be the case for our system T T 0?

మన వ్యవస్థ T T 0 విషయంలో ఇది జరుగుతుందని మనం ఆశించవచ్చా?


The reasons the result fails for T T 0 are the duplication of the function space and product types.

T T 0 కోసం ఫలితం విఫలమవడానికి కారణాలు ఫంక్షన్ స్పేస్ మరియు ఉత్పత్తి రకాల నకిలీ.


We remedy this by labelling the injection operators with their range type.

ఇంజెక్షన్ ఆపరేటర్లను వాటి పరిధి రకంతో లేబుల్ చేయడం ద్వారా మేము దీన్ని సరిచేస్తాము.


In the theory T T 0, if from a consistent collection of assumptions we can derive the judgements a:A and a:B then A↔↔B.

సిద్ధాంతంలో T T 0, స్థిరమైన ఊహల సేకరణ నుండి మనం తీర్పులను పొందగలిగితే a:A మరియు a:B అప్పుడు A↔↔B.


The proof is performed by induction over the derivation of a:A.

a:A యొక్క ఉత్పన్నంపై ప్రేరణ ద్వారా రుజువు నిర్వహించబడుతుంది.


Consider first the case of a variable x:A.

మొదట x:A వేరియబుల్ సందర్భాన్ని పరిగణించండి.


The issues of interest for reduction will be those we discussed first in sections 2.3, 2.4 and 2.11.

తగ్గింపు కోసం ఆసక్తి కలిగించే సమస్యలు మనం మొదట 2.3, 2.4 మరియు 2.11 విభాగాలలో చర్చించినవి.


Does evaluation terminate (along all paths)?

మూల్యాంకనం ముగుస్తుందా (అన్ని మార్గాల్లో)?


The alternative is to print some representation of a program for the function.

ప్రత్యామ్నాయం ఏమిటంటే ఫంక్షన్ కోసం ప్రోగ్రామ్ యొక్క కొన్ని ప్రాతినిధ్యాన్ని ముద్రించడం.


We say that a type is ground if it involves no (embedded) function or universally quantified types.

ఒక రకం గ్రౌండ్ అని మేము చెబుతున్నాము, అది (ఎంబెడెడ్) ఫంక్షన్ లేదా సార్వత్రికంగా పరిమాణాత్మక రకాలను కలిగి ఉండకపోతే.


Functions are ultimately applied to their arguments.

ఫంక్షన్లు చివరికి వాటి వాదనలకు వర్తించబడతాయి.


Indeed, it is not hard to see that there will be no reductions within a lambda on the leftmost-outermost reduction sequence.

వాస్తవానికి, ఎడమవైపు-బయటి తగ్గింపు క్రమంలో లాంబ్డాలో ఎటువంటి తగ్గింపులు ఉండవని చూడటం కష్టం కాదు.


This weaker notion of reduction is related to the idea of weak head normal form which we discussed earlier.

తగ్గింపు యొక్క ఈ బలహీనమైన భావనను మేము ఇంతకు ముందు చర్చించిన బలహీనమైన హెడ్ సాధారణ రూపం యొక్క ఆలోచనతో అనుసంధానించబడింది.


The system T T ∗ 0 is strongly normalising.

సిస్టమ్ T T ∗ 0 బలంగా సాధారణీకరించబడుతోంది.


The Church Rosser property fails for it.

చర్చి రోసర్ ఆస్తి దీని కోసం విఫలమవుతుంది.


The concept of convertibility is central to this discussion.

మార్పిడి భావన ఈ చర్చకు కేంద్రంగా ఉంది.


Two terms are convertible if they have the same normal form.

రెండు పదాలు ఒకే సాధారణ రూపాన్ని కలిగి ఉంటే మార్చుకోదగినవి.


The relation of convertibility is decidable.

మార్పిడి సంబంధం నిర్ణయించదగినది.


This means that the two expressions denote the same object.

అంటే రెండు వ్యక్తీకరణలు ఒకే వస్తువును సూచిస్తాయి.


We can identify this object as the normal form of the expression.

మనం ఈ వస్తువును వ్యక్తీకరణ యొక్క సాధారణ రూపంగా గుర్తించవచ్చు.


Judgements are intended to be about the objects denoted by the expressions.

తీర్పులు వ్యక్తీకరణల ద్వారా సూచించబడే వస్తువుల గురించి ఉద్దేశించబడ్డాయి.


Because ‘a↔↔b’ is not a proposition of the system, we are unable to build more complex assertions on the basis of it.

ఎందుకంటే ‘a↔↔b’ వ్యవస్థ యొక్క ప్రతిపాదన కాదు, దాని ఆధారంగా మరింత సంక్లిష్టమైన ప్రకటనలను నిర్మించలేము.


We turn to our third relation, the identity predicate.

మేము మా మూడవ సంబంధం, గుర్తింపు ప్రెడికేట్ వైపు తిరుగుతాము.


A is a type a:A b:A I(A, a, b) is a type (IF)


I(A, a, b) is provable, by the object r(a), when a↔↔b.

a↔↔b అయినప్పుడు, I(A, a, b) వస్తువు r(a) ద్వారా నిరూపించదగినది.


We can see the type as an internalisation of convertibility.

రకాన్ని మార్పిడి యొక్క అంతర్గతీకరణగా చూడవచ్చు.


On top of the Itype we can build more complex assertions.

Iరకం పైన మనం మరింత సంక్లిష్టమైన ప్రకటనలను నిర్మించవచ్చు.


The judgement I(A, a, b) is derivable if and only if a↔↔b.

తీర్పు I(A, a, b) a↔↔b అయితే మరియు మాత్రమే పొందబడుతుంది.


The expression x= A y denotes a proposition or type of the system.

వ్యక్తీకరణ x= A y వ్యవస్థ యొక్క ప్రతిపాదన లేదా రకాన్ని సూచిస్తుంది.


An equality function is a boolean valued function.

సమానత్వ ఫంక్షన్ అనేది బూలియన్ విలువ కలిగిన ఫంక్షన్.


An equality function can be used in a computation to test for the equality of two objects.

రెండు వస్తువుల సమానత్వాన్ని పరీక్షించడానికి ఒక గణనలో సమానత్వ ఫంక్షన్‌ను ఉపయోగించవచ్చు.


A predicate is representable if and only if it is formally decidable.

ఒక ప్రెడికేట్ ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది, అది అధికారికంగా నిర్ణయించదగినది అయితే మరియు మాత్రమే.


We can prove by induction over the construction of ground types that equality is decidable for them.

గ్రౌండ్ రకాల నిర్మాణంపై ప్రేరణ ద్వారా సమానత్వం వాటి కోసం నిర్ణయించదగినదని మనం నిరూపించవచ్చు.


It seems highly unlikely that this is so.

ఇది అలా ఉంటుందని చాలా అసంభవం.


From an extensional decidability predicate over a functional type we are able to prove a result.

ఒక ఫంక్షనల్ రకంపై విస్తరణ నిర్ణయించదగిన ప్రెడికేట్ నుండి మనం ఒక ఫలితాన్ని నిరూపించగలుగుతున్నాము.


The system does not permit full general recursion to be used, as in an unrestricted form this can lead to non-termination.

నియంత్రిత రూపంలో ఉన్నందున, సిస్టమ్ పూర్తి సాధారణ పునరావృతం ఉపయోగించడానికి అనుమతించదు, ఇది ముగింపుకు దారి తీస్తుంది.


We are already familiar with type theory as a constructive logic, and have seen a number of examples of proofs being built in.

మేము ఇప్పటికే నిర్మాణాత్మక తర్కంగా టైప్ సిద్ధాంతంతో పరిచయం కలిగి ఉన్నాము మరియు నిర్మించబడుతున్న రుజువులకు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణలను చూశాము.


This chapter investigates the different ways in which the system of type theory can be used.

టైప్ సిద్ధాంత వ్యవస్థను ఉపయోగించగల వివిధ మార్గాలను ఈ అధ్యాయం పరిశీలిస్తుంది.


Every expression has a defined value; every program terminates.

ప్రతి వ్యక్తీకరణకు నిర్వచించబడిన విలువ ఉంది; ప్రతి ప్రోగ్రామ్ ముగుస్తుంది.


We can supply an extra parameter to the function, which is to be returned in the case that the list argument is the empty list.

జాబితా వాదన ఖాళీ జాబితా అయితే, ఫంక్షన్కు అదనపు పరామితిని అందించవచ్చు, ఇది తిరిగి ఇవ్వబడుతుంది.


The identification of propositions and types, proofs and objects has been fundamental to our investigation so far.

నిర్ధారణలు మరియు రకాలు, రుజువులు మరియు వస్తువులను గుర్తించడం ఇప్పటివరకు మన పరిశోధనకు మూలస్తంభంగా ఉంది.


దీనిని మనం తరువాత చూద్దాం.


The crucial reduction to ensure ‘directness of proof’ is that embodied in our computation rules.

రుజువు యొక్క ‘ప్రత్యక్షత’ను నిర్ధారించడానికి కీలకమైన తగ్గింపు మన గణన నియమాలలో పొందుపరచబడింది.


We begin our discussion by looking at T as a functional language.

మేము T ని ఒక ఫంక్షనల్ భాషగా చూస్తూ మన చర్చను ప్రారంభిస్తాము.


We concentrate on examples over the natural numbers and lists in this section, with some introduction of quantified types as we go along.

కొన్ని పరిమాణాత్మక రకాలను పరిచయం చేస్తూ, ఈ విభాగంలో సహజ సంఖ్యలు మరియు జాబితాలపై ఉదాహరణలపై మేము దృష్టి పెడతాము.


This is not the most natural way to proceed.

ఇది కొనసాగడానికి చాలా సహజమైన మార్గం కాదు.


We can simply replace all occurrences of (⇒I) by (⇒I) alt.

(⇒I) యొక్క అన్ని సంఘటనలను (⇒I) alt ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు.


The other class of commutation rules are included in the system studied by Prawitz for more technical reasons.

మరింత సాంకేతిక కారణాల వల్ల ప్రావిట్జ్ అధ్యయనం చేసిన వ్యవస్థలో ఇతర తరగతి కమ్యుటేషన్ నియమాలు చేర్చబడ్డాయి.


We follow this with a more detailed survey of the uses of dependent types, especially in the presence of universes.

దీని తరువాత, ఆధారిత రకాల ఉపయోగాలపై మరింత వివరణాత్మక సర్వేను అనుసరిస్తాము, ముఖ్యంగా విశ్వాల సమక్షంలో.


We look at how programs can be extracted from a number of simple derivations.

ఎలాంటి ప్రోగ్రామ్‌లను అనేక సాధారణ ఉత్పన్నాల నుండి సంగ్రహించవచ్చో చూద్దాం.


We also use this opportunity to give a novel view of specifications in type theory.

టైప్ సిద్ధాంతంలో స్పెసిఫికేషన్ల యొక్క నవల వీక్షణను అందించడానికి కూడా మేము ఈ అవకాశాన్ని ఉపయోగిస్తాము.


We can thus view T as extending an imperative programming language.

అందువల్ల, T ని ఒక ఆజ్ఞాపూర్వక ప్రోగ్రామింగ్ భాషను విస్తరిస్తున్నట్లుగా చూడవచ్చు.


We look at some examples embodying common patterns of recursion, and show how they are coded in T.

పునరావృతం యొక్క సాధారణ నమూనాలను కలిగి ఉన్న కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం మరియు అవి T లో ఎలా కోడ్ చేయబడ్డాయో చూపిస్తాము.


In some cases, the definition of the function itself depends upon an inductive proof that it terminates.

కొన్ని సందర్భాల్లో, ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం దాని ముగింపుపై ప్రేరేపిత రుజువుపై ఆధారపడి ఉంటుంది.


If the object does not represent a proof, it is not a proof.

ఒకవేళ వస్తువు రుజువును సూచించకపోతే, అది రుజువు కాదు.


The cases of ConjE and ImpE are difficult to understand.

ConjE మరియు ImpE సందర్భాలను అర్థం చేసుకోవడం కష్టం.


We can use the dependent type mechanism to make proof construction secure.

ప్రూఫ్ నిర్మాణం సురక్షితంగా చేయడానికి మనం ఆధారిత రకం విధానాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.


First we define a function proves:proof⇒(f mla+dummy).

ముందుగా మనం proves:proof⇒(f mla+dummy) అనే ఫంక్షన్‌ను నిర్వచిస్తాము.


Then we define the subtypes prf f≡ df (∃p:proof).(proves p=f).

అప్పుడు మనం ఉప రకాలు prf f≡ df (∃p:proof).(proves p=f)ని నిర్వచిస్తాము.


Using these we can give types to the functions which eliminate conjunctions.

వీటిని ఉపయోగించి, సంయోగాలను తొలగించే ఫంక్షన్లకు మనం రకాలను ఇవ్వవచ్చు.


The essential effect of the functions conjE and impE is to apply the corresponding constructor.

conjE మరియు impE ఫంక్షన్ల యొక్క ముఖ్యమైన ప్రభావం సంబంధిత కన్స్ట్రక్టర్‌ను వర్తింపజేయడం.


We can define functions tr, conjI and impI corresponding to the action of the constructors.

నిర్మాతల చర్యకు అనుగుణంగా మనం tr, conjI మరియు impI ఫంక్షన్లను నిర్వచించవచ్చు.


The types secproof will only contain legitimate proofs.

secproof రకాలు మాత్రమే చట్టబద్ధమైన రుజువులను కలిగి ఉంటాయి.


Give definitions of the functions proves, conjE 1 and impE introduced above.

పైన ప్రవేశపెట్టిన proves, conjE 1 మరియు impE ఫంక్షన్ల నిర్వచనాలను ఇవ్వండి.


Quantification over the universes allows us to assert the existence of types.

విశ్వాలాలపై పరిమాణీకరణ రకాల ఉనికిని నొక్కి చెప్పడానికి అనుమతిస్తుంది.


We have already seen how the quicksort function qsort can be defined.

క్విక్‌సార్ట్ ఫంక్షన్ qsortని ఎలా నిర్వచించవచ్చో మనం ఇప్పటికే చూశాము.


This parametrization is possible in a language like Miranda.

మిరాండా వంటి భాషలో ఈ పరామితికరణ సాధ్యమవుతుంది.


The subtype of sorted elements of [A] is given by Slist(A).

[A] యొక్క క్రమబద్ధీకరించబడిన మూలకాల ఉప రకం Slist(A) ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.


Milner polymorphic types contain free type variables.

మిల్నర్ బహురూప రకాలు ఉచిత రకం వేరియబుల్స్‌ను కలిగి ఉంటాయి.


A function of this type is given by λf .(if f bool(eq N (f N0) (f N1))then f else id).

ఈ రకం యొక్క ఫంక్షన్ λf ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది .(if f bool(eq N (f N0) (f N1))then f else id).


Quantifiers over a universe can be used to define weak versions of various familiar type constructors.

విశ్వంపై పరిమాణీకరణ వివిధ తెలిసిన రకం కన్స్ట్రక్టర్ల బలహీనమైన సంస్కరణలను నిర్వచించడానికి ఉపయోగించవచ్చు.


Given elements a:A and b:B we can define F a,b :P rod A B.

a:A మరియు b:B మూలకాలను ఇచ్చినట్లయితే, మనం F a,b :P rod A Bని నిర్వచించవచ్చు.


Observe that p F a,b ≡ df F a,b A(λx A . λy B . x) ≡ df (λC:U 0 ).(λf:A⇒B⇒C).(f a b)A(λx A . λy B . x) →(λf:A⇒B⇒A).(f a b) (λx A . λy B . x) →(λx A . λy B . x)a b →λy B . a b →a.

p F a,b ≡ df F a,b A(λx A . λy B . x) ≡ df (λC:U 0 ).(λf:A⇒B⇒C).(f a b)A(λx A . λy B . x) →(λf:A⇒B⇒A).(f a b) (λx A . λy B . x) →(λx A . λy B . x)a b →λy B . a b →a అని గమనించండి.


This shows that the function F a,b can be thought of as representing the pair formed from a and b.

F a,b ఫంక్షన్ a మరియు b నుండి ఏర్పడిన జంటను సూచిస్తుందని ఇది చూపిస్తుంది.


Consider a type like (∃A:U 0 ). P(A) What do objects of this type look like?

(∃A:U 0 ). P(A) వంటి రకం గురించి ఆలోచించండి. ఈ రకం యొక్క వస్తువులు ఎలా కనిపిస్తాయి?


They are pairs (A, p) of objects, A:U 0 andp:P(A) 178CHAPTER 5. EXPLORING TYPE THEORY Ais a (small) type, andpis a proof that it has the propertyP(A).

అవి వస్తువుల జతలు (A, p), A:U 0 మరియు p:P(A) 178 అధ్యాయం 5. రకం సిద్ధాంతాన్ని అన్వేషించడం A అనేది (చిన్న) రకం, మరియు p అనేది P(A) ఆస్తిని కలిగి ఉందని రుజువు.


Suppose we have definedP(A) to be (A⇒A)∧(A⇒A) then an object of the existential type will be a typeAtogether with p: (A⇒A)∧(A⇒A) that is a pair of functions fromAto itself.

P(A)ని (A⇒A)∧(A⇒A) అని నిర్వచించామని అనుకుందాం, అప్పుడు ఉనికి రకం యొక్క ఒక వస్తువు A రకంతో పాటు p: (A⇒A)∧(A⇒A) ఉంటుంది, ఇది A నుండి దాని స్వంతానికి ఫంక్షన్ల జత.


An object of this type is equiv- alent to an implementation of an abstract type, with signature (written in Miranda notation) abstype A with f1 :: A -> A f2 :: A -> A wheref1andf2are the first and second projections ofp, of course.

ఈ రకం యొక్క ఒక వస్తువు, సంతకం (మిరాండా సంజ్ఞామానంలో వ్రాయబడింది) abstype Aతో f1 :: A -> A f2 :: A -> A, ఇక్కడ f1 మరియు f2 లు p యొక్క మొదటి మరియు రెండవ ప్రొజెక్షన్లు, వాస్తవానికి, ఒక అమూర్త రకం యొక్క అమలుకి సమానం.


We shall have more to say about quantified types in the following chap- ter, where we look at a series of examples.

తదుపరి అధ్యాయంలో పరిమాణాత్మక రకాల గురించి మనం మరింత చెప్పుకుంటాము, అక్కడ మనం ఉదాహరణల శ్రేణిని పరిశీలిస్తాము.


The usual way that we characterise the members of a type is by a pair of rules: the introduction rule explains what objects are permitted to be ele- ments of the type, and the elimination rule (together with the computation rule) characterises these elements as theonlyelements of the type.

ఒక రకం యొక్క సభ్యులను మనం సాధారణంగా రెండు నియమాల ద్వారా వర్గీకరిస్తాము: పరిచయ నియమం ఏ వస్తువులను రకం యొక్క మూలకాలుగా అనుమతించవచ్చో వివరిస్తుంది మరియు తొలగింపు నియమం (గణన నియమంతో పాటు) ఈ మూలకాలను రకం యొక్క ఏకైక మూలకాలుగా వర్ణిస్తుంది.


We could call the latter rules theclosureaxioms for the type.

తరువాతి నియమాలను రకం కోసం క్లోజర్ సిద్ధాంతాలు అని పిలవచ్చు.


It is the closure axioms for a typeAwhich allow us to prove properties for all elements of A, and to define functions by recursion overA.

A రకం కోసం క్లోజర్ సిద్ధాంతాలు A యొక్క అన్ని మూలకాల కోసం లక్షణాలను నిరూపించడానికి మరియు A పై పునరావృతం ద్వారా ఫంక్షన్లను నిర్వచించడానికి మనల్ని అనుమతిస్తాయి.


The rules we have given for universes correspond to introduction rules; if we wish to define functions by recursion over the universe we need a closure axiom to that effect.

విశ్వాలకు మనం ఇచ్చిన నియమాలు పరిచయ నియమాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి; మనం విశ్వంపై పునరావృతం ద్వారా ఫంక్షన్లను నిర్వచించాలనుకుంటే, మనకు ఆ ప్రభావాన్ని కలిగించే క్లోజర్ సిద్ధాంతం అవసరం.


In Martin-L ̈of’s treatment of the system, these axioms have been omitted deliberately; for philosophical reasons he has chosen to make the universes open-ended, so that other type forming operations can be added to the system without violating the closure axioms.

మార్టిన్-లోఫ్ సిస్టమ్‌ను నిర్వహించినప్పుడు, ఈ సిద్ధాంతాలను ఉద్దేశపూర్వకంగా తొలగించారు; తాత్విక కారణాల వల్ల అతను విశ్వాలను తెరిచి ఉంచాలని ఎంచుకున్నాడు, తద్వారా క్లోజర్ సిద్ధాంతాలను ఉల్లంఘించకుండా ఇతర రకాల నిర్మాణ కార్యకలాపాలను సిస్టమ్‌కు జోడించవచ్చు.


The closure axioms permit us to define polymorphic functions which fail to be parametric ([Str67]).

క్లోజర్ సిద్ధాంతాలు పారామెట్రిక్ కాకుండా ఉండే బహురూప ఫంక్షన్లను నిర్వచించడానికి మనల్ని అనుమతిస్తాయి ([Str67]).


We could, for instance, define a function which was the identity function on all types butN, and which was the successor functionλn .(succ n) onN.

ఉదాహరణకు, N మినహా అన్ని రకాలపై గుర్తింపు ఫంక్షన్ మరియు N పై సక్సెసర్ ఫంక్షన్ λn .(succ n) గా ఉన్న ఫంక్షన్‌ను మనం నిర్వచించవచ్చు.


This would have the type (∀A:U 0 ).(A⇒A) just as did the polymorphic identity function, which had a parametric def- inition — we did not perform any analysis on the type variableAin the definition of the identity function, it was simply aparameter.

ఇది (∀A:U 0 ).(A⇒A) రకాన్ని కలిగి ఉంటుంది, బహురూప గుర్తింపు ఫంక్షన్ చేసినట్లే, దీనికి పారామెట్రిక్ నిర్వచనం ఉంది — గుర్తింపు ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనంలో మనం రకం వేరియబుల్ A పై ఎటువంటి విశ్లేషణ చేయలేదు, ఇది కేవలం ఒక పరామితి.


Why do we stop with a chain of universesU 0 , U 1 , . . ., when there are natural functions which cannot be defined in the system?

సిస్టమ్‌లో నిర్వచించలేని సహజ ఫంక్షన్‌లు ఉన్నప్పుడు, మనం U 0 , U 1 , . . . విశ్వాల గొలుసుతో ఎందుకు ఆగిపోతున్నాము?


The obvious one which springs to mind is (λn:N). U n which clearly inhabits none of theU n .

మనస్సులోకి వచ్చే స్పష్టమైనది (λn:N). U n, ఇది స్పష్టంగా U n లో దేనిలోనూ ఉండదు.


To give this a type we need to add the firsttransfiniteuniverseU ω , which is itself a member ofU ω+1 , and so we can iterate through the constructive ordinals.

దీనికి ఒక రకాన్ని ఇవ్వడానికి మనం మొదటి ట్రాన్స్‌ఫైనైట్ యూనివర్స్ U ω ని జోడించాలి, ఇది U ω+1 యొక్క సభ్యుడు, మరియు అందువల్ల మనం నిర్మాణాత్మక ఆర్డినల్స్ ద్వారా పునరావృతం చేయవచ్చు.


Whether this extension is interesting, either proof theoretically or from the point of view of programming, is open to question, but the interested reader may wish to consult [And65] for a similar transfinite theory.

ఈ పొడిగింపు రుజువు సిద్ధాంతపరంగా లేదా ప్రోగ్రామింగ్ దృక్కోణం నుండి ఆసక్తికరంగా ఉందా అనేది ప్రశ్నార్థకం, అయితే ఆసక్తి ఉన్న పాఠకులు [And65]ని సంప్రదించవచ్చు.


Another possible direction is to distinguish between the types which are sets, such asNandtree, and the propositions, and to try to extend the type theory with a type of propositions.

మరొక అవకాశం ఏమిటంటే, Nandtree వంటి సెట్‌లుగా ఉన్న రకాలు మరియు ప్రతిపాదనల మధ్య వ్యత్యాసం చూపడం మరియు ప్రతిపాదనల రకంతో రకం సిద్ధాంతాన్ని విస్తరించడానికి ప్రయత్నించడం.


This has itself been shown to be inconsistent in [Jac89].

ఇది [Jac89]లో అస్థిరంగా ఉందని చూపబడింది.


If one is prepared to limit the type forming operations, then systems with a type of types can be built consistently.

ఒకరు రకం ఏర్పడే కార్యకలాపాలను పరిమితం చేయడానికి సిద్ధంగా ఉంటే, అప్పుడు రకాల రకంతో కూడిన వ్యవస్థలను స్థిరంగా నిర్మించవచ్చు.


Given a listl, a natural numbern,anda proof thatnis smaller than the length oflwe return thenth element ofl.

ఒక జాబితాl, సహజ సంఖ్యn, మరియు n అనేది l పొడవు కంటే చిన్నదని రుజువు ఇచ్చినట్లయితే, మేము l యొక్క nవ మూలకాన్ని తిరిగి ఇస్తాము.


రెండవ మరియు మూడవ నిబంధనలు స్పష్టంగా ఉన్నాయి.


What is happening in the first?p is a proof that (n <#[ ]) that is (n <0), which is⊥— we can define an element ofAfrompusingabort A .

మొదటి దానిలో ఏమి జరుగుతోంది? p అనేది (n <#[ ]) అంటే (n <0) అని రుజువు, ఇది ⊥— మేము abort Aని ఉపయోగించి p నుండి A యొక్క మూలకాన్ని నిర్వచించవచ్చు.


It is interesting to see that the definition ofindexcan be made either by induction overNwith a subsidiary induction over [A], orvice versa— the two arguments are independent of each other.

index యొక్క నిర్వచనాన్ని Nపై ప్రేరణ ద్వారా లేదా [A]పై అనుబంధ ప్రేరణ ద్వారా లేదా దీనికి విరుద్ధంగా చేయవచ్చని చూడటం ఆసక్తికరంగా ఉంది— రెండు వాదనలు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా ఉంటాయి.


Now we can return to the example of course-of-values recursion, as we have defined all the auxiliary functions that are needed.

ఇప్పుడు మనకు అవసరమైన అన్ని సహాయక ఫంక్షన్లను నిర్వచించినందున, కోర్సు-ఆఫ్-విలువలు పునరావృతం యొక్క ఉదాహరణకు తిరిగి రావచ్చు.


Taking a special case of thepowerfunction, we have pow0≡ df 1 pow n≡ df (pow(n div2)) 2 ∗2 (n mod2) which can be rewritten thus, wherehis a primitive recursive function, pow0≡ df 1 pow(n+ 1)≡ df h(pow(n+1div2))n

పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రత్యేక కేసును తీసుకుంటే, మనకు pow0≡ df 1 pow n≡ df (pow(n div2)) 2 ∗2 (n mod2) ఉంది, దీనిని తిరిగి వ్రాయవచ్చు, ఇక్కడ h అనేది ఒక ప్రాథమిక పునరావృత ఫంక్షన్, pow0≡ df 1 pow(n+ 1)≡ df h(pow(n+1div2))n


Transforming this into a list definition, we have g0≡ df [1] g(n+ 1)≡ df (g n) ++[h((g n) ! (n+1div2))n]

దీనిని జాబితా నిర్వచనంగా మార్చడం ద్వారా, మనకు g0≡ df [1] g(n+ 1)≡ df (g n) ++[h((g n) ! (n+1div2))n] ఉంది.


The subexpressiong! (n+1div2) is informal;indextakes a third argument which is a proof object, legitimising the application.

సబ్‌ఎక్స్‌ప్రెషన్ g! (n+1div2) అనధికారికం; index మూడవ వాదనను తీసుకుంటుంది, ఇది ఒక రుజువు వస్తువు, అప్లికేషన్‌ను చట్టబద్ధం చేస్తుంది.


The application will be legitimate if we can show that (n+1div2)<#(g n)

మనం (n+1div2)<#(g n) అని చూపించగలిగితే అప్లికేషన్ చట్టబద్ధంగా ఉంటుంది.


This will follow from proofs of (0< m)⇒(m div2< m) which is standard, and #(g n) = (n+ 1)(6.1) which we have to establish by induction, simultaneously with the definition itself.

ఇది (0< m)⇒(m div2< m) యొక్క రుజువుల నుండి అనుసరించబడుతుంది, ఇది ప్రామాణికమైనది మరియు #(g n) = (n+ 1)(6.1) మనం ప్రేరణ ద్వారా స్థాపించాలి, నిర్వచనంతో పాటు.


Transforming again, we define a function which returns apair (g n , p n ) wherep n proves the assertion (6.1).

మరొకసారి మార్చడం ద్వారా, మేము (g n , p n ) జతను తిరిగి ఇచ్చే ఫంక్షన్‌ను నిర్వచిస్తాము, ఇక్కడ p n ప్రకటన (6.1)ని నిరూపిస్తుంది.


To extract the result (f n) from the value (g n) we apply the head function.

(g n) విలువ నుండి ఫలితం (f n)ని సంగ్రహించడానికి, మేము హెడ్ ఫంక్షన్‌ను వర్తింపజేస్తాము.


Remember that to do this we need a proof that the list is non-empty.

దీన్ని చేయడానికి జాబితా ఖాళీగా లేదని మనకు రుజువు అవసరమని గుర్తుంచుకోండి.


We can see from the derivation of the function above that the system is quite different from a traditional functional programming system, in that the definition of a function cannot be separated from a proof that it termi- nates.

పై ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం నుండి మనం చూడగలిగినట్లుగా, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనాన్ని అది ముగుస్తుందనే రుజువు నుండి వేరు చేయలేనందున, సిస్టమ్ సాంప్రదాయ ఫంక్షనల్ ప్రోగ్రామింగ్ సిస్టమ్ నుండి చాలా భిన్నంగా ఉంటుంది.


In fact, this is not quite accurate — if we had adopted the approach which gives default or error values toheadandindexwe could perform the derivation without the inferences we needed above, but once derived we would have to prove that the values returned by the function are ‘ok’ and not error or default values.

వాస్తవానికి, ఇది సరిగ్గా లేదు — మనం హెడ్ మరియు ఇండెక్స్‌కు డిఫాల్ట్ లేదా ఎర్రర్ విలువలను ఇచ్చే విధానాన్ని అవలంబిస్తే, పైన మనకు అవసరమైన నిర్ధారణలు లేకుండా ఉత్పన్నాన్ని నిర్వహించవచ్చు, కానీ ఒకసారి ఉత్పన్నమైన తర్వాత, ఫంక్షన్ ద్వారా తిరిగి ఇవ్వబడిన విలువలు ‘సరే’ అని మరియు ఎర్రర్ లేదా డిఫాల్ట్ విలువలు కాదని మనం నిరూపించాలి.


Using induction overm:Nprove that (m div2)< mfor allm >0.

m:Nపై ప్రేరణను ఉపయోగించి, అన్ని m >0 కోసం (m div2)< m అని నిరూపించండి.


Formalise the derivation of the functionsgandpowabove.

పై ఫంక్షన్లు g మరియు pow యొక్క ఉత్పన్నాలను ఫార్మలైజ్ చేయండి.


Give a proof that for all listslandm, #l+ #m= #(l++m)

అన్ని జాబితాలు l మరియు m కోసం, #l+ #m= #(l++m) అని రుజువు ఇవ్వండి.


Consider the example of ‘Russian multiplication’ given by the defini- tion mul a0≡ df 0 mul a b≡ df (mul(2∗a) (b div2)) +a∗(b mod2)

నిర్వచనం ద్వారా ఇవ్వబడిన ‘రష్యన్ గుణకారం’ యొక్క ఉదాహరణను పరిగణించండి mul a0≡ df 0 mul a b≡ df (mul(2∗a) (b div2)) +a∗(b mod2)


How would you argue that this is definable in type theory?

ఇది టైప్ సిద్ధాంతంలో నిర్వచించదగినదని మీరు ఎలా వాదిస్తారు?


The logic is typed to ensure the well-formedness of propositions.

తర్కం టైప్ చేయబడింది, ఇది ప్రతిపాదనల యొక్క సక్రమతను నిర్ధారిస్తుంది.


An example of a ‘proof-less’ derivation of (∀x:A).(∃y:B). P from (∃y:B).(∀x:A). P follows.

(∀x:A).(∃y:B). P నుండి (∃y:B).(∀x:A). P యొక్క ‘ప్రూఫ్-లెస్’ వ్యుత్పత్తికి ఒక ఉదాహరణ అనుసరిస్తుంది.


The derivation can now have the proof object extracted from it.

వ్యుత్పత్తి ఇప్పుడు దాని నుండి రుజువు వస్తువును కలిగి ఉంటుంది.


We have only considered the weak existential elimination rule in this way.

మేము ఈ విధంగా బలహీనమైన ఉనికి తొలగింపు నియమాన్ని మాత్రమే పరిగణించాము.


Similar remarks apply to the choice of disjunction elimination rule.

విభజన తొలగింపు నియమం యొక్క ఎంపికకు ఇలాంటి వ్యాఖ్యలు వర్తిస్తాయి.


We can extend this proof-less derivation to results involving data types like the natural numbers.

సహజ సంఖ్యల వంటి డేటా రకాలను కలిగి ఉన్న ఫలితాలకు మేము ఈ రుజువు లేని వ్యుత్పత్తిని విస్తరించవచ్చు.


Obviously the introduction rules still need to mention the elements of N, and so are unchanged.

స్పష్టంగా, పరిచయ నియమాలు ఇప్పటికీ N యొక్క మూలకాలను పేర్కొనాలి, మరియు అవి మారలేదు.


An example we might prove thus is (∀n:N).(0< f ac n).

మేము ఈ విధంగా నిరూపించగల ఉదాహరణ (∀n:N).(0< f ac n).


We first have to derive (0<1) which is a special case of (0< n+ 1), which is itself trivially derivable.

మొదట మనం (0<1)ని పొందాలి, ఇది (0< n+ 1) యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం, ఇది కూడా సులభంగా పొందబడుతుంది.


In the second case we have to derive (∀n:N).((0< f ac n)⇒(0< f ac(n+ 1)))

రెండవ సందర్భంలో మనం (∀n:N).((0< f ac n)⇒(0< f ac(n+ 1)))ని పొందాలి.


Since f ac(n+ 1) is the product (n+ 1)∗(f ac n) and as it is a standard result (and exercise!) that a product of positive numbers is positive, the result is derived.

f ac(n+ 1) ఉత్పత్తి (n+ 1)∗(f ac n) కాబట్టి మరియు సానుకూల సంఖ్యల ఉత్పత్తి సానుకూలంగా ఉంటుందని ఇది ఒక ప్రామాణిక ఫలితం (మరియు వ్యాయామం!), ఫలితం పొందబడుతుంది.


This section addresses the problem of the Polish National Flag.

ఈ విభాగం పోలిష్ జాతీయ జెండా సమస్యను పరిష్కరిస్తుంది.


Our approach differs from that in [NPS90] in two ways.

మా విధానం [NPS90] లోని విధానానికి రెండు విధాలుగా భిన్నంగా ఉంటుంది.


First, we express the specification in a different way, so as to separate the computational from the proof-theoretic.

ముందుగా, మేము స్పెసిఫికేషన్‌ను వేరే విధంగా వ్యక్తపరుస్తాము, తద్వారా గణనను రుజువు-సిద్ధాంతం నుండి వేరు చేస్తాము.


We shall discuss this type in some detail in chapter 7.

మేము ఈ రకాన్ని 7వ అధ్యాయంలో కొంత వివరంగా చర్చిస్తాము.


We also use an ‘equational’ notation which is closer to that in use in the majority of functional programming languages.

మేము ‘సమీకరణ’ సంజ్ఞామానాన్ని కూడా ఉపయోగిస్తాము, ఇది చాలా ఫంక్షనల్ ప్రోగ్రామింగ్ భాషలలో ఉపయోగించబడుతున్నదానికి దగ్గరగా ఉంటుంది.


We assume that the colours are represented by the boolean type, bool (which we shall abbreviate C, for colour), with the value True representing the colour red.

రంగులు బూలియన్ రకం, bool (దీనిని మేము రంగు కోసం C అని సంక్షిప్తీకరిస్తాము) ద్వారా సూచించబడతాయి, ట్రూ విలువ ఎరుపు రంగును సూచిస్తుంది అని మేము భావిస్తున్నాము.


One way to express the specification of the problem is then to say (∀l:[C]).(∃(l ′ , l ′′ ):[C]∧[C]). (allRed l ′ ∧allW hite l ′′ ∧perm l(l ′ ++l ′′ ))

సమస్య యొక్క స్పెసిఫికేషన్‌ను వ్యక్తపరచడానికి ఒక మార్గం ఏమిటంటే (∀l:[C]).(∃(l ′ , l ′′ ):[C]∧[C]). (allRed l ′ ∧allW hite l ′′ ∧perm l(l ′ ++l ′′ )) అని చెప్పడం.


What we seek is, in fact, a function which returns the pair of lists (l ′ , l ′′ ) corresponding to each l, so we modify the specification to read (∃f:[C]⇒[C]∧[C]).(∀l:[C]). allRed(fst(f l))∧allW hite(snd(f l))∧ perm l((fst(f l)) ++(snd(f l)))

వాస్తవానికి, మనం వెతుకుతున్నది ఏమిటంటే, ప్రతి lకి అనుగుణంగా జాబితాల జత (l ′ , l ′′ )ని అందించే ఒక ఫంక్షన్, కాబట్టి మేము స్పెసిఫికేషన్‌ను (∃f:[C]⇒[C]∧[C]).(∀l:[C]). allRed(fst(f l))∧allW hite(snd(f l))∧ perm l((fst(f l)) ++(snd(f l))) అని చదవడానికి సవరిస్తాము.


This pair consists precisely of the function required together with a proof that is has the property required of it.

ఈ జతకు అవసరమైన ఫంక్షన్ మరియు దానికి అవసరమైన ఆస్తి ఉందని రుజువు ఖచ్చితంగా ఉన్నాయి.


ఈ రోజు సూర్యుడు ప్రకాశవంతంగా ప్రకాశిస్తున్నాడు.


దయచేసి తలుపు మూయండి.


నేను మార్కెట్‌కి వెళ్తున్నాను.


కంపెనీ ఒక కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రకటించింది.


Could you please help me with this problem?

దయచేసి మీరు ఈ సమస్యతో నాకు సహాయం చేయగలరా?


The research team conducted several experiments.

పరిశోధనా బృందం అనేక ప్రయోగాలు నిర్వహించింది.


The economy is facing significant challenges.

ఆర్థిక వ్యవస్థ గణనీయమైన సవాళ్లను ఎదుర్కొంటోంది.


అతను చాలా ప్రతిభావంతుడైన సంగీతకారుడు.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం డేటాను సమర్థవంతంగా క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


The government implemented new policies.

ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేసింది.


Despite the difficulties, they succeeded.

ఇబ్బందులు ఎదురైనా, వారు విజయం సాధించారు.


The complex system requires careful analysis.

సంక్లిష్టమైన వ్యవస్థకు జాగ్రత్తగా విశ్లేషణ అవసరం.


The philosophical implications of the theory are profound.

సిద్ధాంతం యొక్క తాత్విక చిక్కులు చాలా లోతైనవి.


The company's strategic plan involves significant restructuring.

కంపెనీ వ్యూహాత్మక ప్రణాళికలో గణనీయమైన పునర్నిర్మాణం ఉంది.


The scientific community is debating the ethical considerations.

నైతిక పరిగణనలపై శాస్త్రీయ సమాజం చర్చలు జరుపుతోంది.


The intricate details of the mechanism were revealed.

విధానం యొక్క క్లిష్టమైన వివరాలు వెల్లడయ్యాయి.


The long-term consequences of climate change are concerning.

వాతావరణ మార్పుల యొక్క దీర్ఘకాలిక పరిణామాలు ఆందోళన కలిగిస్తున్నాయి.


The judge's ruling had far-reaching legal ramifications.

న్యాయమూర్తి తీర్పు చట్టపరమైన దూరదృష్టిని కలిగి ఉంది.


The socio-economic factors influencing the outcome are complex.

ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేసే సామాజిక-ఆర్థిక అంశాలు సంక్లిష్టంగా ఉన్నాయి.


The theoretical framework provides a comprehensive understanding.

సిద్ధాంతపరమైన ఫ్రేమ్‌వర్క్ సమగ్రమైన అవగాహనను అందిస్తుంది.


ధృవీకరణ దశలను వేరు చేశారు.


We achieved this through a series of simple transformations.

మేము సాధారణ మార్పుల శ్రేణి ద్వారా దీనిని సాధించాము.


This approach seems to separate the logical and computational aspects.

ఈ విధానం తార్కిక మరియు గణన అంశాలను వేరు చేసినట్లు కనిపిస్తుంది.


ఉపసమితి రకాన్ని ఉపయోగించడం సమస్యలను తెస్తుంది.


It is not possible to recover the witnessing information from a subset type.

ఉపసమితి రకం నుండి సాక్ష్య సమాచారాన్ని తిరిగి పొందడం సాధ్యం కాదు.


The existential type should be used, retaining the witnessing information.

అస్తిత్వ రకాన్ని ఉపయోగించాలి, సాక్ష్య సమాచారాన్ని నిలుపుకోవాలి.


An important tool for programmers is the ability to define an equality relation.

ప్రోగ్రామర్‌లకు ఒక ముఖ్యమైన సాధనం ఏమిటంటే సమానత్వ సంబంధాన్ని నిర్వచించే సామర్థ్యం.


We might choose to represent finite sets by finite lists.

మేము పరిమిత సమితులను పరిమిత జాబితాల ద్వారా సూచించడానికి ఎంచుకోవచ్చు.


These types are a part of the Nuprl system.

ఈ రకాలు Nuprl వ్యవస్థలో భాగం.


We start with an exposition of the quotient type.

మేము కోటియంట్ రకం యొక్క వివరణతో ప్రారంభిస్తాము.


In forming the type, we have to verify that the predicate is an equivalence relation.

రకాన్ని ఏర్పరుచుకునేటప్పుడు, ప్రెడికేట్ సమానత్వ సంబంధం అని మనం ధృవీకరించాలి.


The introduction rule breaks unicity of typing.

పరిచయ నియమం టైపింగ్ యొక్క ఏకత్వాన్ని విచ్ఛిన్నం చేస్తుంది.


If we define a function over a quotient type, then the value on equivalent elements has to be equal.

ఒక కోటియంట్ రకంపై ఒక ఫంక్షన్‌ను నిర్వచిస్తే, సమానమైన మూలకాల విలువ సమానంగా ఉండాలి.


The elimination rule for the quotient type must reflect this.

కోటియంట్ రకం కోసం తొలగింపు నియమం దీన్ని ప్రతిబింబించాలి.


There is no separate computation rule for the quotient type.

కోటియంట్ రకం కోసం ప్రత్యేకమైన గణన నియమం లేదు.


Equivalent elements are deemed to be equal.

సమానమైన మూలకాలు సమానంగా పరిగణించబడతాయి.


This has the effect of allowing equivalent elements to be substituted.

ఇది సమానమైన మూలకాలను భర్తీ చేయడానికి అనుమతించే ప్రభావాన్ని కలిగి ఉంది.


A typical example is that of the rationals.

ఒక సాధారణ ఉదాహరణ రేషనల్స్.


The sum of two rationals is defined to be...

రెండు రేషనల్స్ మొత్తం ... గా నిర్వచించబడింది.


Nowhere is the difference between classical and constructive mathematics more evident.

సాంప్రదాయ మరియు నిర్మాణాత్మక గణితశాస్త్రాల మధ్య వ్యత్యాసం ఎక్కడా మరింత స్పష్టంగా లేదు.


ఈ రోజు వాతావరణం ఆహ్లాదకరంగా ఉంది.


దయచేసి నాకు ఉప్పు అందిస్తారా?


I am going to the market to buy some groceries.

నేను కొన్ని కిరాణా సామాగ్రి కొనడానికి మార్కెట్‌కి వెళ్తున్నాను.


The company announced its quarterly earnings report.

కంపెనీ తన త్రైమాసిక ఆదాయ నివేదికను ప్రకటించింది.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం డేటాను సమర్ధవంతంగా క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


అతను చాలా ప్రతిభావంతుడైన సంగీత విద్వాంసుడు.


సమావేశం వచ్చే నెలలో జరుగుతుంది.


ఆమె తన పరీక్షల కోసం చదువుతోంది.


The project requires careful planning and execution.

ప్రాజెక్ట్ జాగ్రత్తగా ప్రణాళిక మరియు అమలును కోరుతుంది.


The government is implementing new policies.

ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేస్తోంది.


The research paper explores the impact of climate change.

పరిశోధనా పత్రం వాతావరణ మార్పుల ప్రభావాన్ని అన్వేషిస్తుంది.


సవాళ్లు ఉన్నప్పటికీ, వారు విజయం సాధించారు.


The software update includes several bug fixes.

సాఫ్ట్‌వేర్ అప్‌డేట్‌లో అనేక బగ్ పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.


The artist's work is displayed in a prestigious gallery.

కళాకారుడి పని ప్రతిష్టాత్మకమైన గ్యాలరీలో ప్రదర్శించబడుతుంది.


The economic forecast predicts a slow recovery.

ఆర్థిక సూచన నెమ్మదిగా కోలుకుంటుందని అంచనా వేసింది.


The team is working on a new product launch.

బృందం కొత్త ఉత్పత్తి ప్రారంభంపై పనిచేస్తోంది.


The complex equation requires advanced mathematical knowledge.

సంక్లిష్ట సమీకరణానికి అధునాతన గణిత పరిజ్ఞానం అవసరం.


The historical event had a profound impact on society.

చారిత్రక సంఘటన సమాజంపై తీవ్ర ప్రభావాన్ని చూపింది.


The company's innovative approach revolutionized the industry.

కంపెనీ యొక్క వినూత్న విధానం పరిశ్రమలో విప్లవాత్మక మార్పులు తెచ్చింది.


The philosophical debate explored the nature of consciousness.

తత్వ చర్చ స్పృహ స్వభావాన్ని అన్వేషించింది.


If an argument k is computationally irrelevant, then its evaluation will degrade the efficiency of the program.

ఒకవేళ వాదన k గణనపరంగా సంబంధం లేకపోతే, దాని మూల్యాంకనం ప్రోగ్రామ్ యొక్క సామర్థ్యాన్ని తగ్గిస్తుంది.


Evaluation in which we always choose the leftmost outermost redex is called normal order evaluation.

ఎల్లప్పుడూ ఎడమవైపున ఉన్న బయటి రెడెక్స్‌ను ఎంచుకునే మూల్యాంకనాన్ని సాధారణ క్రమ మూల్యాంకనం అంటారు.


Under lazy evaluation computationally irrelevant objects or components of structured objects will simply be ignored.

సోమరి మూల్యాంకనం కింద, గణనపరంగా సంబంధం లేని వస్తువులు లేదా నిర్మాణాత్మక వస్తువుల భాగాలు విస్మరించబడతాయి.


Indeed, it can be argued that the proper definition of computational relevance would be that which chose just that portion of an expression which is used in calculating a result under a lazy evaluation discipline.

నిజానికి, గణన సంబంధితత యొక్క సరైన నిర్వచనం ఏమిటంటే, సోమరి మూల్యాంకన క్రమశిక్షణలో ఫలితాన్ని లెక్కించడంలో ఉపయోగించే వ్యక్తీకరణలో ఆ భాగాన్ని మాత్రమే ఎంచుకుంటుంది.


Since there are no closed normal forms in ⊥ and there is only the trivial T, computation of objects of these types will never be important.

⊥ లో మూసివున్న సాధారణ రూపాలు లేనందున మరియు సాధారణమైన T మాత్రమే ఉన్నందున, ఈ రకాల వస్తువుల గణన ఎప్పటికీ ముఖ్యమైనది కాదు.


An application of hd to a list l is only possible if we can pair l with a proof p that l is nonempty.

hd యొక్క అప్లికేషన్ జాబితా lకి, l ఖాళీగా లేదని రుజువు pతో జత చేయగలిగితేనే సాధ్యమవుతుంది.


It can be argued that this sort of computational irrelevance is preserved when combinations are taken using the connectives ∧, ⇒ and ∀.

కనెక్టివ్‌లు ∧, ⇒ మరియు ∀ ఉపయోగించి కలయికలు తీసుకున్నప్పుడు ఈ రకమైన గణన సంబంధం లేకపోవడం అలాగే ఉంటుందని వాదించవచ్చు.


How should we represent the collection of objects of type A with the property B?

A రకం యొక్క వస్తువుల సేకరణను B లక్షణంతో మనం ఎలా సూచించాలి?


According to the principle of complete presentation, we would form the type (∃x:A). B consisting of pairs of objects and the proofs that they have the property P.

పూర్తి సమర్పణ సూత్రం ప్రకారం, మనం (∃x:A). B రకాన్ని ఏర్పరుస్తాము, ఇది వస్తువుల జతలు మరియు వాటికి P లక్షణం ఉందని రుజువులతో కూడి ఉంటుంది.


This is how we have dealt with the type so far in this exposition.

ఈ వివరణలో మనం ఇప్పటివరకు రకాన్ని ఇలాగే నిర్వహించాము.


An alternative approach is to build the ‘subset’ type {x:A|B} whose members consist of those a in A which have the property B[a/x].

ప్రత్యామ్నాయ విధానం ఏమిటంటే {x:A|B} అనే ‘ఉపసమితి’ రకాన్ని నిర్మించడం, దీని సభ్యులలో A లోని a లు ఉంటాయి, ఇవి B[a/x] లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటాయి.


What are the formal rules for the subset type?

ఉపసమితి రకం కోసం అధికారిక నియమాలు ఏమిటి?


రూపకల్పన పూర్తిగా ప్రామాణికమైనది.


ఒక సమితిని ఎలా తొలగించాలి?


Since no new operator is added by the elimination rule, there is no computation rule for the subset type.

తొలగింపు నియమం ద్వారా ఎటువంటి కొత్త ఆపరేటర్ జోడించబడనందున, ఉపసమితి రకం కోసం ఎటువంటి గణన నియమం లేదు.


We shall write T T S 0 for the system T T 0 with the above rules for subsets added.

ఉపసమితుల కోసం పై నియమాలతో T T 0 వ్యవస్థ కోసం మనం T T S 0 అని వ్రాస్తాము.


The first simply uses subset introduction, whilst the second shows that if we are able to derive membership of a subset type then implicit in that derivation is a proof that the element has the property required of it.

మొదటిది కేవలం ఉపసమితి పరిచయాన్ని ఉపయోగిస్తుంది, అయితే రెండవది మనం ఉపసమితి రకం యొక్క సభ్యత్వాన్ని పొందగలిగితే, ఆ వ్యుత్పత్తిలో మూలకం దానికి అవసరమైన లక్షణాన్ని కలిగి ఉందనడానికి రుజువు ఉందని చూపిస్తుంది.


This shows that the rules for subsets are very weak.

ఉపసమితుల కోసం నియమాలు చాలా బలహీనంగా ఉన్నాయని ఇది చూపిస్తుంది.


In the judgement (7.2) the term t witnesses the property P of the objects in the subset type.

తీర్పు (7.2)లో, పదం t ఉపసమితి రకంలోని వస్తువుల P లక్షణానికి సాక్ష్యమిస్తుంది.


The case of the extensional theory, [ML85], is different, since the proof rule (IE ext) together with the rule (II) allow the derivation of r(a) : I(A, a, b) from e : I(A, a, b) for any expression e.

విస్తరణ సిద్ధాంతం, [ML85] సందర్భం భిన్నంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే రుజువు నియమం (IE ext) నియమం (II)తో పాటు ఏదైనా వ్యక్తీకరణ e కోసం e : I(A, a, b) నుండి r(a) : I(A, a, b) యొక్క వ్యుత్పత్తిని అనుమతిస్తుంది.


The definition's intention is that L is the smallest such set.

నిర్వచనం యొక్క ఉద్దేశ్యం ఏమిటంటే L అనేది అలాంటి అతి చిన్న సమితి.


We can formalise by saying that L is the smallest solution of the equation.

L సమీకరణానికి అతి చిన్న పరిష్కారమని చెప్పడం ద్వారా మనం ఫార్మలైజ్ చేయవచ్చు.


Not every equation has a solution or a least solution.

ప్రతి సమీకరణానికి పరిష్కారం లేదా తక్కువ పరిష్కారం ఉండదు.


The least solution of the equation is called the least fixed point.

సమీకరణం యొక్క అతి తక్కువ పరిష్కారాన్ని అతి తక్కువ స్థిర బిందువు అని పిలుస్తారు.


To show that the equation has a solution we consider the sequence of sets.

సమీకరణానికి పరిష్కారం ఉందని చూపించడానికి, మేము సెట్ల క్రమాన్ని పరిశీలిస్తాము.


This fixed point is the least fixed point.

ఈ స్థిర బిందువు అతి తక్కువ స్థిర బిందువు.


We shall use the notation L for the operator of which L is the least fixed point.

L అనేది అతి తక్కువ స్థిర బిందువుగా ఉన్న ఆపరేటర్ కోసం మేము L సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగిస్తాము.


How do we characterise that L is the least solution?

L అనేది అతి తక్కువ పరిష్కారమని మనం ఎలా నిర్ధారిస్తాము?


We need to express that elements only go in by the action of the operator L.

ఆపరేటర్ L యొక్క చర్య ద్వారా మాత్రమే మూలకాలు లోపలికి వెళ్తాయని మనం వ్యక్తపరచాలి.


We do this by giving an elimination rule which constructs a function by recursion over L.

L పై పునరావృతం ద్వారా ఒక ఫంక్షన్‌ను నిర్మించే తొలగింపు నియమాన్ని ఇవ్వడం ద్వారా మేము దీన్ని చేస్తాము.


To make such a definition it is necessary and sufficient to state a value at [ ] and a way of going from a value at x to a value at (n::x).

అటువంటి నిర్వచనాన్ని రూపొందించడానికి, [] వద్ద ఒక విలువను మరియు x వద్ద ఉన్న విలువ నుండి (n::x) వద్ద ఉన్న విలువకు వెళ్ళే మార్గాన్ని పేర్కొనడం అవసరం మరియు సరిపోతుంది.


Consider the example of the sum function, which returns the sum of a numerical list.

సంఖ్యా జాబితా యొక్క మొత్తాన్ని అందించే సమ్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉదాహరణను పరిగణించండి.


This is encapsulated by the computation rule.

ఇది గణన నియమం ద్వారా ఎన్‌క్యాప్సులేట్ చేయబడింది.


Every inductive set has an ordering given by comparing the stages at which the elements go into the set.

ప్రతి ప్రేరేపిత సమితికి మూలకాలు సమితిలోకి ప్రవేశించే దశలను పోల్చడం ద్వారా ఇవ్వబడిన క్రమం ఉంటుంది.


We define ‖x‖≡ df the α such that x ∈ Θ α+1 − Θ α

x ∈ Θ α+1 − Θ α అయితే ‖x‖≡ df α అని మేము నిర్వచిస్తాము


This characterisation also suggests that we can give a representation of inductively defined sets by means of well-founded recursion.

ఈ లక్షణం ప్రేరేపితంగా నిర్వచించబడిన సెట్‌లను బాగా స్థాపించబడిన పునరావృతం ద్వారా సూచించవచ్చని కూడా సూచిస్తుంది.


Show that the type of finite and infinite lists of natural numbers is a solution of the equation.

సహజ సంఖ్యల యొక్క పరిమిత మరియు అనంత జాబితాల రకం సమీకరణానికి పరిష్కారమని చూపండి.


How would you argue that it does not meet the inductive characterisation of the least fixed point?

ఇది అతి తక్కువ స్థిర బిందువు యొక్క ప్రేరేపిత లక్షణాన్ని నెరవేర్చదని మీరు ఎలా వాదిస్తారు?


Give fixed point definitions of the types of natural numbers and trees.

సహజ సంఖ్యలు మరియు చెట్ల రకాల స్థిర బిందువు నిర్వచనాలను ఇవ్వండి.


Formation of inductive types is permitted when we have a monotonic operation.

మనకు మోనోటోనిక్ ఆపరేషన్ ఉన్నప్పుడు ప్రేరేపిత రకాల నిర్మాణం అనుమతించబడుతుంది.


ఈ రకం యొక్క అంశాలు విధులు.


We then define the class of semigroups thus.

అప్పుడు మేము సెమీగ్రూపుల తరగతిని ఈ విధంగా నిర్వచిస్తాము.


An elementary result about semigroups is that the identity is unique.

సెమీగ్రూపుల గురించి ఒక ప్రాథమిక ఫలితం ఏమిటంటే గుర్తింపు ప్రత్యేకమైనది.


This shows that the identity is unique if it exists.

గుర్తింపు ఉనికిలో ఉంటే అది ప్రత్యేకమైనదని ఇది చూపిస్తుంది.


The results depend upon us repeatedly unpacking the triples.

ఫలితాలు ట్రిపుల్స్‌ను పదేపదే అన్‌ప్యాక్ చేయడంపై ఆధారపడి ఉంటాయి.


For semigroups, axioms would take the form.

సెమీగ్రూపుల కోసం, సిద్ధాంతాలు ఈ రూపాన్ని తీసుకుంటాయి.


The computation rules show that set, op and assoc behave as projections.

సెట్, ఆప్ మరియు అస్సోక్ ప్రొజెక్షన్లుగా ఎలా ప్రవర్తిస్తాయో గణన నియమాలు చూపుతాయి.


Using these rules we can prove results such as theorems 7.18, 7.19.

ఈ నియమాలను ఉపయోగించి, మేము సిద్ధాంతాలు 7.18, 7.19 వంటి ఫలితాలను నిరూపించవచ్చు.


In comparing the two approaches, it is clear that they are very close.

రెండు విధానాలను పోల్చి చూస్తే, అవి చాలా దగ్గరగా ఉన్నాయని స్పష్టమవుతుంది.


A disadvantage of adding rules to the system is that we may well disturb the formal properties.

సిస్టమ్‌కు నియమాలను జోడించడం వల్ల కలిగే ప్రతికూలత ఏమిటంటే, మనం అధికారిక లక్షణాలను బాగా దెబ్బతీసే అవకాశం ఉంది.


This chapter marks a return to looking at the system as a whole.

ఈ అధ్యాయం మొత్తం వ్యవస్థను పరిశీలించడానికి తిరిగి రావడాన్ని సూచిస్తుంది.


We investigate various questions about the mathematical foundations of the system.

వ్యవస్థ యొక్క గణిత పునాదుల గురించి మేము వివిధ ప్రశ్నలను పరిశీలిస్తాము.


The technique used here is that of realizability.

ఇక్కడ ఉపయోగించిన సాంకేతికత వాస్తవికత.


We discuss the motivation for developing a model theory of TT in the subsequent section.

తదుపరి విభాగంలో TT యొక్క మోడల్ సిద్ధాంతాన్ని అభివృద్ధి చేయడానికి గల ప్రేరణను మేము చర్చిస్తాము.


At an intuitive level, if we are given the introduction rules for a type then we seem to know all the forms that elements can take.

ఒక సహజమైన స్థాయిలో, ఒక రకం కోసం పరిచయ నియమాలను ఇస్తే, మూలకాలు తీసుకోగల అన్ని రూపాలను మనం తెలుసుకున్నట్లు అనిపిస్తుంది.


We also look at a primitive justification of the inversion principle itself.

మేము విలోమ సూత్రానికి ఒక ప్రాథమిక సమర్థనను కూడా పరిశీలిస్తాము.


Definition 8.1 A full definition the system of First Order Heyting Arithmetic, HA, is given in [Tro73], section I.3.

నిర్వచనం 8.1 మొదటి ఆర్డర్ హెయిటింగ్ అంకగణితం, HA యొక్క పూర్తి నిర్వచనం [Tro73], విభాగం I.3లో ఇవ్వబడింది.


The system consists of a first order theory of the natural numbers.

ఈ వ్యవస్థ సహజ సంఖ్యల యొక్క మొదటి క్రమ సిద్ధాంతాన్ని కలిగి ఉంది.


These systems have been studied extensively, and their relation with TT0 can tell us something about the system itself.

ఈ వ్యవస్థలను విస్తృతంగా అధ్యయనం చేశారు మరియు TT0తో వాటి సంబంధం వ్యవస్థ గురించి మనకు కొంత తెలియజేస్తుంది.


We can also embed the formulas of HA ω as formulas of TT0.

మేము HA ω యొక్క సూత్రాలను TT0 యొక్క సూత్రాలుగా కూడా పొందుపరచవచ్చు.


ఈ రోజు వాతావరణం ఆహ్లాదకరంగా ఉంది.


దయచేసి నాకు ఉప్పు ఇవ్వగలరా?


I am going to the market to buy some vegetables.

నేను కూరగాయలు కొనడానికి మార్కెట్‌కి వెళ్తున్నాను.


The company announced a new product launch.

కంపెనీ కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రారంభించినట్లు ప్రకటించింది.


The research team is working on a new algorithm.

పరిశోధనా బృందం ఒక కొత్త అల్గారిథంపై పనిచేస్తోంది.


He is a very talented musician and composer.

అతను చాలా ప్రతిభావంతుడైన సంగీత విద్వాంసుడు మరియు స్వరకర్త.


The government is implementing new policies to boost the economy.

ఆర్థిక వ్యవస్థను ప్రోత్సహించడానికి ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేస్తోంది.


The data analysis revealed significant trends.

డేటా విశ్లేషణ గణనీయమైన పోకడలను వెల్లడించింది.


ఆమె అనేక భాషలలో అనర్గళంగా మాట్లాడుతుంది.


సమావేశం వచ్చే నెలలో జరుగుతుంది.


The algorithm's efficiency was significantly improved.

అల్గారిథం యొక్క సామర్థ్యం గణనీయంగా మెరుగుపరచబడింది.


The implications of the new regulations are far-reaching.

కొత్త నిబంధనల యొక్క చిక్కులు చాలా దూరం వరకు ఉన్నాయి.


The philosophical underpinnings of the theory are complex.

సిద్ధాంతం యొక్క తాత్విక ఆధారాలు సంక్లిష్టంగా ఉన్నాయి.


The company's strategic plan involves a major restructuring.

కంపెనీ వ్యూహాత్మక ప్రణాళికలో ప్రధాన పునర్నిర్మాణం ఉంది.


The intricate details of the project were meticulously documented.

ప్రాజెక్ట్ యొక్క క్లిష్టమైన వివరాలు సూక్ష్మంగా నమోదు చేయబడ్డాయి.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

సవాళ్లు ఉన్నప్పటికీ, వారు పట్టుదలతో కొనసాగారు మరియు విజయం సాధించారు.


The economic forecast predicts a period of slow growth.

ఆర్థిక సూచన నెమ్మదిగా వృద్ధి చెందుతుందని అంచనా వేసింది.


The judge's decision was based on legal precedent.

న్యాయమూర్తి నిర్ణయం చట్టపరమైన ఉదాహరణపై ఆధారపడి ఉంది.


The artist's work reflects a deep understanding of human emotion.

కళాకారుడి పని మానవ భావోద్వేగాల గురించి లోతైన అవగాహనను ప్రతిబింబిస్తుంది.


The complex interplay of factors makes prediction difficult.

కారణాల యొక్క సంక్లిష్టమైన పరస్పర చర్య అంచనాను కష్టతరం చేస్తుంది.


The theory of constructions is a complex topic.

నిర్మాణాల సిద్ధాంతం ఒక సంక్లిష్టమైన అంశం.


Type theory provides a foundation for programming.

రకం సిద్ధాంతం ప్రోగ్రామింగ్‌కు ఒక పునాదిని అందిస్తుంది.


మీరు బాగున్నారని ఆశిస్తున్నాను.


The book discusses various aspects of type theory.

పుస్తకం రకం సిద్ధాంతం యొక్క వివిధ అంశాలను చర్చిస్తుంది.


దయచేసి ఈ భావనను వివరించగలరా?


Functional programming is gaining popularity.

ఫంక్షనల్ ప్రోగ్రామింగ్ ప్రజాదరణ పొందుతోంది.


The research is still in its early stages.

పరిశోధన ఇంకా ప్రారంభ దశలోనే ఉంది.


ఇది చాలా ఆసక్తికరమైన విషయం.


The system has a sound and elegant combination of logic.

సిస్టమ్‌లో తర్కం యొక్క శబ్ద మరియు సొగసైన కలయిక ఉంది.


I am excited to learn more about this topic.

ఈ విషయం గురించి మరింత తెలుసుకోవడానికి నేను ఆసక్తిగా ఉన్నాను.


The algorithm is used in the implementation of functional programming languages.

అల్గారిథం ఫంక్షనల్ ప్రోగ్రామింగ్ భాషల అమలులో ఉపయోగించబడుతుంది.


We should be certain before adding a feature.

ఒక లక్షణాన్ని జోడించే ముందు మనం ఖచ్చితంగా ఉండాలి.


Imperative programming seems to be getting more hopeless.

ఇంపరేటివ్ ప్రోగ్రామింగ్ మరింత నిస్సహాయంగా కనిపిస్తుంది.


Functional languages offer a much brighter prospect.

ఫంక్షనల్ భాషలు చాలా ప్రకాశవంతమైన అవకాశాన్ని అందిస్తాయి.


Type theory can provide a single foundation.

రకం సిద్ధాంతం ఒకే పునాదిని అందించగలదు.


Languages based on type theory will be popular.

రకం సిద్ధాంతం ఆధారంగా భాషలు ప్రాచుర్యం పొందుతాయి.


The book contains a comprehensive bibliography.

పుస్తకంలో సమగ్ర గ్రంథ పట్టిక ఉంది.


ఇది ఒక సంక్లిష్టమైన గణిత భావన.


The research paper explores the topic in detail.

పరిశోధనా పత్రం ఈ అంశాన్ని వివరంగా వివరిస్తుంది.


The author's enthusiasm for the subject is evident.

రచయితకు ఈ విషయంపై ఉన్న ఉత్సాహం స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది.


The company announced a new product launch.

కంపెనీ కొత్త ఉత్పత్తిని ప్రారంభించినట్లు ప్రకటించింది.


Could you please help me with this task?

దయచేసి మీరు ఈ పనిలో నాకు సహాయం చేయగలరా?


ఈ రోజు వాతావరణం చాలా ఆహ్లాదకరంగా ఉంది.


He is a highly respected professor at the university.

అతను విశ్వవిద్యాలయంలో అత్యంత గౌరవనీయమైన ప్రొఫెసర్.


The government is implementing new policies to boost the economy.

ఆర్థిక వ్యవస్థను ప్రోత్సహించడానికి ప్రభుత్వం కొత్త విధానాలను అమలు చేస్తోంది.


Despite the challenges, they managed to complete the project on time.

సవాళ్లు ఎదురైనా, వారు సమయానికి ప్రాజెక్ట్‌ను పూర్తి చేయగలిగారు.


The research team is conducting experiments to find a cure for the disease.

వ్యాధికి చికిత్స కనుగొనడానికి పరిశోధనా బృందం ప్రయోగాలు చేస్తోంది.


The intricate details of the plan were discussed in the meeting.

పథకం యొక్క క్లిష్టమైన వివరాలను సమావేశంలో చర్చించారు.


The algorithm efficiently sorts the data.

అల్గారిథం సమర్థవంతంగా డేటాను క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.


The implications of the new law are far-reaching.

కొత్త చట్టం యొక్క పరిణామాలు చాలా దూరం వరకు ఉన్నాయి.


The company's innovative approach revolutionized the industry.

కంపెనీ యొక్క వినూత్న విధానం పరిశ్రమలో విప్లవాత్మక మార్పులు తెచ్చింది.


The philosophical underpinnings of the theory are complex.

సిద్ధాంతం యొక్క తాత్విక ఆధారాలు సంక్లిష్టంగా ఉన్నాయి.


The economic downturn had a significant impact on global markets.

ఆర్థిక మాంద్యం ప్రపంచ మార్కెట్లపై గణనీయమైన ప్రభావాన్ని చూపింది.


The complexities of international relations require careful consideration.

అంతర్జాతీయ సంబంధాల యొక్క సంక్లిష్టతలకు జాగ్రత్తగా పరిశీలన అవసరం.


The subtle nuances of the language are difficult to master.

భాష యొక్క సూక్ష్మ నైపుణ్యాలను నేర్చుకోవడం కష్టం.


The ramifications of the decision were not fully understood at the time.

ఆ సమయంలో నిర్ణయం యొక్క పరిణామాలు పూర్తిగా అర్థం కాలేదు.


The intricate interplay of factors contributed to the crisis.

కారణాల యొక్క క్లిష్టమైన పరస్పర చర్య సంక్షోభానికి దోహదపడింది.


The theoretical framework provides a basis for further investigation.

సిద్ధాంతపరమైన ఫ్రేమ్‌వర్క్ మరింత పరిశోధనకు ఆధారాన్ని అందిస్తుంది.


The long-term consequences of climate change are a major concern.

వాతావరణ మార్పుల యొక్క దీర్ఘకాలిక పరిణామాలు ఒక ప్రధాన సమస్య.


The project's success hinged on the effective collaboration of diverse teams.

ప్రాజెక్ట్ విజయం విభిన్న బృందాల సమర్థవంతమైన సహకారంపై ఆధారపడి ఉంది.